1、- 1 -第 二 节 一 元 二 次 不 等 式 及 其 解 法 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图知识点一 一元二次不等式的解法 判别式 b24 ac 0 0 0)的图象一元二次方程ax2 bx c0(a0)的根有两相异实根x1， x2(x10(a0)的解集_ Rax2 bx c0)的解集_ _答案x|xx2 x|x b2a- 2 -x|x10，则S T( )A2,3B(，23，)C3，)D(0,23，)解析：集合 S(，23，)，结合数轴，可得
2、 S T(0,23，)答案：D2不等式 0 的解集为( )x 12x 1A.(12， 1B.12， 1C. 1，)( ， 12)D. 1，)( ， 12解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为 ，选 A.(12， 1答案：A3设一元二次不等式 ax2 bx10 的解集为 x|10 的解集为x|10(a0)恒成立的充要条件是：_(xR)2 ax2 bx c0 的解集为 R，则 m 的取值范围是_解析：当 m0 时，10 显然成立当 m0 时，由条件知Error!得 00，即 a216， a4 或 a0；(2)12x2 axa2(aR)；(3) 1(a0)a x 1x 2【解】 (1)原不等式可化为
3、 2x24 x30(4x a)(3x a)0(x )(x )0，a4 a3当 a0 时， ；a4a3 a4 a3当 a0 时， x20，解集为 x|xR 且 x0；当 a ，解集为 x|x a4a3 a3 a4(3) 10 0(a1) x2 a(x2)0.a x 1x 2 a 1 x 2 ax 2当 a1 时，不等式的解为 x2.当 a1 时，关键是( a1)的符号和比较 与 2 的大小a 2a 1 2 ，又 a0.a 2a 1 aa 1当 02，a 2a 1不等式的解为 21 时， 2.a 2a 1综上所述，当 02；当 a1 时，原不等式的解集为 x|x2.a 2a 1【总结反思】(1)解
4、决二次问题的关键：一是充分利用数形结合；二是熟练进行因式分解(2)通过解题程序，适时合理地对参数进行分类讨论(3)应善于把分式不等式转化为整式不等式.解下列不等式：(1)00(a0)- 5 -解：(1)原不等式等价于Error!Error!Error!Error!借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为 x|2 x0 知( x5 a)(x a)0.由于 a0 故分 a0 与 a a；当 a0 时， x5a.综上， a a； a0 时，解集为 x|x5a 或 x ，不满足题意；12当 m0 时，函数 f(x) mx22 x m1 为二次函数，需满足开口向下且方程 mx22 x m10 无解，即Er
5、ror!不等式组的解集为空集，即 m 无解综上可知不存在这样的 m.考向 2 形如 f(x)0( x a， b)恒成立问题【例 3】 设函数 f(x) mx2 mx1( m0)，若对于 x1,3， f(x)0 时， g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)max g(3)7 m60，又因为 m(x2 x1)63.故当 x 的取值为(，1)(3，)时，对任意的 m1,1，函数 f(x)的值恒大于零.【总结反思】恒成立问题求解思路(1)形如 f(x)0( f(x)0)( xR)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解(2)形如 f(x)0( x a， b)的不等式确定参数范围
6、时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于 0，从而求参数的范围- 7 -(3)形如 f(x)0(参数 m a， b)的不等式确定 x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.函数 f(x) x2 ax3.(1)当 xR 时， f(x) a 恒成立，求实数 a 的范围；(2)当 x2,2时， f(x) a 恒成立，求实数 a 的范围；(3)当 a4,6时， f(x)0 恒成立，求实数 x 的范围解析：(1) xR 时，有 x2 ax3 a0 恒成立，须 a24(3 a)0，即a24 a120，所以6 a2.(2)当 x2,2时，设 g(x)
7、 x2 ax3 a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当 g(x)的图象恒在 x 轴上方时，满足条件时，有 a24(3 a)0，即6 a2.如图， g(x)的图象与 x 轴有交点，但在 x2，)时， g(x)0，即Error!即Error!Error!解之得 x.如图， g(x)的图象与 x 轴有交点，但在 x(，2时， g(x)0.即Error!即Error!Error!7 a6，综上，得7 a2.(3)令 h(a) xa x23.当 a4,6时， h(a)0 恒成立只需Error!即Error!解之得 x3 或 x3 .6 6- 8 -答案：(1)6,2 (2)7,2(3)(，3 )3 ，)6 61二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式2当 0(a0)的解集为 R 还是.3解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏4对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a f(x)恒成立 a f(x)max；(2)a f(x)恒成立 a f(x)min.
