1、2.4 抛物线一 教学设想1 2 3 1 抛物线及标准方程（1） 教具的准备问题 1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题 2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于 y 轴、开口向上或开口向下两种情形引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.通过提问来激发学生的探究欲望，首先研究抛物线的定义，教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示，再由学生归纳出抛物线的定义（2）
2、抛物线的标准方程设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0)下面，我们来求抛物线的方程怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案方案 1：(由第一组同学完成，请一优等生演板)以 l 为 y 轴，过点 F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴建立直角坐标系(图 2-30)设定点 F(p，0)，动点 M 的坐标为(x，y)，过 M作 MDy 轴于 D，抛物线的集合为：p=M|MF|=|MD|化简后得：y2=2px-p2(p0)方案 2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点 F 为原点，平行 l 的
3、直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31)设动点 M 的坐标为(x，y)，且设直线 l 的方程为 x=-p，定点 F(0，0)，过 M 作 MDl 于 D，抛物线的集合为：p=M|MF|=|MD|化简得：y2=2px+p2(p0)方案 3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板)取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系(图 2-32)抛物线上的点 M(x，y)到 l 的距离为 d，抛物线是集合 p=M|MF|=d化简后得：y2=2px(p0)（3） 例题讲解与引申教材中选取了 2 个例题，例 1 是让学生会
4、应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。例 2 是应用方面的问题，关键是由题意设出抛物线的方程即可。2 2。 3 2 抛物线的几何性质（1） 抛物线的几何性质下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程 y2=2px(p0)出发来研究它的几何性质(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以 y2=2px(p0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写（2） 例题的讲解与引申例 3 有 2 种解法；解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离可得焦半径公式设 P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此
5、必须熟练掌握(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设 AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p特别地：当 ABx 轴，抛物线的通径|AB|=2p例 4 涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法附 教学教案2.4.1 抛物线及标准方程知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力过程与方法目标情感，态度与价值观目标（1）培养
6、学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力（1） 复习与引入过程回忆平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹，当0e1 时是椭圆，当 e1 时是双曲线，那么当 e=1 时，它又是什么曲线？2简单实验如图 2-29，把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳
7、子的一端固定于三角板另一条直角边上的点 A，截取绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点 F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结（3） 新课讲授过程（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义板书平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F不在定直线 l 上)定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线.(ii) 抛物线标准方程的推导过程引导学生分析出：方案 3 中得出的方程
8、作为抛物线的标准方程这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2 倍由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中 P0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆即：当对称轴为 x轴时，方程等号右端为2px，相应地左端为 y2；当对称轴为 y 轴时，方程等号的右端为2py，相应地左端为 x2同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号(iii)例题讲解与引申例 1 已知抛物线的标准方程是 y2=6x，
9、求它的焦点坐标和准线方程已知抛物线的焦点是 F(0,-2)，求它的标准方程解 因为 p=3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2,0）准线方程是 x=-3/2因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且 p/2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是 x2=-8y例 2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为 4.8m 深度为 0.5m，求抛物线的标准方程和焦点坐标。解；设抛物线的标准方程是 y2=2px (p0)。有已知条件可得，点 A 的坐标是（0.5，2.4）代入方程，得 2.4=2p*0.5 即=5.76所以，抛物线的标
10、准方程是 y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）练习：第 72 页 1、2、3、作业：第 78 页 1、2、3、4、2.4.2 抛物线的几何性质知识与技能目标使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力过程与方法目标复习与引入过程1抛物线的定义是什么？请一同学回答应为：“平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”2抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答应为：抛物线的标准方程是 y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和 x2=
11、-2py(p0)下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程 y2=2px(p0)出发来研究它的几何性质板书抛物线的几何性质（2）新课讲授过程（i）抛物线的几何性质通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较其结果是应规定抛物线的离心率为 1注意：这样不仅
12、引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了（ii）例题讲解与引申例题 3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M(-3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为 y2=-2px(p0)，则准线方因为抛物线上的点 M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得 p=4因此，所求抛物线方程为 y2=-8x又点 M(-3，m)在此抛物线上，故 m2=-8(-3)解法二：由题设列两个方程，可求得 p 和 m由学生演板由题意在抛物线上且|MF|=5，故例 4 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B 两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图 2-34)证明：(1)当 AB 与 x 轴不垂直时，设 AB 方程为：此方程的两根 y1、y2 分别是 A、B 两点的纵坐标，则有 y1y2=-p2或 y1=-p，y2=p，故 y1y2=-p2综合上述有 y1y2=-p2又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，练习：第 78 页：1、2、3、4、作业：5、6、7
