1、等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标：等差数列与等比数列性质的综合应用二、自主学习：【课前检测】1.x= 是 a、x、b 成等比数列的( D )条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要2等比数列 中， ，若 ，则 等于（ C ）n23,9a243kk（A）4 （B）5 （C）6 （D）42直面考点：1）等比数列的定义；2）等比数列的通项公式。略解： 6qa3aq 51-k2-k2 3若数列 （ *）是等差数列，则有数列 （ *）也为nN12nnab N等差数列，类比上述性质，相应地：若数列 是等比数列，且 （ *） ，则有cnc0（ *）也是等比数列nd12n
2、C4设 和 分别为两个等差数列的前 项和，若对任意 ，都有 ，nSTn*nN7142nST则第一个数列的第 项与第二个数列的第 项的比是 1143说明： 21naSbT【考点梳理】1.基本量的思想：常设首项、 （公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。解读：“知三求二” 。2.等差数列与等比数列的联系1）若数列 是等差数列，则数列 是等比数列，公比为 ，其中 是常数， 是nana dad的公差。 （a0 且 a1） ；n2）若数列 是等比数列，且 ，则数列 是等差数列，公差为 ，其n0nloganlogaq中 是常数且 ， 是 的公比。a0,1a
3、q3）若 既是等差数列又是等比数列,则 是非零常数数列。n n3.等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较等 差 数 列 等 比 数 列定义an为等差数列 an+1-an=d（常数） ，nN +2an=an-1+an+1（n2，nN +）成 等 比 数 列)0,2(1 nnn aqaqa通项公式 = +（n-1）d= +（n-k）nkad （ 0,1qa）knn1求和公式BA2)(2)(S211 dnnn )1(1)(1 qqasnn中项公式等差中项：若 a、b、c 成等差数列，则 b称 a与 c的等差中项，且 b= ；a、b、c 成等2差数列是 2b=a+c的充要条件. abGa
4、bb2的 等 比 中 项与an为等比数列是 an+12=anan+2的充分但不必要条件.1mnlknlka(反之不一定成立)；特 别 地 ,当 时 ,有2p； 特例：mnaa1+an=a2+an-1=a3+an-2=。若 m、n、l、kN *，且 m+n=k+l，则aman=akal，反之不成立.特别地， 。另：2,2pnmap则若 ()nkn即：首尾颠倒相12132naa乘，则积相等2下标成等差数列且公差为 m的项 ak，a k+m，a k+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为 md.下标成等差数列且公差为 m的项ak，a k+m，a k+2m，组成的数列仍为等比数列，公比为 qm.重要性质
5、3成等nnnss232,差数列。成等比数列。nnnss232,三、合作探究：例 1 （2010 陕西文 16）已知a n是公差不为零的等差数列，a 11，且 a1，a 3，a 9成等比数列.（）求数列a n的通项;（）求数列2 an的前 n项和 Sn.解：（）由题设知公差 d0，由 a11，a 1，a 3，a 9成等比数列得 12d 8，解得 d1，d0（舍去） ， 故a n的通项 an1+（n1）1n.()由（）知 2ma=2n，由等比数列前 n项和公式得Sm=2+22+23+2n= (12)n=2n+1-2.变式训练 1 （2010 北京文 16）已知a n为等差数列，且 36a， 0。（
6、）求a n的通项公式；（）若等比数列 满足 18b， 2123，求 的前 n项和公式n b解：（）设等差数列 a的公差 d。 因为 36,0a所以 12650 解得 1,2d所以 ()2nan（）设等比数列 b的公比为 q。 因为 21234,8bab所以 824q即 =3。 所以 n的前 项和公式为 ()(1)nnnqS小结与拓展：数列 是等差数列，则数列 是等比数列，公比为 ，其中 是常数，nana da是 的公差。 （a0 且 a1）.dn题型 2 与“前 n项和 Sn与通项 an”、常用求通项公式的结合例 2 （2009 广东三校一模）数列a n是公差大于零的等差数列， 2a, 5是方
7、程 2x071x的两根。数列 nb的前 项和为 T,且 n1nbN，求数列na, b的通项公式。解：由 27,1552a.且 0d得 9,352a 3d, 1Nnn1 在 nnbT21中,令 ,得 .321b当 时,T n= ,21nb112nbT,两式相减得 nn1, 1 Nnn3变式训练 2 已知数列a n的前三项与数列b n的前三项对应相同，且a12a 22 2a32 n1 an8n 对任意的 nN *都成立，数列b n1 b n是等差数列求数列a n与b n的通项公式。解：a 12a 22 2a32 n1 an8n(nN *) 当 n2 时，a 12a 22 2a32 n2 an1 8
8、(n1)(nN *) 得 2n1 an8，求得 an2 4n ，在中令 n1，可得 a182 41 ，a n2 4n (nN *) 由题意知 b18，b 24，b 32，b 2b 14，b 3b 22，数列b n1 b n的公差为2(4)2，b n1 b n4(n1)22n6，法一（迭代法）bnb 1(b 2b 1)(b 3b 2)(b nb n1 )8(4)(2)(2n8)n 27n14(nN *)法二（累加法）即 bnb n1 2n8，bn1 b n2 2n10，b3b 22，b2b 14，b18，相加得 bn8(4)(2)(2n8)8 n 27n14(n N*)(n 1)( 4 2n 8
9、)2小结与拓展：1）在数列a n中，前 n项和 Sn与通项 an的关系为：.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累)N,( 1Sann加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。题型 3 中项公式与最值（数列具有函数的性质）例 3 （2009 汕头一模）在等比数列a n中，a n0 (nN ） ，公比 q (0,1)，且 a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，a 3与 as的等比中项为 2。 （1）求数列a n的通项公式；（2）设bnlog 2 an，数列b n的前 n项和为 Sn当 S最大时，求 n的值。解：（1）因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，所以， 23
10、+ 2a3a5 + 225又 ano，a 3a 55 又 a3与 a5的等比中项为 2，所以，a 3a54而 q（0,1） ，所以，a 3a 5，所以，a 34，a 51， q，a 116，所以，1562nnna（2）b nlog 2 an5n，所以，b n1 b n1，所以，b n是以 4为首项，1 为公差的等差数列。所以， (9),2nS2nS 所以，当 n8 时， nS0，当 n9 时， nS0，n9 时， 0，当 n8 或 9时， 12最大。变式训练 3 （2009 常德期末）已知数列 na的前 n项和为 1,4nSa且12nnSa，数列 nb满足 194且 3b(2)N且 （）求 的
11、通项公式；（）求证：数列 n为等比数列;（）求 nb前 n项和的最小值解：(1)由 122nSa得na, 1()24d (2) 3nb, 13nb, 1 13()624nna b;1 13()2424nn由上面两式得 1nba,又 90a数列 nba是以-30 为首项, 3为公比的等比数列. (3)由(2)得 10()nn， 1130()30()24nnnba2132424nb = 10()0()3nn ， nb是递增数列 当 n=1时, 194b0，所以,从第 4项起的各项均大于 0,故前 3项之和最小.且 310(5)32S 小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与
12、等比中项。四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1重要思想：基本量思想、分类讨论思想、函数与方程思想。2重要方法：配方法、迭代法、累加法及累乘法。3重要考点：1）数列a n中，前 n项和 Sn与通项 an的关系为：. 2）韦达定理：一元二次方程)N,( 11Sann 0)(acbxa2的两个根为 、 ，则 ；反过来，若 ，则 、 是方程1x2acxb-21 nxm2112的两根。0)(-2124.等差数列与等比数列的联系1）若数列 是等差数列，则数列 是等比数列，公比为 ，其中 是常数， 是nana dad的公差。 （a0 且 a1） ；n2）若数列 是等比数列，且 ，则数列 是等差数列，
13、公差为 ，其n0nloganlogaq中 是常数且 ， 是 的公比。a0,1aq3）若 既是等差数列又是等比数列,则 是非零常数数列。n n五、检测巩固：1 （1）若一个等差数列前 3项的和为 34，最后三项的和为 146，且所有项的和为 ,则390这个数列有 13 项；（2）已知数列 是等比数列,且 , , ，则 na0na*N354657281aa46a9 （3）等差数列前 项和是 ，前 项和是 ，则它的前 项和是 210 m321m2若数列 成等差数列，且 ，求 n ,()mnSnS解：（法一）基本量法（略） ；（法二）设 ，则2nSAB2(1)2得： ， ， ，(1)22()()n()
14、1mnAB 2()()()nmSAnmB3等差数列 中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，na 76，求其项数和中间项.1解：设数列的项数为 项，21则 ，1()7naS奇 2()6naS偶 ， ，数列的项数为 ，中间项为第 项，且 6奇偶 13771a说明：（1）在项数为 项的等差数列 中， ；21nna2+1=(+),=()nSaS奇 中 偶 中 中（2）在项数为 项的等差数列 中 ,nna1奇 偶4数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，数列 满足na010b，12(lglg)k kba *()N（1）求数列 的前 项和的最大值；（2）求数列 的前 项和 n |nnS解
15、：（1）由题意： ， ，410nl4n数列 是首项为 3，公差为 的等差数列，lgna ，12(1)l2k (1)732n nb由 ，得 ，数列 的前 项和的最大值为10nb67nn 67S（2）由（1）当 时， ，当 时， ，0nb70nb当 时，7n 212313()24nnS n当 时，12789n nSbb 27121()4nSb 23()417nn5*若 和 分别表示数列 和 的前 项和，对任意自然数 ，有 ，nSTnabnn23na， （1）求数列 的通项公式；（2）设集合 ，423 *|,nAxN若等差数列 任一项 是 中的最大数，且*|,nBybNnc1,nBc，求 的通项公式102652cnc解：（1）当 时： ，*,11423()nnTS两式相减得： ， ，又 也适合上式，4123nbaba5417b数列 的通项公式为 n54（2）对任意 ， ， ，*N,12(6)3nnBAAB 是 中的最大数， ，设等差数列 的公差为 ，则 ，1c1c7ncd1079cd ，即 ，又 是一个以 为公差的等差数2657925d129d4nb2列， ， ， *1()dkN47nc六、学习反思：
