1、三角形中位线定理的证明及其教学说明一、 三角形中位线定理的几种证明方法法 1： 如图所示，延长中位线 DE 至 F，使 ，连结 CF，则 ，有 AD FC，所以 FC BD，则四边形 BCFD 是平行四边形，DF BC。因为 ，所以 DE BC21法 2： 如图所示，过 C 作 交 DE 的延长线于 F，则 ，有 FC AD，那么 FC BD，则四边形 BCFD 为平行四边形，DF BC。因为 ，所以 DE BC21法 3：如图所示，延长 DE 至 F，使 ，连接 CF、DC、AF，则四边形ADCF 为平行四边形，有 AD CF，所以 FC BD，那么四边形 BCFD 为平行四边形，DF BC
2、。因为 ，所以 DE BC21法 4：如图所示，过点 E 作 MNAB ，过点 A 作 AMBC，则四边形 ABNM为平行四边形，易证 ，从而点 E 是 MN 的中点，易证四边形CNAMADEM 和 BDEN 都为平行四边形，所以 DE=AM=NC=BN，DEBC，即 DE。BC21法 5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
3、如图，A 为线段 BC(或线段 BC 的延长线)上的任意一点，D、E 分别是 AB、AC的中点，线段 DE 与 BC 有什么关系？EDABC图：如果点 A 不在直线 BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?图：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当ABC 的顶点 A 运动到直线 BC 上时,中位线 DE 也运动到 BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行
4、及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。第二，要知道中位线定理的使用形式，如： DE 是ABC 的中位线EDAB CEDAB C DEBC， BCDE21第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。题 1 如图 4.11-7，RtABC，BAC90，D、E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在 CA 延长线上，FDAB.(1)求证：AFDE；(2)若 AC6，BC10，求四边形 AEDF 的周长.分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。(1)要证 AFDE，因为它们刚好是四边形的一组对
5、边，这就启发我们设法证明 AEDF 是平行四边形.因为 DE 是三角形的中位线，所以 DEAC.又题给条件FDAB，而在 RtABC 中，因 AE 是斜边上的中线，故 AEEB.从而EABB.于是EABFDA.故得到 AEDF.所以四边形 AEDF 为平行四边形.(2)要求四边形 AEDF 的周长，关键在于求 AE 和DE，AE 21BC5，DE 21AC3.证明：(1)D、E 分别为 AB、BC 的中点，DEAC，即 DEAFRtABC 中，BAC90，BEECEAEB 21BC，EABB又FDAB，EABFDAEADF，AEDF 为平行四边形AFDE(2)AC6，BC10，DE 21AC3
6、，AE 21BC5四边形 AEDF 的周长2(AE+DE)2(3+5)16题 2 如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，延长 BA 和 CD 分别与 EF 的延长线交于 K、H。求证：BKECHE.分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑，连 BD，找 BD 中点 G，则 EG、FG 分别为BCD、DBA 的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好.证明：连 BD 并取 BD 的中点 G，连 FG、GE
7、在DAB 和BCD 中F 是 AD 的中点，E 是 BC 的中点FGAB 且 FG 21AB，EGDC 且 EG 21DCBKEGFE，CHEGEFABCD FGEGGFEGEF BKECHE题 3 如图， ABCD 为等腰梯形，ABCD，O 为 AC、BD 的交点，P、R、Q分别为 AO、DO、BC 的中点，AOB60。求证：PQR 为等边三角形.分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边中线定理。利用条件可知 PR 21AD，能否把 PQ、RQ 与 AD(BC)联系起来成为解题的关键，由于AOB60，ODOC，则ODC 为等边三角形，再由 R 为 OD中点，则BRC
8、90，QR 就为斜边 BC 的中线.证明：连 RC，四边形 ABCD 为等腰梯形且 ABDCADBC ADCBCD又DC 为公共边 ADCBCDACDBDC ODC 为等腰三角形DOCAOB60 ODC 为等边三角形R 为 OD 的中点ORC90DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)Q 为 BC 的中点 RQ 21BC AD同理 PQ 21BC AD在OAD 中 P、R 分别为 AO、OD 的中点PR 21AD PRPQRQ故PRQ 为等边三角形3、教学难点：本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何添加辅助线教师可以在证明思路上进行引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出
9、来让学生接受。例如，教师可以启发学生：要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”，这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略：1， 长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。（角也亦然）2， 短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。（角也这样）3， 加倍法：要证明一条线段等于
10、另一条线段的 2 倍或 1/2，可加倍延长线段，延长后使之为其 2 倍，再证明与另一条线段相等。（角也这样）4， 折半法：要证明一条线段等于另一条线段的 2 倍或 1/2，也可取长线段的中点，再证明其中之一与另一条线段相等。（角也可用）5， 代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。6， 相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。题 1（短延长）：如图所示，在正方形 ABCD 中，P、Q 分别为 BC、CD 上的点。（1）若 PAQ=45，求证：PB+DQ=PQ。（2）若PCQ 的周长等于正方形周长的一半，求证： PAQ=45 A D Q B P C
11、证明：（1）延长 CB 至 E，使 BE=DQ，连接 AE。四边形 ABCD 是正方形 ABE= ABC= D=90，AB=AD在ABE 和ADQ 中AB=AD， ABE= D，BE=DQABEQAPDEAQ， ，即45在 和 中， ，即 PPAEQBDQPA D Q E B P C （2）延长 CB 至 E，使 BE=DQ，连接 AE由（1）可知 ABDQAEQBADDEQPCCBPEBPAEQPA， 的 周 长 等 于 正 方 形 周 长 的 一 半在 和 中， ，9045()()题 2（长截短）：如图，在ABC 中，B=2C，A 的平分线 AD 交 BC于 D。求证：AC=AB+BD证明： 在 AC 上截取 OA=AB，连接 OD，3= 4， AD=AD ABDAOD， BD=DOB=1=2+C= 2C 2= C OD=OC=BD AC=OA+OC=AB+BD 1243ODAB C学(优)中-考，网
