1、第 8 课时 幂函数1幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；注意：幂函数与指数函数的区别2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；（2）当 0时，幂函数在 0,)上 ；当 0时，幂函数在 (0,)上 ；（3）当 2,时，幂函数是 ；当 1,3时，幂函数是 3幂函数的性质：（1）都过点 ；（2）任何幂函数都不过 象限；（3）当 0时，幂函数的图象过 4幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点 (1,)平行于 y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在
2、第一、第二象限关于 轴 对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于 对称例 1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1） 3yx （2）12yx（3） 2yx （4） （5）12（6）1124()3()fx解：（1）此函数的定义域为 R， 3()()fxxf此函数为奇函数典型例题基础过关（2）12yx此函数的定义域为 0,) 此函数的定义域不关于原点对称 此函数为非奇非偶函数（3） 21yx此函数的定义域为 (,0)(,)21()fxfx此函数为偶函数（4） 22yxx此函数的定义域为 (,0)(,)221()()fxxfx此函数为偶函数（5）12yx此函数的定义域为
3、 0,)此函数的定义域不关于原点对称此函数为非奇非偶函数（6）11424()3()3fxxx00此函数的定义域为 此函数既是奇函数又是偶函数变式训练 1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1） 5yx （2）43yx（3）54yx（4）35yx（5）12yx分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式解：（1）定义域 R，值域 R，奇函数，在 R 上单调递增 （2）定义域 (,0)(,)，值域 (0,)，偶函数，在 (,0)上单调递增，在 (0,) 上单调递减（3）定义域 ,)，值域 ,)，偶函数，非奇非偶函数，在 ,)上单调递增（4）定义域 (0(，值域 (,0)(,
4、)，奇函数，在 (0上单调递减，在 (0,)上单调递减（5）定义域 (,)，值域 (,)，非奇非偶函数，在 (0,)上单调递减例 2 比较大小：（1）12.,7（2） 33(1.),.25)（3） 5.6,5（4） 30.3,log解：（1）12yx在 ,)上是增函数， 1.57，12.7（2） 3在 R上是增函数，.5， 33(1.)(.2)（3） yx在 0,上是减函数，.2.6， 11.2.6； 5xy是增函数， ， 12.；综上， 1265. （4） 30.， 0.， 3log.50， .53log变式训练 2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）233.5,(1.4),（2） 8
5、2065 （3）11233325(),(),()解：（1）2233.4.（2） 82465016,（3）2113332()()例 3 已知幂函数 23myx（ Z）的图象与 x轴、 y轴都无交点，且关于原点对称，求 的值分析：幂函数图象与 轴、 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数结合 ，便可逐步确定 m的值解：幂函数 23myx（ Z）的图象与 x轴、 y轴都无交点， 20， 1； Z， 2(3)，又函数图象关于原点对称， 2m是奇数， 0m或 2变式训练 3：证明幂函数1()fx在 ,)上是增函数分析：直接根据函数单调性的定义来证明证明：设 120x，则1()ff122xx12x0120x12()fxf即 12()ffx此函数在 ,)上是增函数1注意幂函数与指数函数的区别小结归纳2.幂函数的性质要熟练掌握
