1、13.2 命题与证明第1课时 命题与证明(一)教学目标【知识与技能】1.理解真命题、假命题、公理、原命题、逆命题等概念.2.会判断一个命题的真假,能区分公理、定理和命题 .3.理解证明的含义,体验证明的必要性和数学推理的严密性.【过程与方法】1.通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑推理能力 .2.根据命题的证明需要,要求学生画出图形 ,写出已知、求证,训练学生将命题转化为数学语言的能力.【情感、态度与价值观】1.通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.2.让学生积极参与数学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲,让学生认识数学与人类生活的密切联系,提高学生学
2、习数学的积极性.重点难点【重点】学习命题的概念和命题、公理、定理的区分.【难点】严密完整地写出推理过程.教学过程一、创设情境,导入新知教师多媒体出示:有一根比地球赤道长1m的铜线将地球赤道绕一圈,想一想 ,铜线与地球赤道之间的空隙有多大?能放进一颗枣吗?能放进一个苹果吗 ?学生交流讨论后回答.生甲:都放不进去.生乙:枣能放进,苹果放不进.生丙:都能放进.师: 我们现在用这个式子来算,设赤道的长为C, 则铜线与地球赤道之间的间隙是-=0.26(m), 可见,枣和苹果都能放进去.通过这个例子,你们受到了什么启发?生: 有些东西想象的或感觉的不一定可靠,要具体分析.师: 对 ,我们要做到有理有据.上
3、一节研究三角形的性质时,我们通过折叠、剪拼、度量等方法得到三角形的内角和是180,但对这种方法,有的同学提出这样的疑问:在剪拼时,发现三个内角难以拼成一个平角, 只是接近180的某个值;度量三个角,然后相加 ,不一定能准确地得到 180.这两种情况怎么解释呢?学生思考、交流、讨论.师: 是这样的,研究几何图形时, 从观察和实验得到的认识,有时会有误差 ,难以使人确信其结果一定正确. 因此,就得在观察的基础上有理有据地说明理由, 这就是说,要判断数学命题的真假, 需要做必要的逻辑推理.二、共同探究,获取新知师: 推理是一种思维活动,人们在思维活动中, 常常要对事物的情况做出种种判断.教师多媒体出
4、示:(1)长江是中国第一大河;(2)如果1 和2是对顶角,那么它们相等;(3)2+35;(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被 3整除.教师找一名学生回答,然后集体订正.师: 在逻辑学中,凡是可以判断出真(即正确)、假( 即错误)的语句叫做命题 .上面的(1) 、(2)、(4)都是正确的命题, 我们称之为真命题;(3) 是错误的命题,我们称之为假命题.如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断,那么它就不是命题, 比如感叹句、疑问句、祈使句等.教师多媒体出示:(1)请关上窗户;(2)你明天骑车来上学吗?(3)天真冷啊!(4)今天晚上不会下雨.(5)昨天我们去旅游了
5、.师: 请同学们判断一下哪些语句是命题?学生讨论后回答,然后集体订正.师: 每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“ 如果 那么” 的形式 .有时我们为了简便, 省略关联词 “如果” 、“那么”,如命题“ 如果两个角是对顶角,那么这两个角相等” ,可以写成“对顶角相等”.以“ 如果那么” 为关联词的命题的一般形式是“ 如果p,那么q”,或者说成“若p,则q”,其中p是这个命题的条件( 或假设),q 是这个命题的结论( 或题断).三、边讲边练教师多媒体出示:【例1】 指出下列命题的条件与结论 :(1)两条直线都平行于同一条直线, 这两条直线平行;
6、(2)如果A=B, 那么A 的补角与B的补角相等.生甲:(1)中“两条直线平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是结论.生乙:“A=B”是条件,“A 的补角与B的补角相等” 是结论.四、层层推进,深入探究师: 将命题“ 如果 p,那么q”中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p”,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题, 另一个叫做原命题的逆命题.我们在前面学习了命题都可以判断真假,当一个命题是真命题时, 它的逆命题也是真命题吗?学生交流讨论后发表意见.师: 我们可以看这样一个例子,“如果1 与2是对顶角,那么1=2”是真命题,它的逆命题是什么?生: 它的逆命题是
7、“ 如果1= 2,那么1 与2是对顶角”.师: 它是真命题还是假命题呢?生: 假命题.师: 你是怎么判断它是假命题的呢?学生交流讨论后回答.教师多媒体出示下图.师: 对 .我们可以举一个例子,比如角平分线分成的两个角, 1= 2,但显然,这里1与2 就不是对顶角. 像这种符合命题条件,但不满足命题结论的例子, 我们称之为反例.若要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.五、练习新知,加深讨论师: 请同学们看教材中本节例1后练习的第2 题.教师找学生回答,然后集体订正得到:(1)假命题.反例:|-1|=|1|,但-1 1.(2)假命题.反例:(-1)(-1)0, 但-1是负数.(3)真命题.
8、(4)假命题.若两条不平行的直线与第三条直线相交,同位角不相等.师: 我们来看第3 题.教师找学生回答,然后集体订正得到:(1)真命题,(2)真命题,(3)真命题.师: 在数学命题的研究中,为了确认某些命题是真还是假, 需要对命题的正确性进行论证, 在论证过程中, 必须追本求源, 真理不需要再作论证 ,其正确性是人们在长期实践中检验所得的真命题, 作为判断其他命题真假的依据,这些作为原始根据的真命题称为公理.同学们想一下,我们学过哪些公理?生甲:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.生乙:两点之间的所有连线中,线段最短.生丙:经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线,来源:学优高考网gk
9、stk师: 对 ,这些都是公理.有些命题, 它们的正确性已经过推理得到证实, 并被选定作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.谁能举几个例子?生甲:对顶角相等.生乙:三角形的三个内角和等于180.生丙:等角的补角相等.师: 对 .推理的过程叫做证明.下面,我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等,两直线平行”.教师多媒体出示:【例2】 已知: 如图所示, 直线c与直线a、b相交,且1= 2.求证:ab.师: 若已知“ 同位角相等 ,两直线平行”这个定理,怎么证明“内错角相等,两直线平行”这个结论?学生交流讨论,教师巡视指导.学生口述,教师板书推理过程.证明: 1=2,(已知)又1
10、=3,(对顶角相等 )2= 3.(等量代换)a b.(同位角相等,两直线平行)教师强调:证明中的每一步推理都要有根据,不能想当然.这些根据,可以是已知条件, 也可以是定义、公理、已经学过的定理.【例3】 已知: 如图, AOB+BOC=180,OE平分AOB,OF平分BOC.求证:OEOF.来源:学优高考网gkstk证明: OE平分AOB,OF平分BOC(已知)1= AOB,2= BOC.(角平分线的定义)又AOB+BOC=180,(已知)1+ 2=( AOB+BOC)=90.(等式性质)OE OF.(垂直的定义)六、课堂小结师: 我们今天学习了什么内容?学生回答,教师补充完善 .教学反思在这
11、节课上,通过举反例判定一个命题是假命题, 培养学生学会从反面思考问题的方法.通过强调正面的严密性, 让学生理解证明的必要性和推理过程要步步有据.在教学方法上我主要采用“举一” ,让学生独立思考、自由交流、集思广益,从而达到“ 反三”的目的 .尽可能地调动更多学生主动参与、交流、沟通,通过自身思维碰撞构建新的认知结构, 从而准确地判断命题的真假,对于假命题举出反例.对于命题的证明,要求学生能写出证明的一般步骤并能做到步步有据.第2课时 命题与证明(二)教学目标【知识与技能】1.掌握三角形内角和定理及其三个推论.2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.3.探索并理解三角形的内角和定理.4.会灵
12、活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题.【过程与方法】1.经历探索并证明三角形内角和定理的过程.2.让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的几个推论.【情感、态度和价值观】1.通过三角形内角和定理的证明,让学生体会到数学的严谨性和推理的用途 .2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯 .来源:学优高考网3.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.重点难点【重点】三角形内角和定理的证明,三角形内角和定理及其推理.【难点】三角形内角和定理的证明.教学过程一、创设情境,导入新知师: 在前面我们学习了三角形的内角和定理,你还
13、记得它的内容吗?学生回答.师: 我们用什么方法证明过这个命题?生: 用折叠、剪拼和度量的方法.师: 很好! 在上节课我们学习了定理的概念, 大家还记得吗?生: 记得. 它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判定其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.师: 对 .三角形的内角和定理是一个定理,它能够被证实, 上节课我们还学习了简单命题的证明, 现在我们来证明这个定理.二、共同探究,获取新知教师多媒体出示:【例1】 证明三角形内角和定理 :三角形的三个内角和等于 180.师: 在证明命题时,要分清命题的条件和结论, 如果问题与图形有关, 首先,根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号
14、;再结合图形,写出已知、求证.这个命题的条件和结论分别是什么?生: 条件是一个三角形,结论是它的内角和等于180.师: 这个命题与图形有关吗?生: 有关.师: 那我们要画出什么图形?生: 一个三角形.教师在黑板上画出一个三角形.师: 题目中没有已知、求证,我们自己要写出来.已知就是条件,求证的就是要证的结论.应该怎么写?生: 已知: ABC,如图所示.求证:A+ B+C=180.教师板书.师: 以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角,这不是证明,但它却给我们以启发, 现在我们通过作图来实现这种转化,给出证明.教师边操作边讲解:来源:学优高考网gkstk在剪拼中我们可以把B剪下,放在这
15、个位置, 在证明中我们可以作出一个角与B相等, 来代替这种操作. 并且为了证明的需要, 在原来图形上添画的线, 这种线叫做辅助线.同学们看,应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题?生: 延长BC 到D,以点C 为顶点、 CD为一边作2=B.教师作图:师: 对 .如果再知道什么条件就能得到结论了?学生讨论后回答.生: 因为1+2+ACB 是一个平角, 等于180, 如果A= 1,那么就有A+B+ C=1+2+ACB=180,这样就证出了结论.师: 对 .现在我们看怎样证A= 1?学生交流讨论.教师提示:A 和 1是什么角?生: 内错角.师: 怎么证两个内错角相等?生: 两直线平行,内错角相等.
16、师: 在题中要证哪两条直线平行?怎么证它们平行?生: 证明CE BA,因为2=B,由同位角相等, 两直线平行,就可以证出CE BA 了.师: 很好! 我们现在来把这个推导过程具体写一下.要注意, 我们刚才是分析,可以由结论推条件,但在书写过程中, 要先写条件, 再写结论 ,这个顺序要理清.学生口述,教师板书 .师: 现在大家想一想,如果一个三角形中一个角是90,根据三角形内角和定理,另外两个角的和会是多少?生:90.师: 对 .两个角的和是90,我们可以称它们之间是什么关系 ?生: 互余.师: 对 .由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论.教师板书:推论1 直角三角形的两锐角互余 .三、边讲
17、边练师: 三角形内角和定理的证明有多种方法,课本练习中给出了另外两种证法.大家能不能说出第一题的思路?生: 过点A 作DEBC后,由两直线平行 ,内错角相等来建立两个相等关系,再由平角的定义就可证出了.师: 你们已经理清了思路,现在请大家将书上的证明过程补充完整.学生完成练习第1题.师: 第二个练习的思路大家清楚吗?学生交流讨论后回答.生: 过三角形一边上一点作两条平行线,然后根据平行线的性质使ABC的三个内角与组成平角的三个角分别相等, 再由平角的定义证明它们的和是180.师: 很好! 请同学们把证明过程补充完整.学生补充练习第2题的证明,教师巡视指导,然后集体订正.四、层层推进,深化理解教
18、师多媒体出示:师: 在三角形内角和定理的证明中,我们曾经如图中所示那样把ABC的一边BC延长至点D,得到ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.在上图中,ABC的外角,也就是ACD与它不相邻的内角A、B有怎样的关系 ?你能给出证明吗?来源:学优高考网学生小组交流讨论后回答.生: ACD与ACB的和是180,所以ACD=180-ACB; 根据三角形内角和定理 ,A+B+ C=180, A+B=180-C.由等式的性质, 得到ACD= A+ B.师: 很好! 除了这个相等关系 ,还能得到什么大小关系?生: ACDA,ACDB.师: 很好! 在证明中主要应用了三角形内
19、角和定理, 我们把这两个结论称为这个定理的两个推论.教师板书:推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.师: 像这样,由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论2 可以用来计算角的大小,推论3可以用来比较两个角的大小.【例2】 已知: 如图所示, 1、2 、3是ABC的三个外角.求证: 1+2+3=360.师: 这个问题实质上是三角形外角和定理,即三角形三个外角的和是360.请大家想一下,怎么证明这个命题?学生交流讨论后回答,然后集体订正.证明: 1=ABC+ACB,2= BAC+ACB,3= BAC+ABC,(三角形的一个外角
20、等于与它不相邻的两个内角的和)1+ 2+3=2(ABC+ ACB+BAC).(等式性质)ABC+ ACB+BAC=180,(三角形内角和定理)1+ 2+3=360.五、课堂小结师: 我们今天学习了哪些内容?你有什么收获?学生发言,教师点评 .教学反思本节课我通过让学生自己思考设计证明思路,来培养学生积极思考的探索精神.在证明三角形内角和定理的第一种证法中,我带领他们回顾了以前证明此定理的操作方法,并说明这两种方法的思想是一致的.一方面可以让他们学会把实际问题用数学形式表示出来,另一方面培养了他们建立相关事物之间的联系的意识,促进知识的迁移.在证明三角形内角和定理的练习中,我让他们先理清思路,再做题,不但可以借鉴别人的思路 ,而且能做到整体把握,理清脉络 .
