1、1.3.1 单调性与最大（小）值（2）从容说课最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题，是高中数学的一个重点，它涉及到高中数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技能，灵活选择合理的解题途径.本节课利用单调性求函数的最值，目的是让学生知道学习函数的单调性是为了更好地研究函数.利用单调性不仅仅确定函数的值域、最值，更重要的是在实际应用中求解利润、费用的最大与最小，用料、用时的最少，流量、销量的最大，选取的方法最多、最少等问题.三维目标一、知识与技能1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用.2.启发学生学会分析问题、认识问题的能力和创
2、造地解决问题的能力.二、过程与方法1.通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育.2.探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确.三、情感态度与价值观理性描述生活中的最大（小） 、最多（少）等现象.教学重点领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念.教学难点利用函数的单调性求最值.教具准备多媒体课件（PowerPoint）.教学过程一、创设情景，引入新课师：前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系，请大家看某市一天 24 小时内的气温变化图，说出气温随时间变化的特点.生 ： 从 图 象 上 看 出 0 时 4 时 之 间 气 温
3、下 降 ， 4 时 14 时 之 间 气 温 逐 渐 上 升 ， 14 时 24时 气温逐渐下降.师：好，请继续回答.某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低?生：14 时气温达到最高，4 时气温达到最低.师 ： 从 图 象 上 看 出 14 时 的 气 温 为 全 天 的 最 高 气 温 ， 它 表 示 在 0 24 时 之 间 ， 气 温于 14 时 达 到 最 大 值 ， 从 图 象 上 看 出 ， 图 象 在 这 一 点 的 位 置 最 高 .这 就 是 本 节 课 我 们 要 研究 函 数 的 最 大 、 最 小 值 问 题 .点明本节课的内容，并板书课题：单调性与最大（小）值（2）
4、 二、讲解新课师：上面我们从直观的感受知道了最值的概念，下面给出严格的定义（一起看课件）.一般地，设函数 y=f（x）的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的xI ，都有 f（ x）M；（2）存在 x0I，使得 f（x 0）=M .那么，我们称 M 是函数y=f（ x）的最大值，记为 ymaxf （x 0）.师：定义中的两个条件缺一不可，只有（1）没有（2）不存在最大值点，而只有（2）没有（1） ，M 不一定是函数 y=f（x）的最大值.比照最大值的定义，哪位同学说出最小值的定义？生：我们只需把“f（x ）M”改为“f （x）M” ，然后将最大值改为最小值即可.师：回答的简洁而
5、正确.（点击课件，读一遍最小值的定义）（1）对于任意的 xI ，都有 f（x ）M ；（2）存在 x0I ，使得 f（x 0） =M.那么，我们称 M 是函数 y=f（x）的最小值，记为ymin f（x 0）.师：函数的最大值从图象上看是在指定的区间里最高位置对应的点的纵坐标，好像有一种一览众山小的情景.同样函数的最小值从图象上看是在指定的区间里最低位置对应的点的纵坐标，好像有一种坐井观天的情景.请大家思考，是否每个函数都有最大值、最小值？举例说明.生：一个函数不一定有最值，例如 y= 在定义域内没有最大值也没有最小值.x1师：对，有的函数可能只有一个最大（或小）值，例如 y=3x+2，x0，
6、3）.如果一个函数存在最值，那么函数的最大值和最小值都是唯一的，但取最值时的自变量可以有多个，如 y=x2，x2，2 ，最大值只有一个为 4，而取最大值的 x 有两个 x=2.（让学生自己出一些函数题给同桌解，加深对最值的理解）（接下来看函数最值的应用）【例 1】 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点（大约是在距地面高度 25 m 到 30 m 处）时爆裂.如果在距地面高度 18 m 的地方点火，并且烟花冲出的速度是 14.7 m/s.（1）写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式.（2）烟 花 冲 出 后 什 么 时 候 是 它 爆 裂 的 最 佳 时 刻 ？ 这 时
7、 距 地 面 的 高 度 是 多 少 ？ （ 精 确 到 1 m）方法引导：这是物理中的上抛运动，s=v 0t+ at2，又 v0 与重力加速度 g 的方向相反，1所以 s=v0t gt2.1解：（1）设烟花在 t s 时距地面的高度为 h m，则由物体运动原理可知h（t）=4.9t 2+14.7t+18.（2）作出函数 h（t）=4.9 t2+14.7t+18 的图象（图略）.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数 h（t）=4.9t 2+14.7t+18，我们有：当 t= =1.5 时，函数有最大
8、值，h= 29.)9.4(271 )9.4(7182于是，烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为 29 m.注：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此题实质为已知二次函数，求其定义域上的最大值.三、课堂练习1.求下列函数的最值：（1）y=x 22x+3，x R；（2）y=x 22x+3，x 2， 5 ；（3）y=x 22x+3，x 2 ，0 ；（4）y=x 22x+3，x 2 ，4.让学生讨论、求解，并结合图象说明理由，总结归纳求解这类问题的一般方法.（作图要求：在坐标系内画出 y=x22x +3 完整的图象，但定义域内的部分用实
9、线画出，其余部分用虚线画出）答案：（1）x=1 时，y min=2.（2）x=2 时，y min=3；x =5 时，y max=18.（3）x=0 时，y min=3；x =2 时，y max=11.（4）x=1 时，y min=2；x =2 或 4 时，y max=11.求二次函数在闭区间上最值问题的方法，是弄清对称轴与区间的相互位置、利用图象，结合单调性求解.课后研究：求下列函数的最值：（1）y=x 23x+1，x t，t +1 ，t R ；（2）y=x 22ax+5，x 2，3 ，aR .【例 2】 求函数 y= 在区间2，6上的最大值和最小值.1方法引导：由函数 y= （x2，6 ）的
10、图象可知，函数 y= 在区间2，61x上递减.所以，函数 y= 在区间2，6的两个端点上分别取得最大值和最小值.1解：设 x1、x 2 是区间2，6上的任意两个实数，且 x1 x2，则f（x 1）f（x 2）= = = .12x)(21)1(21由 2 x1 x2 6， 得 x2 x1 0， （ x1 1） （ x2 1） 0， f（ x1） f（ x2） 0， 即 f（ x1） f（ x2） .所以，函数 y= 是区间2，6上的减函数.因此，函数 y= 在区间2，6的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在 x=21x时取得最大值，最大值是 2，在 x=6 时取得最小值，最小值是 0.4.注：
11、闭区间上的单调函数的最值在区间的端点处取得.2.北京市的一家报刊摊点，从报社买进北京晚报的价格是每份是 0.20 元，卖出的价格是每份 0.30 元，卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元的价格退回报社.在一个月（按 30 天计算）里，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元.解 ： 若 设 每 天 从 报 社 买 进 x（ 250 x 400， x N） 份 ， 则 每 月 共 可 销 售 （ 20x+10250）份 ， 每份可获利润 0.1
12、0 元，退回报社 10（x250）份，每份亏损 0.15 元，建立月纯利润函数 f（x） ，再求 f（x ）的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进 x 份报纸，每月获得的总利润为 y 元，则依题意，得y=0.10（20x+10250）0.1510（x250）=0.5x+625，x250，400.函数 y 在250，400上单调递增，x=400 时，y max=825（元） ，即摊主每天从报社买进 400 份时，每月所获得的利润最大，最大利润为 825 元.四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容.（请一个思路清晰、善于表达的学生口述，教师可从中给予提示）生甲：这节课我们学习了函
13、数最值的定义，定义中两点是缺一不可的.另外，若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取最值时的自变量可以有多个.有些函数不一定有最值，有最值的不一定同时有最大值最小值.生乙：今天学了两类函数的最值的求法；二次函数在闭区间上最值问题，关键是弄清对称轴与区间的相互位置；利用图象、结合单调性求解；单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的单调性，然后在区间的端点处取得.五、布置作业1.课本 P45 习题 1.3 A 组第 6，7，8 题，B 组第 3 题.2.（补充）某鱼塘目前鱼群总量为 x 千克，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总量变为 h 千克，反映 x 与 h 间的函数关系为 h（x）=rx（ 1 ） ，其中常数 r（r1）是鱼Nx群的增长系数，N（N0）是该鱼塘环境所能负荷的最大鱼群重量（千克） .如果该鱼塘最多能负荷 20 万千克的鱼群，还知道有一年这鱼塘养了 8 万千克鱼群，第二年鱼塘鱼群总量达 19.2 万千克，为了保持每年鱼塘中鱼群量的稳定，捕鱼时必须适度捕捞.问这个鱼塘应保持鱼群量为多少时，才能从第二年起每年都有持续的最大捕鱼量?每年持续的最大捕鱼量是多少千克?板书设计1.3.1 单调性与最大（小）值（2）最大值：最小值：例 1例 2例 3例 4
