1、ACBD高一数学必修 5 导学案 正弦定理、余弦定理的应用(1)一、学习目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力二、学习重点，难点重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。三、自主预习：1.实际问题中常用的角：（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线_的角叫仰
2、角，在水平线_的角叫俯角（如图）（2）指从正北方向_转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位叫为 （如图） 。（3）坡度：坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率. 四、能力技能检测：活动一、测量距离问题：例 1如图 1-3-1，为了测量河对岸两点 ,AB之间的距离，在河岸这边取 1km长的点 CD，并测得 90ACD， 60B， 75DC， 30，试求 ,A之间的距离. 【总结】变式训练 1、海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75的视铅垂线视线水平线视线仰角俯角 东北西南角，那
3、么 B 岛和 C 岛间的距离是 。变式训练 2.如图,一艘船以 32 海里/时的速度向正北航行,在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 20, 30 分钟后航行到 B处,在 B 处看灯塔 S 在船的北偏东 65方向上,求灯塔 S和 B 处的距离.（其中 sin20=0.342，结果保留到 0.1）活动二、方位角问题：例 2 一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持 45 分钟，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为 45 、距离为 10 海里的 C 处，并测得渔船以 9 海里/时的速度沿方位角为 105的方向航行，我海军舰艇立即以 21 海里/时的速度前去营救。求出舰艇的航向和赶上遇险渔
4、船所需的最短时间，能否营救成功？ 3sin21.814（ 其 中 当 时 ， ）【总结】变式训练 3、我舰在敌岛 A 南 50西相距 12 海里 B 处，发现敌舰正由岛沿北 10西的方向以 10 海里/时的速度航行，我舰要用 2 小时追上敌舰，则需要的速度大小为 。变式训练 4：海中有岛 A，已知 A 岛周围 8 海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A 岛在北 75东，航行 20 海里后，见此岛在北 30东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。活动三、测量高度问题： 3 =1.43.7例 、 航 空 测 量 组 的 飞 机 航 线 和 山 顶 在 同 一 铅 直 平 面 内 ， 已
5、 知 飞 机 的 高 度为 海 拔 10m， 速 度 为 180km/h.飞 机 先 看 到 山 顶 的 俯 角 为 5,经 过 20s后 又 看 到 山 顶 的 俯 角 为 45， 求 山 顶 的 海 拔 高 度 (取 2， ）【总结】变式训练 5、某人在塔的正东方沿南偏西 60的道路前进 40 米后，望见塔在东北方向上，若沿途测的塔的最大仰角为 30，求塔高.五、回顾反思：【课时作业】1已知三角形的三边长分别为 a、b、 ，则这个三角形的最大角是_. a2 ab b22海上有 A、 B 两个小岛相距 10 nmile，从 A 岛望 B 岛和 C 岛成 60的视角，从 B 岛望 A 岛和 C
6、 岛成 75角的视角，则 B、 C 间的距离是_.3某人以时速 a km 向东行走，此时正刮着时速 a km 的南风，那么此人感到的风向为 ，风速为 . 4某船开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东 60的方向航行 30 nmile 后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 . 5甲、乙两楼相距 20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲、乙两楼的高分别是 . 6在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为 ，由此点向塔沿直线行走 30 米，测得塔顶的仰角为 2 ，再向塔前进 10 米，又测得塔顶的仰角为 4 ，则塔高是 米. 37在 ABC 中，求证：
7、 .cos2Aa2 cos2Bb2 1a2 1b28欲 测 河 的 宽 度 ， 在 一 岸 边 选 定 A、 B 两 点 ， 望 对 岸 的 标 记 物 C， 测 得 CAB 45， CBA75， AB120 m，求河宽.（精确到 0.01 m）9甲舰在 A 处，乙舰在 A 的南偏东 45方向，距 A 有 9 nmile，并以 20 nmile/h 的速度沿南偏西 15方向行驶，若甲舰以 28 nmile/h 的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？10. 据气象台预报，距 S 岛 300 km 的 A 处有一台风中心形成，并以每小时 30 km 的速度向北偏西 30的方向移动，
8、在距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响.问： S 岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.11.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处（ 1）海里的 B 处有一艘走私船.3在 A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船，奉命以 10 海里时的速3度追截走私船，此时走私船正以 10 海里时的速度，从 B 处向北偏东 30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间. 1120， 25 nmile， 3东南 a 410 520 ，6 2 3 3203 36157
9、在 ABC 中，求证： .cos2Aa2 cos2Bb2 1a2 1b2提示：左边 ( )2( )右边.1 2sin2Aa2 1 2sin2Bb2 1a2 1b2 sin2Aa2 sin2Bb28欲 测 河 的 宽 度 ， 在 一 岸 边 选 定 A、 B 两 点 ， 望 对 岸 的 标 记 物 C， 测 得 CAB 45， CBA75， AB120 m，求河宽.（精确到 0.01 m）解：由题意 C180 A B180457560在 ABC 中，由正弦定理 ABsinC BCsinA BC 40ABsinAsinC 120sin450sin600 6S ABC ABBCsinB ABh12
10、12 h BCsinB40 6020 94.6466 24 3河宽 94.64 米.9甲舰在 A 处，乙舰在 A 的南偏东 45方向，距 A 有 9 nmile，并以 20 nmile/h 的速度沿南偏西 15方向行驶，若甲舰以 28 nmile/h 的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？解：设 th 甲舰可追上乙舰，相遇点记为 C则在 ABC 中， AC28 t， BC20 t， AB9， ABC120由余弦定理AC2 AB2 BC22 ABBCcosABC(28t)281(20 t)22920 t( )12整理得 128t260 t270解得 t (t 舍去)34 932故 BC15（nmi le） ， AC21( nmi le) 由正弦定理 BACsin10sisin BAC 1521 32 5143 BACarcsin5143故甲舰沿南偏东 arcsin 的方向用 0.75 h 可追上乙舰. 4 514 3CBA
