1、第二章综合素质检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1自然数是整数，4 是自然数，所以 4 是整数以上三段论推理( )A正确 B推理形式不正确C两个“自然数”概念不一致 D “两个整数”概念不一致答案 A解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的2已知 ab2， 21， ，故 A、B、D 都不ab 1a1b成立，排除 A、B、D，选 C.3用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示：按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )A6n2 B8n2C6n2 D8n
2、2答案 C解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼” 都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后 6 根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是 6 的等差数列，通项公式为 an6n2.4已知数列a n的前 n 项和 Snn 2an(n2)，而 a11，通过计算 a2、a 3、a 4，猜想an( )A B2n 12 2nn 1C D22n 1 22n 1答案 B解析 a 2S 2S 12 2a21，a 2 ，13a3S 3S 23 2a32 2a29a 34 ，13a 3 .16a4S 4S 34 2a43 2a316a 49 ，16a 4 .110由此猜想 a
3、n .2nn 15观察数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，的特点，则第 100 项为( )A10 B14C13 D100答案 B解析 设 nN *，则数字 n 共有 n 个，所以 100 即 n(n1)200，nn 12又因为 nN *，所以 n13，到第 13 个 13 时共有 91 项，从第 92 项开始为1314214，故第 100 项为 14.6已知 12333 243 2n3 n1 3 n(nab) c 对一切 nN *都成立，那么 a、b、c 的值为( )Aa ，bc Babc 12 14 14Ca0，bc D不存在这样的 a、b、c14答案 A解析 令 n1,2,3，得
4、Error!，所以 a ，bc .12 147已知 f1(x)cosx，f 2(x)f 1(x)，f 3(x)f 2(x)，f 4(x)f 3(x) ，f n(x)f n1 (x) ，则 f2015(x)等于( )Asinx Bsin xCcosx Dcos x答案 D解析 由已知，有 f1(x)cosx，f 2(x)sinx ，f 3(x) cosx，f 4(x)sinx，f 5(x)cosx， ，可以归纳出：f4n(x)sin x，f 4n1 (x)cosx ，f 4n2 (x)sin x，f 4n3 (x)cosx( nN *)所以 f2015(x)f 3(x)cosx .8已知各项均不
5、为零的数列a n，定义向量 cn(a n，a n1 )，b n( n，n1)，nN *.下列命题中真命题是( )A若nN *总有 cnb n 成立，则数列 an是等差数列B若nN *总有 cnb n 成立，则数列a n是等比数列C若nN *总有 cnb n 成立，则数列a n是等差数列D若nN *总有 cnb n 成立，则数列 an是等比数列答案 A解析 对nN *总有 cnb n，则存在实数 0，使 cnb n，a nn ，a n是等差数列9定义一种运算“*”，对于自然数 n 满足以下运算性质： ( )An Bn+1Cn1 Dn 2答案 A解析 令 ann*1，则由(ii)得，a n1 a
6、n1，由(i) 得，a 11.a n是首项 a11，公差为 1 的等差数列，a nn，即 n*1n，故选 A.10已知 f(x)x 3x ，a、b、 cR，且 ab0，ac0，bc0，则 f(a)f(b) f (c)的值( )A一定大于零 B一定等于零C一定小于零 D正负都有可能答案 A解析 f(x) x 3x 是奇函数，且在 R 上是增函数，由 ab0 得 ab，所以 f(a)f(b) ，即 f(a)f(b)0，同理 f(a)f(c)0，f(b)f( c)0，所以 f(a)f(b) f (c)0.11用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程 ax2bxc0( a0)有有理根，那么 a、b、c
7、 中至少有一个是偶数” ，下列各假设中正确的是( )A假设 a、b、c 都是偶数B假设 a、b、c 都不是偶数C假设 a、b、c 中至多有一个是偶数D假设 a、b、c 中至多有两个偶数答案 B解析 对命题的结论“a、b、c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a、b、c 都不是偶数” 因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是” 12(2014福建文，12)在平面直角坐标系中，两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)间的“L 距离”定义为|P 1P2|x 1x 2| |y1y 2|，则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1，F 2 的“L距离”之和等于定值
8、(大于| F1F2|)的点的轨迹可以是( )答案 A解析 设 F1(c,0) ，F 2(c,0)，P(x，y )，则|x c| xc|2|y|2a.当 y0 时，y Error!，当 y0 时，yError!图象应为 A.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，将正确答案填在题中横线上)13 “因为 AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，所以 AC、BD 互相垂直且平分 ”以上推理的大前提是_答案 菱形对角线互相垂直且平分14设函数 f(x) (x0)，观察：xx 2f1(x)f (x) ，xx 2f2(x)f (f1(x) ，x3x 4f3(x)f (f2(x) ，
9、x7x 8f4(x)f (f3(x) ，x15x 16根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN *且 n2 时，f n(x)f(f n1 (x)_.答案 x2n 1x 2n解析 由已知可归纳如下：f 1(x) ，x21 1x 21f2(x) ，f 3(x) ，x22 1x 22 x23 1x 23f4(x) ，x24 1x 24fn(x) .x2n 1x 2n15由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abb a”；“(mn) tmtnt”类比得到 “(ab)cacbc” ；“t0，mtntmn”类比得到 “c0，a cb cab” ；“|mn|m|n| ”类比得
10、到“| ab| a|b|”；“(m n)tm (nt)”类比得到“( ab)ca(b c)”；“ ”类比得到“ ”acbc ab acbc ab以上类比得到的结论正确的是_答案 解析 都正确；错误，因为向量不能相除； 可由数量积定义判断，所以错误；向量中结合律不成立，所以错误16(2013天津和平区高二期中) 观察下列等式：11 1 31123 132 391236 132 33 336123410 132 33 34 31001234515 132 33 34 35 3225 可以推测：1 32 33 3n 3_.( nN *，用含有 n 的代数式表示)答案 n2n 124解析 由条件可知：
11、131 2,132 393 2(12) 2,132 33 3366 2(123) 2，不难得出132 33 3n 3(12 3n) 2 2 .nn 12 n2n 124三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)已知 a、b、c 是全不相等的正实数，求证： b c aa a c bb3.a b cc解析 解法一：( 分析法)要证 3，b c aa a c bb a b cc只需证明 1 1 13，ba ca cb ab ac bc即证 6.ba ca cb ab ac bc而事实上，由 a、b、c 是全不相等的正实数，得 2
12、， 2， 2.ba ab ca ac cb bc从而 6.ba ca cb ab ac bc故 3 得证b c aa a c bb a b cc解法二：(综合法)a、b、c 全不相等， 与 ， 与 ， 与 全不相等ba ab ca ac cb bc 2， 2， 2.ba ab ca ac cb bc三式相加得 6，ba ca cb ab ac bc( 1) ( 1)( 1)3，ba ca cb ab ac bc即 3.b c aa a c bb a b cc18(本题满分 12 分)设 f(x) ，先分别求 f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2) f (3)，13x 3然后归纳猜想一般性
13、结论，并给出证明解析 f(0)f(1) ，同理可得：130 3 13 3 11 3 13 3 3 12 3 36 33f(1)f(2) ，f(2)f(3) .33 33一般性结论：若 x1x 21，则 f(x1)f (x2) .33证明：设 x1x 21，f(x1)f (x2) 13x1 3 13x2 33x1 3 3x2 33x1 33x2 33x1 3x2 233x1 x2 33x1 3x2 33x1 3x2 2333x1 3x2 233x1 3x2 2333x1 3x2 23 .3319(本题满分 12 分)在某两个正数 x、y 之间，若插入一个数 a，使 x，a，y 成等差数列，若插入
14、两个数 b、c，使 x，b，c ，y 成等比数列，求证 (a1) 2(b1)( c1)解析 由已知条件得 Error!x，y 得2a ，且有 a0b0，c0.b2c c2b要证(a1) 2(b1)( c1)，只需证 a1 ，b 1c 1只要证 a1 ，b 1 c 12也就是证 2abc.而 2a ，只需证 bc ，b2c c2b b2c c2b即证 b3c 3(bc)bc，即证 b2c 2bcbc ，即证(bc) 20.上式显然成立，(a1) 2(b1)(c1) 20(本题满分 12 分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论2cos ，4 22cos ，8 2 22cos ，16 2 2
15、 2解析 2cos 2 ，4 22 22cos 28 1 cos422 ，1 222 2 22cos 216 1 cos822 1 122 22 2 2 2归纳得出，2cos .2n 1 2 2 2 n个 根 号21(本题满分 12 分)已知数列a n满足 a13，a nan1 2an1 1.(1)求 a2，a 3，a 4；(2)求证：数列 是等差数列，并求出数列a n的通项公式1an 1解析 (1)由 anan1 2a n1 1 得an2 ，1an 1代入 a13，n 依次取值 2、3、4，得a22 ，a 32 ，a 42 .13 53 35 75 57 97(2)由 anan1 2an1
16、1 变形，得，(an1)(a n1 1)(a n1)( an1 1)，即 1，1an 1 1an 1 1所以 是等差数列1an 1由 ，所以 n1 ，1a1 1 12 1an 1 12 2n 12变形得 an1 ，22n 1所以 an 为数列a n的通项公式2n 12n 122(本题满分 14 分)(2014哈六中期中)已知函数 f(x)( x2)e x x2x2.12(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)证明：当 x1 时，f(x ) x3 x.16 12解析 (1)f (x )(x1)(e x1) ，当 x0 或 x1 时，f (x) 0，当 0x 1 时，f (x)0，f(x)在
17、(，0)，(1 ，) 上单调递增，在(0,1)上单调递减，当 x0 时，f(x)有极大值 f(0)0，当 x1 时，f(x)有极小值 f(1) e.52(2)设 g(x)f(x) x3 x，则 g( x)(x1)(e x )，16 12 x2 32令 u(x)e x ，则 u(x)e x ，x2 32 12当 x1 时，u( x)e x 0，u(x)在1 ，)上单调递增，u(x) u(1)e20，12所以 g(x) (x 1)(e x )0，g(x) f (x) x3 x 在1 ，)上单调递增x2 32 16 12g(x)f(x) x3 xg(1) e0，16 12 176所以 f(x) x3 x.16 12
