1、2.1.1 指数与指数幂的运算（3）从容说课指数是指数函数的预备知识，初中已经学习了整数指数幂的概念及其运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂.为了完成这个扩充，在学习了分数指数幂的概念和运算性质的基础上，必须了解无理数指数幂的概念.无理数指数是指数概念的又一次推广，无理数指数概念是本课教学中的一个难点.教学中要让学生通过多媒体的演示理解无理数指数幂的意义.教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，进一步巩固加深对这一概念的理解.由于学生已经有了有理数指数幂的运算性质的学习经历，无理数指数幂的概念引入后，学生不难理解实数指数幂的运算性质，教学中，可以引导学生
2、自己得出结论.得出了实数指数幂的运算性质，我们才能进一步学习指数函数.三维目标一、知识与技能1.理解无理数指数幂的含义.2.掌握无理数指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行实数指数幂的运算和化简.二、过程与方法1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂与无理数指数幂之间的内在联系，培养学生辩证地分析问题、认识问题的能力.三、情感态度与价值观1.通过无理数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类对事物的一般规律
3、的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解无理数指数幂的意义.3.通 过 研 究 指 数 由 “整 数 指 数 幂 根 式 分 数 指 数 幂 有 理 数 指 数 幂 实 数 指 数 幂 ”这 一 不 断 扩 充 、 不 断 完 善 的 过 程 ， 使 学 生 认 同 科 学 是 在 不 断 的 观 察 、 实 验 、 探 索 和 完 善中 前 进 的 .教学重点1.无理数指数幂的含义的理解.2.无理数指数幂的运算性质的掌握.教学难点1.无理数指数幂概念的理解.2.实数指数幂的运算和化简.教具准
4、备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、回顾旧知，探索规律，引入新课师：我们所学习的数的进化过程是怎样的?生：自然数整数分数（有理数）实数.师：从有理数到实数有什么补充?生：无理数.师：上节课学习了分数指数幂的概念及有理数指数幂的运算性质，指数的取值范围由整数推广到了有理数.那么，当指数是无理数时，我们又应当如何来处理呢?（众生思考，议论纷纷，但无结果）师：这就是我们本节课要学习的无理数指数幂.二、讲解新课（一）无理数指数幂的意义师：不妨看这样一个例子：5 这个数的结果是一个什么数?为什么?2生：无理数.因为指数是无理数，所以它也是无理数.师：我们从具体的数据来看一下是否成立呢?（多媒
5、体操作显示如下图片）的过剩近似值2 5 的近似值21.5 11.180339891.42 9.8296353281.415 9.7508518081.4143 9.739872621.41422 9.7386186431.414214 9.7385246021.4142136 9.7385183321.41421357 9.7385178621.414213563 9.738517752 5 的近似值2 的不足近似值29.518269694 1.49.672669973 1.419.735171039 1.4149.738305174 1.41429.738461907 1.414219.73
6、8508928 1.4142139.738516765 1.41421359.738517705 1.414213569.738517736 1.414213562 师：你发现上面的两表具有什么样的规律？生：第一张表是从大于 的方向逼近 ，5 就从 51.5，5 1.42，5 1.415，5 1.4143，22即大于 5 的方向逼近 5 ；第二张表是从小于 的方向逼近 ，5 就从222251.4，5 1.41，5 1.414，5 1.4142，即小于 5 的方向逼近 5 .2师：因此，我们可以得出这样一个结论：5 肯定是一个什么数?生：实数.一般地，无理数指数幂 a （a0， 是无理数）是一个
7、确定的实数.师 ： 细 心 的 同 学 可 能 已 经 发 现 了 ， 我 们 这 里 讨 论 无 理 数 指 数 幂 的 意 义 时 ， 对 底 数 a也 有 大 于 0 这 个 规 定 的 ， 为 什 么 要 作 这 个 规 定 呢 ？ 如 果 去 掉 这 个 规 定 会 产 生 怎 样 的 局面 ？合作探究：在规定无理数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？（组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数 a0 的合理性）若无此条件会引起混乱，如若 a=1，那么 a 是+1 还是1 就不确定了.（二）指数幂的运算法则师：有理数的运算性质能否适用于无理数呢?生 ： 因 为 无 理 数 指 数 幂
8、也 是 一 个 确 定 的 实 数 ， 所 以 能 进 行 指 数 的 运 算 ， 也 能 进 行 幂的 运 算 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.有理数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）对于任意的实数 r、s，均有下面的运算性质：a ras=ar+s（a0，r、s R） ；（a r） s=ars（a0，r、s R） ；（ab） r=arbr（a0，b0，r、s R）.（三）例题讲解【例 1】 使用计算器计算下列各式的值：（保留到小数点后第四位）（1）0.2 1.52；（2）3.14 2 ；（3）3.1 ；（4）5 .3解：（1）0
9、.2 1.520.0866；（2）3.14 2 0.1014；（3）3.1 2.1261；3（4）5 9.7385.2【例 2】 化简下列各式：（1） + ；132x3131x（2） + ；654726（3） + .22ba1)(ba（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤）解：（1） + = + =132x3131x1)(32x)(311)(321x+ =（x 1）1)(32131x1)(32x1)(3x3+（x x +1）x （x +1）=x 1+x x +1x x =x .3132123（2）+ = + =（ 654762)(3)(2)(3）+ （2 ）（2 ）= +2 2+
10、 =0.33（3） + = +22ba1)(ba1)(4222ba= + = +)(1ab)(1(22 )(21 12ba= =1.22ba方法引导：化简（1）这类式子，要考虑运算公式；化简（2）这类式子，要考虑根号里面可能是一个平方数；化简（3）这类式子，一般有两个方法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化为正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化为正指数.【例 3】 写出使下列等式成立的 x 的取值范围：（1） （ ） 3= ；x1（2） =（5x） .)2)(55解：（1）只需 有意义，即 x3，31x 的取值范围是（，3）（3，+）.（2） = =|x5| ，)25)(x)5(2
11、5|x 5| =（5x） 成立的充要条件是 x+5=0 或 ,5|0x即 x=5 或 .0,5x 的取值范围是5，5.三、巩固练习课本 P63 练习：4（生完成后，同桌之间互相交流解答过程）4.（1）1.3346；（2）0.0737；（3）0.9330；（4）0.0885.四、课堂小结师：本节课你有哪些收获，能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗？请把你们的交流过程作简单记录.（生交流，师投影显示如下知识要点）1.无理数指数幂的意义一般地，无理数指数幂 a （a0， 是无理数）是一个确定的实数.2.指数幂的运算法则a ras=ar+s（a0，r、s R） ；（a r） s=ars（a0，r、s R） ；（ab） r=arbr（a0，b0，r、s R）.五、布置作业课本 P69 习题 2.1A 组第 3 题，B 组第 2 题.板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（3）1.无理数指数幂的意义2.指数幂的运算法则3.例题讲解与学生训练4.课堂小结5.布置作业高考*试?题库
