1、2.3 双曲线双曲线2 21 双曲线及其标准方程 知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的几何画板的制作或操作方法 过程与方法目标（1）预习与引入过程预习教科书 56 页至 60 页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双
2、曲线的例子当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究 P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约 10cm 长，另一条约 6cm 每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约 20cm，另一条约 12cm，一端结个套，另一端是活动的） ，图钉两个） 当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？板书221 双曲线及其标准方程（2）新课讲授过程（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义板书把平面内与两个定点 ，
3、 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的1F2 12F点的轨迹叫做双曲线（hyperbola） 其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距即当动点设为 时，双曲线即为点M集 P12MFa（ii）双曲线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程类比椭圆：设参量 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、 的关b ,abc系有明显的几何意义类比：写出焦点在 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程y210,yxabb（ii
4、i）例题讲解、引申与补充例 1 已知双曲线两个焦点分别为 ， ，双曲线上一点 到 ， 距15,0F2,P1F2离差的绝对值等于 ，求双曲线的标准方程6分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 ,abc补充：求下列动圆的圆心 的轨迹方程： 与 ： 内切，且MC2xy过点 ； 与 ： 和 ： 都外切； 与2,0A1C221xy214 ： 外切，且与 ： 内切1C239xy23xy解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题具体解：设动圆 的半径为 Mr 与 内切，点 在 外， ， ，因此有AC2MrAr，点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的左支，即 的轨迹方2ACM
5、程是 ；217yxx 与 、 均外切， ， ，因此有1C21MCr2r，点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的上支， 的轨迹方21MCMM程是 ；243xyy 与 外切，且 与 内切， ， ，因A1CA2C13r21Cr此 ，点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支， 的轨迹124MM1 M方程是 5xyx例 2 已知 ， 两地相距 ，在 地听到炮弹爆炸声比在 地晚 ，且声速AB80mAB2s为 ，求炮弹爆炸点的轨迹方程340/ms分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 ， 两地听到爆炸声的时间差，即可知 ， 两地与爆炸点的距离差为定值由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程 扩展：某
6、中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 已知各观察4s点到该中心的距离都是 试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为102m；相关点均在同一平面内） 340/ms解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上如图，以接报中心为原点 ，正东、正北方向分别为 轴、 轴方向，建Oxy立直角坐标系，设 、 、 分别是西、东、北观察点，则 ，ABC102,A， 102,B,102设 为巨响发生点， 、 同时听到巨响， 所
7、在直线为 ，Pxy OPyx又因 点比 点晚 听到巨响声， 由双曲线定义知，A4s 43016PBAm， ， ， 点在双曲线方程为680a12c305b22185340xy联立、求出 点坐标为 即巨响在x60,正西北方向 处6801m探究：如图，设 ， 的坐标分别为 ， 直线 ， 相交于AB5,AMB点 ，且它们的斜率之积为 ，求点 的轨迹方程，并与21例 3 比较，有什么发M49M现？探究方法：若设点 ，则直线 ， 的斜率就可以用含 的式子表示，,xyAB,xy由于直线 ， 的斜率之积是 ，因此，可以求出 之间的关系式，即得到点AB49,xy的轨迹方程 情感、态度与价值观目标通过课件（ ）的
8、展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲a面所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲线的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量 的意义，培养学生用对称2bca的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：像例 1 这基础题配备是必要的，但对定义的理解和使用是远远不够的，必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例 2 是典型双曲线实例的题目，对培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助，但要准确判定爆炸点，必须对此题进行扩展，培养学
9、生归纳、联想拓展的思维能力能力目标（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力（5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问
10、题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径练习：第 60 页 1、2、3、作业：第 66 页 1、2、22 2 双曲线的简单几何性质 知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义 过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，
11、研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；由方程的性质得到双曲线的对称性；由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；应用信息技术的几何画板探究双曲线的渐近线问题；类比椭圆通过 的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率板书56P222 双曲线的简单几何性质（2）新课讲授过程（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置要从
12、范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质 （ii）双曲线的简单几何性质范围：由双曲线的标准方程得， ，进一步得： ，或210yxbaxa这说明双曲线在不等式 ，或 所表示的区域；xax对称性：由以 代 ，以 代 和 代 ，且以 代 这三个方面来研究双y曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以 轴和 轴为对称轴，原点为对称中x心；顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；渐近线：直线 叫做双曲线 的渐近线；byxa21xyab
13、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（ ） ce1e（iii）例题讲解与引申、扩展例 3 求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐29164yx近线方程分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出 引导学生用双曲线的实半轴长、,abc虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在 轴上的y渐近线是 ayxb扩展：求与双曲线 共渐近线，且经过 点的双曲线的标准方及2169y23,A离心率解法剖析：双曲线 的渐近线方程为 焦点在 轴上时，设所求21xy4yxx的双曲线为 ， 点在双曲线上， ，无解；焦点269k3,A214k在 轴上时，设所求的
14、双曲线为 ， 点在双曲线上，y21169xyk3,A，因此，所求双曲线的标准方程为 ，离心率 这个要进行分类214k24x5e讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为2,0169xymR例 4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1） ，它的最小半径为 ，上口半径为 ，下口半径为 ，高为 试选择适当的坐213m25m标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到 ） 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为，算出 的值；此题应注意两点：注意建立21xyab,abc直角坐标系的两个原则；关于 的近似值，原则上在没有,注意精确度时，看题中其他
15、量给定的有效数字来决定引申：如图所示，在 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路P或 送到呈矩形的足球场 中去铺垫，已知 ，PABABCD150APm， ， 能否在足球场上画一条“等距离”线，在10BPm60C60APB“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由解题剖析：设 为“等距离”线上任意一点，则 ，即MPAMB（定值） ，“等距离”线是以 、 为焦点的双曲线的50A左支上的一部分，容易“等距离”线方程为 理由略2132,606570xyxy例 5 如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常,My5,Fl165x数 ，求点 的轨迹方程4分析：若设点 ，则 ，到
16、直线 ： 的距,xy2xylx离 ，则容易得点 的轨迹方程165dx引申：用几何画板探究点的轨迹：双曲线若点 与定点 的距离和它到定直线 ： 的距离比是常数,Mxy,0Fcl2axccea，则点 的轨迹方程是双曲线其中定点 是焦点，定直线 ：0ca ,0Fl相应于 的准线；另一焦点 ，相应于 的准线 ： 2x,0cl2xc 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线
17、的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，充分利用图形对称性，注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能 能力目标（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转
18、化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径练习：第 66 页 1、2、3、4、5作业：第 3、4、6补充： 3.课题:双曲线第二定义教学目标：1知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。2能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。 教学重点：双曲线的第二定义教学难点：双曲线的第二定义及应用.教学方法：类比法（类比椭圆的第二定义）教学过程： 一、复习引入：
19、 1、 （1）、双曲线的定义：平面上到两定点 21F、 距离之差的绝对值等于常数（小于|2F）的点的轨迹叫做双曲线.定点 21F、 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。(2)、双曲线的标准方程：焦点在 x 轴： 焦点在 y 轴： 其中2bya)0,(ba21xab)0,(ba22cba2、 对于焦点在 x 轴上的双曲线的有关性质：（1）、焦点：F 1(-c,0),F2(c,0)；(2)、渐近线: ；（3）、离心率： 1xayace3、今节课我们来学习双曲线的另一定义。（板书课题：双曲线第二定义）二、新课教学： 1、引例(课本 P64例 6)：点 M(x,y) 与定点 F(5,0)距
20、离和它到定直线 的距离16:5lx之比是常数 ,求点 M 的轨迹方程.54分析：利用求轨迹方程的方法。解:设 是点 M 到直线 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合 P=M| , dl |4MFd即 2(5)164xy2169xy化 简 得所以，点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8、6 的双曲线。F2F1HHx2axcoy由例 6 可知:定点 F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线 为 ,16:5lx2ac常数为离心率 1.ace提出问题 ：（从特殊到一般）将上题改为：点 M(x,y)与定点 F(c,0)距离和它到定直线的距离之比是常数 ,求点 M 的轨迹方程。2:lxc1cea解：设 是点 M
21、 到直线 的距离, 根据题意,所求轨迹就是集合 P=M|dl, 即 化简得 两|54F2()xcy222()()caxyac边同时除以 得2()ac21xyab(0,)b其 中2、小结： 双曲线第二定义:当动点 M(x,y) 到一定点 F(c,0)的距离和它到一定直线 的2:alxc距离之比是常数 时,这个动点 M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点 F(c,0)是双曲线1cea的一个焦点，定直线 叫双曲线的一条准线，常数 e 是双曲线的离心率。双曲线上2:lxc任一点到焦点的线段称为焦半径。例如 PF 是双曲线的焦半径。（P 65思考）与椭圆的第二定义比较,你有什么发现？（让学生讨论）答：只是
22、常数 的取值范围不同，椭圆的 ,而双曲线的 .e01cea1cea三、课堂练习1 求 的准线方程、两准线间的距离。2134xy解:由 可知,焦点在 x 轴上,且 所以准线方程为:2 347c；故两准线的距离为 .37x36()72、(2006 年广东高考第 8 题选择题 )已知双曲线 3x 2y 2 = 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。(A) (B) (C) 2 (D) 42233解：3、如果双曲线 上的一点 P 到左焦点的距离为 9，则 P 到右准线的距离是2154xy 解： P 到左准线的距离为 m，由双曲线方程可知 a=5，b=12，c=
23、13， 135cea准线方程为 根据双曲线第二定义得,2513axc91345em250()13又 两 准 线 间 的 距 离 为。49P到 右 准 线 的 距 离 为4、双曲线两准线把两焦点连线段三等分，求 e. 解：由题意可知， 即 所以21()23acc3,1ea又 3ca5. 双曲线的 ， 渐近线与一条准线围成的三角形的面积是 . 12byaxa0b解:由题意可知,一条准线方程为: ,渐近线方程为 因为当 时2axcbyxa2ac所以所求的三角形面积为: 2baycA 231()2cAA四、课后练习：1已知双曲线 = 1(a0，b0)的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于 A，2bya
24、xOAF 面积为 （O 为原点） ，则两条渐近线夹角为（ ）A30 B45 C60 D90解：由题意可得， OAF 的底边|OC|=c,高 h= S OAF=2bacA21abc因此可知该双曲线为等轴双曲线。所以两条渐近线夹角为 90。ab2. 2 13120, 123AFPAPFyx已 知 点 （ ， ） 、 （ ， ） 在 双 曲 线 上 求 一 点 ， 使 得 的 值 最 小 ， 并 求 出 最 小 值 。分 析 ： 本 题 的 关 键 是 利 用 双 曲 线 的 第 二 定 义 将 中 的 转 化 。2ePd解 ： 由 题 意 得 ， 设 点 到 右 准 线 的 距 离 为 ，2Fd则
25、 由 双 曲 线 第 二 定 义 得 ： 112PAFd即。:结 合 图 形 得 2533,ac最 小 值 为 ： 这 时 为 ： （ ， ）五、小结：(1) 知识内容：双曲线的第二定义及应用。(2) 数学方法:类比法，(3) 数学思想: 从特殊到一般六、作业： 1、双曲线 的一条准线是 y=1,则 的值。2 mxym2、求渐近线方程是 4x ,准线方程是 5y 的双曲线方程030163、已知双曲线的离心率为 2,准线方程为 ,焦点 F(2,0),求双曲线标准方程.2yx4、(请你编题)若双曲线标准方程为上一点 p 到(左,右)焦点的距离是则点 p 到(左, 右)准线的距离.七、板书设计课题：双曲线的第二定义及应用1、 复习引入（1）、双曲线的定义(2)、双曲线的标准方程 (3)、关于焦点在 x 轴上的双曲线的有关性质2、 新内容双曲线第二定义:例题：课堂练习：1、2、3、4、5、课后练习：1、2、作业：1、 2、 3、 4、APPHHF2 x2axcF1 oy
