1、132 命题与证明第 1 课时 命题1了解命题的含义2对命题的概念有正确的理解3会区分命题的条件和结论重点找出命题的条件(题设)和结论难点命题概念的理解一、创设情境，导入新课教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于 180 度” ， “等腰三角形两底角相等”等根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确1如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2两直线平行，同位角相等；3同旁内角相等，两直线平行；4直角都相等二、合作交流，探究新知学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子 1、2、4 是正确的，句子 3 是错误的像这样对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题上
2、面判断性语句 1、2、4 都是正确的命题，称为真命题，3 是错误的命题，称为假命题教师：在数学中，许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部分组成的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果那么”的形式用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论例如，在命题1 中， “两个角是对顶角”是题设， “这两个角相等”就是结论有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果那么”的形式，就可以分清它的题设和结论了例如，命题 4 可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等 ”应用迁移、巩固提高1教师提出问题 1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“
3、如果那么”的形式，并分别指出命题的题设和结论学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形” 这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等” ，结论是“这个三角形是等边三角形” 2教师提出问题 2：把下列命题写成“如果那么”的形式，并说出它们的条件和结论(1)对顶角相等；(2)如果 a b， b c, 那么 ac.学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案(1)条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等(2)条件：如果 a b， b c；结论：那么 ac.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个
4、命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个命题叫逆命题说出上题的逆命题，并讨论三、运用新知，深化理解例 1 写出下列命题的题设和结论：(1)如果 a2 b2，那么 a b；(2)对顶角相等；(3)三角形内角和等于 180.分析：第(1)题中有“如果” “那么” ，条件结论明显，第(2)(3)题可先改写成“如果那么”的形式，再找出题设和结论解：(1)题设是“ a2 b2”，结论是“ a b”；(2)改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等题设：“两个角是对顶角” ，结论：“这两个角相等” ；(3)改写：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于 180.题设：“三个角是一个三角形的
5、三个内角” ，结论：“三个角的和等于 180”【归纳总结】通常情况下命题都可以写成“如果那么”的形式，当条件结论不是很明显的时候，把所给命题改写成“如果那么”的形式可以帮助我们找出题设和结论，在改写时，要做到语句通顺，措辞准确例 2 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假(1)如果 与 是邻补角，那么 180；(2)如果 ABC 是直角三角形，那么 ABC 的内角中一定有两个锐角分析：(1)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；(2)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据三角形的角的关系判断命题的
6、真假解：(1)逆命题为：如果 180，那么 与 是邻补角，此逆命题为假命题；(2)逆命题为：如果一个三角形中有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形，此逆命题为假命题【归纳总结】将命题的条件与结论互换，得到新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题，所举的例子，如果符合命题条件，但不满足命题的结论，称之为反例；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可四、课堂练习，巩固提高1教材 P77 练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知命题 命 题 的 概 念 ： 对 某 一 事
7、件 作 出 正 确 或 者 不 正确 判 断 的 语 句 （ 或 式 子 ） 叫 做 命 题 ；命 题 的 结 构 ： 由 题 设 和 结 论 两 部 分 组 成 ， 常写 成 “如 果 那 么 ”的 形 式 ；命 题 的 分 类 ： 真 命 题 和 假 命 题 （ 要 说 明 一 个命 题 是 假 命 题 ， 只 要 举 出 一 个 反 例 即 可 ） ；逆 命 题 ： 原 命 题 为 “如 果 p， 那 么 q”， 逆 命 题则 为 “如 果 q， 那 么 p”. )六、布置作业1请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容2教材 P84 习题 13.2 第 13 题第 2 课时 证明(
8、一)1理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念2了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知 识证明一些简单的几何问题重点证明的含义和表述格式难点按规定格式表述证明的过程一、创设情境，导入新课教师借助多媒体设备向学生演示，比较线段 AB 和线段 CD 的长度通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性二、合作交流，探究新知证明的引入(1)命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的 倍”是真命题吗？请说明理由2分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论教师对具体的说理过程予以详细的板书小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式(2)通
9、过教材例 3，例 4 的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求【归纳总结】证明几何命题的表述格式： 按题意画出图形； 分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； 在“证明”中写出推理过程三、运用新知，深化理解例 1 如图，下列推理中正确的有( )因为12，所以 b c(同位角相等，两直线平行)；因为34，所以 a c(内错角相等，两直线平行)；因为45180，所以 b c(同旁内角互补，两直线平行)A0 个 B1 个 C2 个 D3 个分析：结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断因为1、2 不是同位角，所以不能证明 b c，故错误；因为34，所以 a c
10、(内错角相等，两直线平行)，正确；因为45180，所以 b c(同旁内角互补，两直线平行)，正确故正确的是，共 2 个故选 C.【归纳总结】本题主要考查了平行线的判定解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角例 2 完成下面的证明过程：已知：如图， D110， EFD70，12.求证：3 B.证明： D110， EFD70(已知)， D EFD180， AD_(同旁内角互补，两直线平行)又12(已知)，_ BC(内错角相等，两直线平行)， EF_，3 B(两直线平行，同位角相等)分析：求出 D EFD180，根据平行线的判定推出 AD EF， AD BC，即可推出答案
11、D110， EFD70， D EFD180， AD EF.又12， AD BC， EF BC.故答案为： EF， AD， BC.【归纳总结】本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补反过来就是平行线的判定四、课堂练习，巩固提高1教材 P7879 练习及 P80 练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知(1)证明的含义(2)真命题证明的步骤和格式(3)思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？六、布置作业1请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容2教材 P8485 习题 13.
12、2 第 58 题第 3 课时 证明(二)1.通过对三角形内角和定理的探究， 进一步了解证明的基本 过程2.能将几何命题的文字语言用图形语言和符号语言表示出来重点根据具体的证明过程，填写推理的理由难点将文字语言表述的证明题改写成用图形语言和符号语言表述的证明题一、创设情境，导入新课在前面的学习中，我们已经知道三角形的内角和等于 180，你还记得这个结论的探索过程吗？(1.度量法；2.折叠法；3.剪拼法)但观察和实验得到的结论并不一定可靠，这样就需要进行几何证明二、合作交流，探究新知1.三角形内角和定理的证明(1)理解题意，分清题目的条件和结论；(2)请同学们分别用图形语言和符号语言表述命题已知：
13、 ABC，求证： A B C180.证法一：(请学生参照剪贴的方法去证明)证法二：(引导学生仿照证法一添加辅助线转化成平角去证明)除此之外还有哪些证法呢？引导学生积极思考2总结证明命题的一般步骤：(1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)；(2)根据条件画出图形并在图形上标出字母；(3)结合图形和命题写出已知和求证；(4)分析因果关系，探索证明思路；(5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；(6)检查表述过程是否正确，完善3小试牛刀尝试写出下列问题的已知、求证并画图： (1)求证：直角三角形的两个锐角互余(2)求证：对顶角相等4证明：直角三角形的两个锐角互余(请学
14、生画图口答即可)推论 1：直角三角形两锐角互余由公理、定理直接得出的真命题叫做推论推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形三、运用新知，深化理解例 1 如图，在 ABC 内任意取一点 P，过点 P 画三条直线分别平行于 ABC 的三条边(1)1、2、3 分别和 ABC 的哪一个角相等？请说明理由；(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于 180.分析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及 HPE23180和(1)的结论即可证得解：(1)1 A，2 B，3 C.理由如下： HI AC，1 CEP，又 DE AB， CEP A，1 A.同理，2 B，3 C；(2)如图，
15、HPE1， HPE23180，123180，1 A，2 B，3 C， A B C180.【归纳总结】本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等是解答本题的关键例 2 如图所示， AB CD， BAC 和 DCA 的平分线相交于 H 点，那么 AHC 是直角三角形吗？为什么？分析：要判断 AHC 的形状，首先观察它的三个内角，其中1 与2 与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分 BAC 和 DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的 AB CD.解： AHC 是直角三角形理由如下：因为 AB CD，所以 BAC DCA180.又因为 AH， CH 分别
16、平分 BAC 和 DCA，所以1 BAC，2 DCA，所以12 ( BAC DCA)，所以1290，所12 12 12以 AHC 为直角三角形【归纳总结】判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为 90来判定四、课堂练习，巩固提高1教材 P8182 练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知三 角 形内 角 和定 理 的证 明 及推 论 1、 2三 角 形 内 角 和 定 理 ： 三 角 形 的 内 角 和 等 于180.证 明 定理 的 一般 步 骤 找 出 命 题 的 题 设 和
17、 结 论 ， 画 出 图形 ； 题 设 部 分 是 已 知 部 分 ， 结 论 部 分是 要 证 明 的 部 分 ； 利 用 已 知 条 件 ， 依 据 定 义 、 基 本事 实 、 已 证 定 理 ， 并 按 照 逻 辑 规 则 ，推 导 出 结 论 . )推 论 1： 直 角 三 角 形 的 两 锐 角 互 余 .推 论 2： 有 两 个 角 互 余 的 三 角 形 是 直 角 三 角形 . )六、布置作业 请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容第 4 课时 三角形的外角1了解三角形的外角2知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角3学会
18、运用简单的说理来计算三角形的相关的角重点三角形外角的性质难点运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理一、创设情境，导入新课什么是三角形的内角？它是由什么组成的？三角形的内角和定理的内容是什么？教师提出问题，学生举手回答问题【教学说明】为本节课进一步学习与三角形有关的角作准备二、合作交流，探究新知探究问题 1：如图，把 ABC 的一边 BC 延长到 D，得 ACD，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？练习：如图， ADB， BPC， BDC， DPC 分别是哪个三角形的外角？问题 2：观察问题 1 图， ACD 与 ACB 是什么关系，由此你能得到什么结论？教师利用投影出示图形，并提出
19、问题教师指出像这样的角叫做三角形的外角，它是由三角形的一边和另一边的延长线组成的然后教师利用投影出示练习，安排学生举手回答，并按照外角的定义一一指明这些角分别由哪些边组成完成以后，教师提出问题 2，并让学生进行讨论然后师生共同归纳总结，得出结论：1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和2三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角归纳总结的过程就是让学生说理证明的过程，教师要让学生说一说，练一练【教学说明】教师指明外角的定义以后，马上进行练习，便于巩固学生对概念的理解结合图形，培养学生的图形变换能力通过学生的归纳，总结，证明，让学生自己去发现结论，让学生体验主动探究的成功与快乐通过观察、
20、讨论等一系列活动，再让学生进行证明，由于准备进行得比较充分，学生能够较顺利地说出证明的过程培养学生的推理论证能力三、运用新知，深化理解教师出示教材例 5，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角然后师生共同写出规范的解答过程思考：还有没有其他的方法可以证明？【教学说明】先让学生分析，培养学生的分析图形能力，然后师生共同解决，规范学生的解答过程继续提出新的问题，培养学生的发散思维和创新能力例 1 已知：如图为一五角星，求证： A B C D E180.分析：根据三角形外角性质得出 EFG B D， EGF A C，根据三角形内角和定理得出 E EGF EFG1
21、80，代入即可得证证明： EFG， EGF 分别是 BDF， ACG 的外角， EFG B D， EGF A C.又在 EFG 中， E EGF EFG180， A B C D E180.【归纳总结】解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决例 2 如图，求证：(1) BDC A；(2) BDC B C A.如果点 D 在线段 BC 的另一侧，结论会怎样？分析：通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论证法一：(1)连接 AD，并延长 AD，如图，则1 是 ABD 的一个外角，2
22、 是 ACD 的一个外角13.24(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)1234(不等式的性质)即： BDC BAC.(2)由(1)作图知13 B，24 C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)1234 B C(等式的性质)，即： BDC B C BAC.证法二：(1)延长 BD 交 AC 于 E(或延长 CD 交 AB 于 E)，如图则 BDC 是 CDE 的一个外角 BDC DEC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) DEC 是 ABE 的一个外角(已作)， DEC A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)， BDC A(不等式的性质)(2)由(1
23、)作图知 BDC C DEC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)， DEC 是 ABE 的一个外角， DEC A B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) BDC B C A(等量代换)【教学说明】 让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习注意事项： 学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明过程中，引导学生作辅助线找到一个过渡角四、课堂练习，巩固提高1教材 P83 练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知教师引导学生谈谈对三角形外角的认识主要从定义和性质两个方面六、布置作业1请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容2教材 P85 习题 13.2 第 9 题
