1、湖南省省级示范性高中洞口三中高一数学第一学期授课讲义讲义九： 函数的基本性质-单调性和最值(2) （一） 、基本概念及知识体系：教学要求：更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义.教学重点：熟练求函数的最大（小）值。教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。教学过程：一、复习准备：1.指出函数 f(x)ax bxc (a0)的单调区间及单调性，并进行证明。2. f(x) ax bxc 的最小值的情况是怎样的？3.知识回顾：增函数、减函数的定义。二、讲授新课：1.教学函数最大（小）值的概念： 指出下列函数图象的最高点或最低点，
2、 能体现函数值有什么特征？， ； ，()23fx()23fx1,2x2()1fx2()1fx, 定义最大值：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有 f(x) M；存在 x0I ，使得 f(x0) = M. 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值（Maximum Value） 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） 试举例说明方法. 2.教学例题： 出示例题 1：一枚炮弹发射，炮弹距地面高度 h（米）与时间 t（秒）的变化规律是，那么什么时刻距离达到最高？射高
3、是多少？2305ht（学生讨论方法 师生共练：配方、分析结果 探究：经过多少秒落地？） 练习：一段竹篱笆长 20 米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？（引导：审题设变量建立函数模型研究函数最大值； 小结：数学建模） 出示例 2：求函数 在区间3，6上的最大值和最小值32yx分析：函数 的图象 方法：单调性求最大值和最小值. ,6 板演 小结步骤：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值. 变式练习： 3,2xy 探究： 的图象与 的关系？x 练习：求函数 的最小值. （解法一：单调法； 解法二：换元法）1yx3. 看书 P34 例题 口答 P36 练习 小结：最大（小）
4、值定义 ；三种求法.三、巩固练习：房价（元） 住房率（% ）1. 求下列函数的最大值和最小值：（1） ； （2）2533,yx|2.一个星级旅馆有 150 个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？（分析变化规律建立函数模型求解最大值）3. 课堂作业：书 P43 A 组 5 题；B 组 1、2 题.四、备选用思考题：【题 1】 、二次函数（x）=ax 2+bx (a,b 为常数且 a0)满足（-x+5）=（x-3 ）且方程（x）=x 有等根；求（x）的解析式；是否存在实数 m、n(m n)使（x）定义域为m，n，值域为 3m，3n，若
5、存在，求出 m、n 之值，若不存在，说明理由解、（x）=- x2+x 由于（x）的值域是（x） ,则 3n ,即 n ,所以有12 12 12 16（m）=3m 且（n）=3n 存在实数 m=-4,n=0 使（x）定义域为-4，0，值域为-12 ，0例 2：某产品单价是 120 元，可销售 80 万件。市场调查后发现规律为降价 x 元后可多销售 2x 万件，写出销售金额 y(万元) 与 x 的函数关系式，并求当降价多少个元时，销售金额最大？最大是多少分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？ 小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。题 3：、求函数
6、yx 的值域。21、判断函数 y= 单调区间并证明。 （定义法、图象法； 推广： 的单调性）1 baxdc、讨论 y= 在-1,1 上的单调性。 （思路：先计算差，再讨论符号情况。 ）2 【例题 4】某村计划建造一个室内面积为 800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【例题 5】 、(06重庆T 2112 分) 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足(f(x)-x 2+x)=f(x)-x2+x.（）若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求
7、f(a)；（）设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式 .解：（）因为对任意 xR，有 f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.又由 f(2)=3，得 f(3-22+2)-3-22+2，即 f(1)=1.；若 f(0)=a，则 f(a-02+0)=a-02+0，即 f(a)=a.（）因为对任意 xR，有 f(f(x)- x2 +x)=f(x)- x2 +x.；又因为有且只有一个实数 x0,使得f(x0)- x0.所以对任意 xR，有 f(x)- x2 +x= x0.；在上式中令 x= x0,有 f(x0)-x + x0= x0,又因为 f(x0)- x0，所以 x0- x =0，故 x0=0 或 x0=1.；若 x0=0，则 f(x)- x2 +x=0，即 f(x)= x2 x.但方程 x2 x=x 有两上不同实根，与题设条件矛质，故 x20.若 x2=1,则有 f(x)- x2 +x=1，即 f(x)= x2 x+1.易验证该函数满足题设条件 .160 55140 65120 75100 85综上，所求函数为 f(x)= x2 x+1（x R）.
