1、对数函数一 般 地 ， 如 果 a（ a 大 于 0， 且 a 不 等 于 1） 的 b 次 幂 等 于 N， 那 么 数 b 叫 做 以a 为 底 N 的 对 数 ， 记 作 log aN=b,读 作 以 a 为 底 N 的 对 数 ， 其 中 a 叫 做 对 数 的 底 数， N 叫 做 真 数 。 对 数 的 公 理 化 定 义真 数 式 子 没 根 号 那 就 只 要 求 真 数 式 大 于 零 ,如 果 有 根 号 ,要 求 真 数 大 于 零 还 要 保 证根 号 里 的 式 子 大 于 零 ， 底 数 则 要 大 于 0 且 不 为 1 对 数 函 数 的 底 数 为 什 么 要
2、 大 于 0 且 不 为 1？ 【 在 一 个 普 通 对 数 式 里 a0 且 a1 时 ,M0,N0， 那 么 ： （ 1） log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （ 2） log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （ 3） log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （ n R） （ 4） 换 底 公 式 ： log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0 且 b1） (5) a(log(b)n)=n(log(b)a) 证 明 ： 设 a=nx 则 a(log(b)n)=（ nx） log(b)n=n（ xlog(b)n） =nl
3、og(b)（ nx） =n(log(b)a) 对 数 与 指 数 之 间 的 关 系当 a0 且 a1 时 ,ax=N x= (a)N (对 数 恒 等 式 ） 对 数 函 数一 般 地 ， 函 数 y=log(a)X,(其 中 a 是 常 数 ， a0 且 a 不 等 于 1） 叫 做 对 数 函 数 它 实 际 上 就 是 指 数 函 数 的 反 函 数 ， 可 表 示 为 x=ay。 因 此 指 数 函 数 里 对 于 a 的规 定 ， 同 样 适 用 于 对 数 函 数 。 右 图 给 出 对 于 不 同 大 小 a 所 表 示 的 函 数 图 形 ： 可 以 看 到 对 数 函 数
4、的 图 形 只 不 过 的 指 数 函 数 的 图 形 的 关 于 直 线 y=x 的 对 称 图 形， 因 为 它 们 互 为 反 函 数 。 （ 1） 对 数 函 数 的 定 义 域 为 大 于 0 的 实 数 集 合 。 （ 2） 对 数 函 数 的 值 域 为 全 部 实 数 集 合 。 （ 3） 函 数 图 像 总 是 通 过 （ 1， 0） 点 。 （ 4） a 大 于 1 时 ， 为 单 调 增 函 数 ， 并 且 上 凸 ； a 小 于 1 大 于 0 时 ， 函 数 为 单 调减 函 数 ， 并 且 下 凹 。 （ 5） 显 然 对 数 函 数 无 界 。 对 数 函 数 的
5、 常 用 简 略 表 达 方 式 ： （ 1） log(a)(b)=log(a)(b) （ 2） lg(b)=log(10)(b) （ 3） ln(b)=log(e)(b) 对 数 函 数 的 运 算 性 质 ： 如 果 a 0， 且 a 不 等 于 1,M0,N0， 那 么 ： （ 1） log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （ 2） log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （ 3） log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （ n 属 于 R） （ 4） log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （ n 属 于 R） 对 数
6、 与 指 数 之 间 的 关 系 当 a 大 于 0,a 不 等 于 1 时 ,a 的 X 次 方 =N 等 价 于 log(a)N log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （ n 属 于 R） 换 底 公 式 （ 很 重 要 ） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自 然 对 数 以 e 为 底 e 为 无 限 不 循 环 小 数 lg 常 用 对 数 以 10 为 底 对 数 函 数 的 常 用 简 略 表 达 方 式（ 1） 常 用 对 数 :lg(b)=log(10)(b) （ 2） 自 然 对 数 :ln(
7、b)=log(e)(b) e=2.718281828. 通 常 情 况 下 只 取 e=2.71828 对 数 函 数 的 定 义 对 数 函 数 的 一 般 形 式 为 y= (a)x， 它 实 际 上 就 是 指 数 函 数 的 反 函 数 (图 象 关 于 直线 y=x 对 称 的 两 函 数 互 为 反 函 数 ） ， 可 表 示 为 x=ay。 因 此 指 数 函 数 里 对 于 a 的 规 定（ a0 且 a1） ， 同 样 适 用 于 对 数 函 数 。 右 图 给 出 对 于 不 同 大 小 a 所 表 示 的 函 数 图 形 ： 可 以 看 到 对 数 函 数 的 图 形 只
8、 不 过 的 指 数 函 数 的 图 形 的 关 于 直 线 y=x 的 对 称 图 形， 因 为 它 们 互 为 反 函 数 。 性 质定 义 域 ： （ 0， +） 值 域 ： 实 数 集 R 定 点 ： 函 数 图 像 恒 过 定 点 （ 1， 0） 。 单 调 性 ： a1 时 ， 在 定 义 域 上 为 单 调 增 函 数 ， 并 且 上 凸 ； 0a1 时 ， 在 定 义 域 上 为 单 调 减 函 数 ， 并 且 下 凹 。 奇 偶 性 ： 非 奇 非 偶 函 数 ， 或 者 称 没 有 奇 偶 性 。 周 期 性 ： 不 是 周 期 函 数 零 点 ： x=1 注 意 ： 负
9、数 和 0 没 有 对 数 。 两 句 经 典 话 ： 底 真 同 对 数 正 底 真 异 对 数 负 对 数 函 数 的 历 史 ：16 世 纪 末 至 17 世 纪 初 的 时 候 ， 当 时 在 自 然 科 学 领 域 （ 特 别 是 天 文 学 ） 的 发 展 上经 常 遇 到 大 量 精 密 而 又 庞 大 的 数 值 计 算 ， 于 是 数 学 家 们 为 了 寻 求 化 简 的 计 算 方 法 而 发 明了 对 数 。 德 国 的 史 提 非 （ 1487-1567） 在 1544 年 所 著 的 整 数 算 术 中 ， 写 出 了 两 个 数列 ， 左 边 是 等 比 数 列
10、（ 叫 原 数 ） ， 右 边 是 一 个 等 差 数 列 （ 叫 原 数 的 代 表 ， 或 称 指 数 ， 德文 是 Exponent ， 有 代 表 之 意 ） 。 欲 求 左 边 任 两 数 的 积 （ 商 ） ， 只 要 先 求 出 其 代 表 （ 指 数 ） 的 和 （ 差 ） ， 然 后 再 把这 个 和 （ 差 ） 对 向 左 边 的 一 个 原 数 ， 则 此 原 数 即 为 所 求 之 积 （ 商 ） ， 可 惜 史 提 非 并 未作 进 一 步 探 索 ， 没 有 引 入 对 数 的 概 念 。 纳 皮 尔 对 数 值 计 算 颇 有 研 究 。 他 所 制 造 的 纳
11、皮 尔 算 筹 ， 化 简 了 乘 除 法 运 算 ，其 原 理 就 是 用 加 减 来 代 替 乘 除 法 。 他 发 明 对 数 的 动 机 是 为 寻 求 球 面 三 角 计 算 的 简 便方 法 ， 他 依 据 一 种 非 常 独 等 的 与 质 点 运 动 有 关 的 设 想 构 造 出 所 谓 对 数 方 法 ， 其 核 心思 想 表 现 为 算 术 数 列 与 几 何 数 列 之 间 的 联 系 。 在 他 的 奇 妙 的 对 数 表 的 描 述 中 阐明 了 对 数 原 理 ， 后 人 称 为 纳 皮 尔 对 数 ， 记 为 Nap x， 它 与 自 然 对 数 的 关 系 为
12、 Nap x=107 (107/x) 由 此 可 知 ， 纳 皮 尔 对 数 既 不 是 自 然 对 数 ， 也 不 是 常 用 对 数 ， 与 现 今 的 对 数 有 一 定 的距 离 。 瑞 士 的 彪 奇 （ 1552-1632） 也 独 立 地 发 现 了 对 数 ， 可 能 比 纳 皮 尔 较 早 ， 但 发 表 较迟 （ 1620） 。 英 国 的 布 里 格 斯 在 1624 年 创 造 了 常 用 对 数 。 1619 年 ， 伦 敦 斯 彼 得 所 著 的 新 对 数 使 对 数 与 自 然 对 数 更 接 近 （ 以 e=2.71828.为 底 ） 。 对 数 的 发 明
13、为 当 时 社 会 的 发 展 起 了 重 要 的 影 响 ， 正 如 科 学 家 伽 利 略 （ 1564-1642） 说 ： 给 我 时 间 ， 空 间 和 对 数 ， 我 可 以 创 造 出 一 个 宇 宙 。 又 如 十 八 世 纪 数 学 家 拉普 拉 斯 （ 1749-1827） 亦 提 到 ： 对 数 用 缩 短 计 算 的 时 间 来 使 天 文 学 家 的 寿 命 加 倍 。 最 早 传 入 我 国 的 对 数 著 作 是 比 例 与 对 数 ， 它 是 由 波 兰 的 穆 尼 斯 （ 1611-1656） 和 我 国 的 薛 凤 祚 在 17 世 纪 中 叶 合 编 而 成
14、 的 。 当 时 在 lg2=0.3010 中 ， 2 叫 真 数 ， 0.3010 叫 做 假 数 ， 真 数 与 假 数 对 列 成 表 ， 故 称 对 数 表 。 后 来 改 用 假 数 为 对 数 。 我 国 清 代 的 数 学 家 戴 煦 （ 1805-1860） 发 展 了 多 种 的 求 对 数 的 捷 法 ， 著 有 对 数简 法 （ 1845） 、 续 对 数 简 法 （ 1846） 等 。 1854 年 ， 英 国 的 数 学 家 艾 约 瑟 （ 1825-1905） 看 到 这 些 著 作 后 ， 大 为 叹 服 。 当 今 中 学 数 学 教 科 书 是 先 讲 指 数
15、 ， 后 以 反 函 数 形 式 引 出 对 数 的 概 念 。 但在 历 史 上 ， 恰 恰 相 反 ， 对 数 概 念 不 是 来 自 指 数 ， 因 为 当 时 尚 无 分 指 数 及 无 理 指 数 的 明 确概 念 。 布 里 格 斯 曾 向 纳 皮 尔 提 出 用 幂 指 数 表 示 对 数 的 建 议 。 1742 年 ， J 威 廉（ 1675-1749） 在 给 G 威 廉 的 对 数 表 所 写 的 前 言 中 作 出 指 数 可 定 义 对 数 。 而 欧拉 在 他 的 名 著 无 穷 小 分 析 寻 论 （ 1748） 中 明 确 提 出 对 数 函 数 是 指 数 函 数 的 逆 函 数 ，和 现 在 教 科 书 中 的 提 法 一 致 。高 考 试 题 库
