1、- 1 -第 一 节 不 等 关 系 与 不 等 式 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用知识点一 两个实数比较大小 1作差法Error!2作商法Error!答案1 b， a b， a1，则 ab.( )ab答案：(1) (2)2(必修P75 习题 3.1A组第 2题改编) _15 2 16 5(填“” “bbb， bc_；3可加性： aba c_b c， ab， cda c_b d；4可乘性： ab， c0acbc； ab0， cd0acbd；5可乘方： ab0an_bn(nN， n2)；6可开方： ab0 (nN， n2)nanb答案2
2、 ac 3. 5.3判断正误(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( )(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小( )(3)同向不等式具有可加和可乘性( )(4)ab0， cd0 .( )adbc(5)若 ab0，则 ab b d D a db c解析：由同向不等式具有可加性可知 C正确答案：C5若 N- 3 -C M N D不确定(2)已知 ab0，比较 aabb与 abba的大小【解析】 (1) M N a1a2 a1 a21 a1(a21)( a21)( a11)( a21)又 a1， a2(0,1)，故( a11)( a21)0，故 MN.(2)解： ( )a b，
3、aabbabba aa bba b ab又 ab0，故 1， a b0，ab( )a b1，即 1，ab aabbabba又 abba0， aabbabba， aabb与 abba的大小关系为： aabbabba.【答案】 (1)B (2) aabbabba【总结反思】比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤：作商；变形；判断商与 1的大小；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出
4、大小关系.(1)已知 xR， m( x1)( x2 1)， n( x )(x2 x1)，则 m， n的大小关系为( )x2 12A m n B mnC m n D m0.x2 12 12 12 12则有 xR 时， mn恒成立，故选 B.(2) ( )16ab 18161618 1816 1162( )16( )16( )16，98 12 982 (0,1)，( )160,16180，18 16b0， c B. D. 0，又 ab0，故由不等式性质，得 0，所以 y0，则( )A. 0 Bsin xsin y01x 1yC( )x( )y012 12【解析】 解法 1：因为 xy0，选项 A，
5、取 x1， y ，则 121y0，所以 x ”的( )1b 1aA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)若 |b|； a0，则 b0， a 成立，因1b 1a此“0 ”的充分条件；反之，若 a1， b2，结论“ a ”成1b 1a 1b 1a立，但条件 0 ”的必要条件即“0 ”的充分不必要条件1b 1a(2)因为 0，所以 a b0， b的符号不定，对于 ba，两边同时乘- 6 -以正数 c，不等号方向不变答案：(1)A (2)C (3)D热点三 求取值范围 【例 4】 已知12且 y2 B x2且 0y2解析：由题意得Error!Error!由 2x2 y
6、4 xy( x2)(2 y)0，得Error!或Error! 又xy4，可得Error!答案：C1洞察不等式的各个性质的结构特征，是寻找解题线索，启发解题思维的重要依据2比较两数大小，一般运用作差法，具体步骤是：作差变形判断(与 0比较)3判断不等式是否成立，一般可利用不等式性质、函数的单调性等进行推理，也可利用特殊值法对命题进行否定易错警示多次使用同向不等式的可加性致误【例】 设 f(x) ax2 bx，若 1 f(1)2,2 f(1)4，则 f(2)的取值范围是_【错解】 由Error!得Error!得 a3.得 b1.32 12- 8 -由此得 4 f(2)4 a2 b11.所以 f(2
7、)的取值范围是4,11【答案】 4,11【错因分析】 本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 f(2)的范围扩大【正解】 解法 1：设 f(2) mf(1) nf(1)，( m， n为待定系数)，则4a2 b m(a b) n(a b)，即 4a2 b( m n)a( n m)b.于是得Error!解得Error! f(2)3 f(1) f(1)又1 f(1)2,2 f(1)4.53 f(1) f(1)10，故 5 f(2)10.解法 2：由Error!得Error! f(2)4 a2 b3 f(1) f(1)又1 f(1)2,2 f(1)4，53 f(1) f(1)10，故 5 f(2)10.解法 3：由Error!确定的平面区域如图阴影部分，当 f(2)4 a2 b过点 A 时，取得最小值(32， 12)4 2 5，32 12当 f(2)4 a2 b过点 B(3,1)时，取得最大值 432110，5 f(2)10.【答案】 5,10解题策略：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运- 9 -算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径
