1、非线性回归问题求解例析某些特殊的非线性关系，可以通过变量替换，把非线性回归问题转化为线性回归问题，然后利用线性回归方法进行研究、分析、解决即可。例 1某种食品每公斤的生产成本 （元）与该食品生产的重量 （公斤）有关，经生产yx统计得到以下数据： x1 2 3 5 10 20 30 50 100 200y10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15通过以上数据该食品的成本 （元）与生产的重量 （公斤）的倒数 之间是否具有线性yxx1相关关系。若有，求出 关于 的回归直线方程，并借此估计一下生产该食品 500 公斤时x1每公斤的生产成本是多少
2、？【解析】本题显然非线性回归问题，题意通过研究 与 的相关性，借助两者的线性相关yx1关系得到 关于 的回归直线方程，从而确定 与 的回归方程。yx1【解】首先通过数据得到 与 的相应数据为：yxx11 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005y10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15根据数据可求得 ，632.089.101020210210 iiii iii yxyr于是有 95%的把握认为 与 具有线性相关关系，y而 ， ，b973.810102210xii 125.xbya于是 与 的
3、回归方程为 。y125.y当 （公斤）时， 。50x 127.694.0125.07946.09738 即估计生产该食品 500 公斤时每公斤的生产成本是 1.127例 2在物理学中的彩色显象试验中，现有一组试验数据：0.05 0.06 0.07 0.10 0.14 0.20 0.25 0.31 0.38 0.43 0.470.10 0.14 0.23 0.37 0.59 0.79 1.00 1.12 1.19 1.25 1.29根据试验数据，借助形成染料光学密度 与析出银的光学密度 的关系式：bke，试求染料光学密度 对于析出银的光学密度 的回归方程。)0(b【解析】本题是一个非线性回归问题
4、，本题已给出了染料光学密度 对于析出银的光学密度 的函数模型 ，只要根据所给数据确定出 ，便可得到所求回归方bke)0(bk,程。【解】由 可得 ，与线性回归直线方程 相对照，bke)(bklnbxay即 。根据所给数据利用科学计算器可得到 ，1,ln,lxay 146.059.ln则 ，此时 。146.0146.059.0146.059. 73. eee 146.0,73.bk即染料光学密度 对于析出银的光学密度 的回归方程为 。 e【点拨】一般情况下，实际生活中的非线性回归问题并不一定给出两个变量间的关系式，这时首先根据所给数据画出相应的散点图，把它与所学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及相应的复合函数等）图象作比较，挑选出一种跟所作出的散点图拟合最好的函数，然后采用恰当的变量代换，将问题转化为线性回归分析问题，使之得以解决。
