1、归纳猜想证明数学归纳法可以用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题等。在学习合情推理时所猜得的结论，其可靠性的证明，常常也需要数学归纳法来解决。这就形成了数学中的一类典型题目，即：“归纳猜想证明”。例 1 数列 满足 。na2*nnSaN（1）计算 ， ， ， ，并由此猜想数列 的通项公式；1234na（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。分析：在用数学归纳法对（1）中的猜想证明时，关键是利用 求得 ，在ka1k此要注意已知条件中等式的应用，由于它适用于所有自然数，因此可将其中的换做 ，然后两式相减，合并同类项即得到表达式。k解析：（1） ， ， ， ，1a2
2、374a158由此可猜想 。1n（2）下面用数学归纳法证明：当 时，左边 ，右边 ，猜想成立。1n1a12假设 时猜想成立，即 ，k1k那么据已知 ， 2kkSa， 11k由- 可得 ，1kk ，即当 时猜想也成立。1122kkkka 1nk根据可知，猜想对任何 都成立。*nN评注：高考对数学归纳法的考查时隐时现，有时隐蔽在递推数列中考查，应深刻理解与把握“归纳猜想证明”的基本方法，注重其应用。例 2 已知 ，是否存在 的整式 ，使得等式123na*nNnq ，对于大于 1 的一切自然数 都成立，并证明你1a1nq的结论。分析：假设存在 ，去探索 等于多少。q解析：当 时，由 ，即 ，解得 ；
3、2n121a12q2q当 时，由 ，即 ，解得3n1231aqa1322q；q当 时，由 ，即 =4n12341aqa123，解得 。123q由此猜想 。2,nN下面用数学归纳法证明：当 时，等式 ,*n12a成立。1nna当 时，由以上经验可知等式成立。2假设当 时等式成立，即 ，则k,*N12a1kka当 时， 1n12a1kakk。k1k ka当 时，等式也成立。1n由知，对于大于 1 的自然数 ，存在整式 ，使得等式 nqn12a总成立。1nnaq评注：这是一个探索性问题，整式 需要用经验归纳法来探求和发现，用观察、归纳、猜想的思维途径去概括，然后用数学归纳法给出严密的证明。例 3 是
4、否存在常数 、 、 使等式abc对一切正整数 成立？证222421nnanbc n明你的结论。分析：先取 1、2、3，探求 、 、 的值，然后用数学归纳法证明对一切c的 ， 、 、 所确定的等式成立。*nNabc解析：分别用 1、2、3 代入解方程组 ，解得 。n016438918abc140abc下面用数学归纳法证明：（1）当 时，由上式可知等式成立；n（2）假设当 时等式成立，即k，22242kkakbc则当 时，左端1n22222111kk 2kkkk 42111，42k当 时，等式也成立。1n由（1）、（2）得等式对一切 都成立。*nN评注：本题是探索性命题，它通过观察归纳猜想证明完整
5、的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是一种非常重要的思维能力。分析综合 巧结妙解分析法和综合法是两种思路相反的证明与推理方法，综合法证明是“由因导果” ，分析法证明是“执果索因” 。它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的联合运用，正如恩格斯所说的：“没有分析就没有综合” 。在数学的证明中不能把分析法和综合法绝对分开。例 1 设 ，若函数 与 的图像关于 轴对称，2()(0)fxabc(1)fx(fy求证 为偶函数。f证明 1：要证 为偶函数，只须证明其对称轴为 ,1()2fx 0x即只须证 ,0ba只须证 （*
6、） 。由已知，抛物线 的对称轴 与抛物线的对称轴 关于 轴对称，(1)fx12bxa2bxay2ba于是得 （*）为偶函数。1()fx证明 2：记 F ,()f欲证 F 为偶函数，只须证xF =F ,()x即只须证（*）1()()2fxf由已知，函数 与 的图象关于 轴对称，而函数 与 的图象也xy()fx)f是关于 轴对称的，y()1)ff于是有 (2xx)f（*）1()2fx为偶函数。()f评注：本题的证明过程把综合法和分析法较好的结合起来，前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，本题也可以先用综合法后用分析法。例 2 设 ,求证nN221133n证明：把结论分解为两个部分考察设 ,221nxn,3y则由 120()nx1234()ny可知，数列 与 都是单调递增数列。再运用综合法，先寻求两个数列的联系nxy,1,222344()()()nn把这种联系概括为 ，从而得到xy221331n评注：上述思考过程的前半部分运用了分析法，后半部分则运用了综合法。
