1、“等比数列”知识问答问：当我们使用公比 时应注意哪些问题？q答：（1）注意讨论公比 时的情形1（2）注意公比 可以为负数如等比数列 ，其公比为 (2)nna2（3）等比数列 的首项为 ，公比为 ，则na1a0q当 ， 或 ， 时， 是递增数列；1q0q0n当 ， 或 ， 时， 是递减数列；1a1a当 时， 是常数列；qn当 时， 是摆动数列0a问：若 ，则 成等比数列，对吗？2bcbc，答：不对，在 中， 可以为 0，故不能推出 成等比数列所以，a， abc，应明确它成立的前提条件是 0c问：解决等比数列问题有哪些基本方法？答：（1）注意与等差数列对比，会用类比思想解决问题（2）等比数列的前
2、项和公式及通项公式涉及到五个量： ，已知其n 1naqS，中任意三个，可通过列方程（组）求出另外两个（3）注意灵活设未知数例如：三个数成等比数列，可设这三数为 ；四个aq，正数或负数成等比数列，可设这四个数为 ；33aq，（4）巧妙利用等比中项的性质： 成等比数列，则 或 ；(0)Gb， 2Gabab但要注意，两个正数或两个负数的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数和一个负数没有等比中项（5）在求等比数列的和时，当 ，易得 ；当 时，其求解方法可参照第1q1nSaq6 期的相关内容问：在数列 中，如何求解满足下面几种特殊类型递推式的通项公式：na（ 是不为零的常数，且 ） ； ；11nna
3、pqp， 1p10()nnnxqrx； 1(010)knn napka， 1nnAxB答：对于 （ 是不为零的常数，且 ）型的递推式，此式称11nnapqp， 1p为二阶递推关系式，可以用待定系数法求通项，即设 ，与原式比较，11()nnaxyax求出 ，转化为一个新的等比数列求解xy， 型的递推式，则可用倒数法求通项，即作倒数10()nnnpqxrx代换，将原式化为 的形式，问题便可迎刃而解nax10pqar 型的递推式，则可用对数法求通项，即两边取1(0)knn npak，对数，得 ，设 ，则将原式化为 ，问题便可以解lglgplgba1lgnbkp决了 型的递推式，则可用合分比定理求通项
4、，即使用合分比定理，得1nnAxB所以数列 是以 为公比的等比数1()1()nnnx xAx 1nxAB列，从而使问题得以解决等比数列中的思想方法数列是高中数学的重要内容，蕴涵着极其丰富的思想方法因此，如果能够有效地运用数学思想方法去分析问题、解决问题，不仅能够强化同学们的解题意识，而且对快速、巧妙的解题也大有裨益下面，就数列解题中常用的思想方法加以说明，以供参考1方程思想等比（或等差）数列 的通项公式、前 项和公式集中了等比（或等差）数列的五nan个基本元素 、 （或 ） 、 、 、 “知三求二”是等比（或等差）数列中最基本1aqdS的题型因此，我们常依据等比（或等差）数列的这一内在关系列出
5、方程（组） ，通过解方程（组）的方法解决问题例 1 在等比数列 中， ， ，求 n37263na解： ，632S q由 ， ，得372S63316()72.aq， ，得 ，319q ，2代入，得 ，1a 2nq2函数思想数列可以看作是定义在正整数集（或其有限子集）上的函数，因此利用函数观点解决数列问题是一种有效的方法利用函数的思想方法将问题转化为关于自变量 的函数，问n题往往会迎刃而解例 2 实数 满足什么条件时，数列 是递增数列？aq， naq()N解：设函数 ，()xf显然当 ， 或 ， 时，函数 是0， (1)， (0)， (1)， ()xfaq上的递增函数R所以，当 ， 或 ， 时，数
6、列 （()a， ()q， ()a， ()q， n是递增数列()nN3整体思想在数列求值等问题中，由于未知数的个数多，在根据题意列方程（组）求解时，有时运算较繁琐，甚至解不出若能从问题的全局出发，依据题目的某些条件，变换思考问题的角度，整体处理，常常可以简化问题，减少运算量，从而使解法简捷明快例 3 在等比数列 中， ， ，求公比 na1234a2348aq分析：本题可以利用前面的方程思想，列出关于首项 及公比 的两个方程，通过解1方程组求得 ，但我们若用整体思想来审视本题，则有更简洁的解法q解： ， ，1234a2348a ，123234()q 2341aq4分类讨论思想分类是按一定的标准把所要研究的对象分成若干种情况，把一个复杂的问题分解成若干个相对简单的问题，最终使整个问题得以解决如等比数列的前 项和公式就是对公比n按 和 分类讨论获得的q1例 4 求数列 ， ， ， ， 的前 项之和3a251()na(0)解：数列 ， ， ， ，的通项为 ，其中数列1(2)nna是等差数列，数列 是等比数列21n1n（1）当 时， a235(1)nSn（2）当 时， ，2135()nnSa 3aa ，得21(1) (2)nnnSa，2)naa ；121()nnnS综上得122()1).nnnaa，
