1、教你三招快速求最值求等差数列前 项和的最值是等差数列中一类常见题型，也是同学们感到比较棘手的n一类问题下面教你取胜的三个绝招第一招邻项夹逼法1 若 ，公差 ，则满足 的 使 取最大值；若 ，公差0ad10na， nS10a，则满足 的 使 取最小值d1n， nS例 1 已知数列 的通项公式是 ，则 取最小值时， 的值为 na218nanSn解：由 可知数列 是等差数列，且 ，218nn1602ad，所以满足 的 即为所求10na， 解不等式组 得 28()0， ， 89n 故当 或 9 时， 取最小值nnS2 若等差数列的前 项和为 ，则满足 的 使 取最大值；n1nS， nS满足 的 使 取
2、最小值1nS， nS例 2 已知等差数列 的前 项和为 ，求 的最小值及相应的 值na29nSnSn解：由 得1nS，229(1)().，解得 45 因为 ，且 ，所以当 或 5 时，有 为所求最小值N45S4n4520S第二招寻求零点法寻求零点法的关键是令 ，得出相应的 值，若 为正整数，则 中有两个值同0nannS时取得最值；若 不是整数，则 中只有 1 个值取得最值至于是最大值还是最小值，要S根据数列的单调性来确定例 3 已知等差数列 中， ，首项 ，问 为何值时， 最大？na31S10annS解：由 ， ，得 1S02d所以 111()(5)()3na令 ，则 ，又 ，所以 07.57
3、80a，故当 时， 最大nS第三招二次函数最值法由 可知，当 时， 是 的二次函21 1()ndaan0dnS数因此，当 时， 有最大值；当 时， 有最小值0dnS0nS例 4 在等差数列 中， ，且 ，问 取何值时， 有最小a()mk10annS值解：由 可知对称轴为 ，且 ，由二次函数性质知：10mkS， 2xd（1） 若 为偶数，则当 时， 取最大值；knnS（2） 若 为奇数，则当 时， 取最大值k1m前 项和公式的变式及应用n教材中给出的等差数列前 项和公式为： 在具体的11()()22nnaSd解题过程中，如果我们能适时的应用公式的变化形式，则往往能减少运算量，简化解题过程本文给出
4、该公式的若干变化形式，并举例说明其应用变式 1： 21ndSan该式由 变形即得它表明等差数列的前 项和 是关于 的二1()n nnS次函数，从而把问题转化为二次函数问题来解决例 1 已知等差数列 的通项公式为 ，求其前 项和 的最大值na24nan解：由题意易得 12d，由公式求得 23594nSn因为 ，则由二次函数的性质可知，当 或 时， 取得最大值，为N12nnS132变式 2： .2()nSabR，在变式 1 中，令 即得该式12d，例 2 设 是等差数列， ，求此数列的通项公式 na1mnSna， ， na解：由 ，22mSbab，将 化简，可得 22nan()0n，即 0b， S
5、a由 ，得 ，1Sa12n2()nn*N，由于 也满足 ，故 1a21n21()na*N变式 3： 1()Sd由变式 1 两边同除以 ，即得该式该式说明对任意 ，所有的点 都在nnnS，同一条直线上，从而对 有： （常数） ，即数列 是一()mnN， 2nmSdn个等差数列例 3 在等差数列 中，若 ，求 的值na()mnSmnS解：由题意知， 三点在同一条直线上， ， ， ， ，从而有 ，化简得 故 ()nmnmSS0mnnSmnS变式 4： 21na由 及 ，12n1()nnaS有 ，12()2(1)nnS a所以 2na该式给出的是数列中的项 与 之间的关系常运用此式解决有关等差数列的和
6、na21S与项之间的有关问题例 4 已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ，求 n2mnSmna解：由变式 4，有 ，221(1)()32mmnnaS即 23mna几种常用的数学思想数列是高中数学的重要内容，其涉及的基础知识、数学思想方法、对高等数学的学习起着重要作用，因而成为高考久考不衰的内容下面通过实例介绍几种在等差数列中常用的思想方法一、 整体思想有些等差数列问题，分开求解运算复杂且解题思路不明，若通过对问题的整体结构进行分析，常可简化解题过程，减少运算量例 1 一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项和与奇数项和之比为，327求公差 d解：由题意知 35416229
7、7SS奇 偶 奇奇 偶偶 6305Sd偶 奇评析：若分别求 和 计算很繁琐，此时将 整体处理，则可以繁为简1ad奇 偶，二、 方程思想用方程思想处理等差数列问题，就是将原问题转化为确定参数的问题，而这些参数的确定又需通过对方程（组）的研究来完成例 2 是否存在这样的等差数列 ，使它的首项为 1，公差不为零，且其前 项中，na 3n前 项的和与后 项的和的比值对于任意自然数 都等于常数？若存在，求出数列nn的通项公式及该常数；若不存在，说明理由a解：若存在这样的等差数列 ，其公差为 ，前 项的和记为 ，则其后 项的nadnnS2和为 3nS由题意，记 （ 为常数） ，3n将其变形得 3(1)nS
8、将 和 代入，2nSd2(31)nd化简整理得 (8)40要使成为恒等式的充要条件是 即(18)2dd， ，21.8，故存在这样的等差数列 ，其通项公式为 ，常数 na2na评析：此类“存在性”问题，通常是运用方程思想将原问题转化为对参数的求解问题三、 函数思想数列是特殊的函数，所以可用函数观点把数列中的数量关系表示出来加以研究，这种利用函数思想合理转化的手段是解决等差数列问题的重要策略例 3 已知在等差数列 中， ，求这个数列的前 项的na234nnS， 3n和 nS解：由于 是关于 的一次函数，()f则点 共线342nSn， ， ， ， ，由斜率相等得 ，解得 3342nnS3nS所以该数
9、列前 项的和为 33评析：在等差数列 中，其前 项和公式 可以变形为 ，所nan 12nSda以是 的一次函数，且点 均在直线 上因此，在解等差数列nSnS， 12dyxa问题时，若能把问题转化为一次函数来研究，就很方便快捷四、 数形结合思想数形结合的思想是将问题的抽象的数量关系与直观的空间图形结合起来考查，即是把抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的一种重要的数学方法，它具有直观性、灵活性、形象性等特点数形结合贵在结合，只有把数与形完整的结合，才能达到事半功倍的效果例 4 若 是等差数列，首项 ，则使前na120342034aaa， ，项和 成立的最大自然数 是（ ）n0nS4005 4006 4007 4008解析： ， ，120342034aaa， ， 203204a，为 中的最大值203Sn是关于 的二次函数，其图象如图所示到对称轴的距离比 2004 到对称轴的距离小在对称轴的右侧根据图象的对称性可得 4006 在图4072象中零点 的左侧，4007，4008 都在 点右侧，BB使 成立的最大的自然数是 4006故选（） nS
