1、.五种辅助线助你证全等 姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等例 1如图 1，在ABC 中，ABC=60，AD、CE 分别平分 BAC、ACB 求证：AC=AE+CD分析：要证 AC=AE+CD，AE、CD 不在同一直线上故在 AC 上截取 AF=AE，则只要证明 CF=CD证明：在 AC 上截取 AF=AE，连接 OFA
2、D、CE 分别平分BAC 、ACB，ABC=601+2=60，4= 6=1+2=60显然，AEO AFO，5=4=60，7=180 （4+5）=60在DOC 与FOC 中，6=7=60，2=3，OC=OCDOCFOC， CF=CDAC=AF+CF=AE+CD截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。.例 2：如图甲， AD BC，点 E 在线段 AB 上， ADE= CDE， DCE= ECB。求证： CD=AD+BC。思路分析：1）题意分析：
3、 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD 上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在 CD 上截取 CF=BC，如图乙 FCE BCE（ SAS），2=1。又 AD BC，. ADC+ BCD=180， DCE+ CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4。在 FDE 与 ADE 中， FDE ADE（ ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC。解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段
4、之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。.二、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路例 3已知三角形的两边长分
5、别为 7 和 5，那么第三边上中线长 的取值范围是（ x）分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断解：如图 2 所示，设 AB=7，AC=5 ，BC 上中线 AD=x延长 AD 至 E，使 DE = AD=xAD 是 BC 边上的中线， BD=CDADC=EDB（对顶角）ADC EDBBE=AC=5在ABE 中 AB-BEAE AB+BE即 7-52x7+5 1x6例 4：已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EFFEDA
6、B C.提示：倍长 AD 至 G，连接 BG，证明 BDGCDA三角形 BEG 是等腰三角形例 5：已知：如图，在 中， ，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作ABC交 AE 于点 F，DF=AC.BDF/求证：AE 平分 提示：方法 1：倍长 AE 至 G，连结 DG方法 2：倍长 FE 至 H，连结 CH例 6：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=BAE提示：倍长 AE 至 F，连结 DF证明 ABEFDE（SAS）进而证明 ADFADC（SAS）图 1 图图 ABFD E CE DAB C.5、分析：要证 AB+AC2AD，由图想到：AB+BD
7、AD，AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多 BD+CD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去.ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE 中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。6、分析：欲证 AC=BF，只需证 AC、BF 所在两个三角形全等，显然图中没有含有 AC、BF 的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有 AC、BF 的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要
8、说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形 ADC 为基础三角形，转移线段 AC，使 AC、BF 在三角形BFH 中方法一：延长 AD 到 H，使得 DH=AD，连结 BH，证明ADC 和HDB 全等，得 AC=BH。通过证明H=BFH，得到 BF=BH。. ADCHDB(SAS) AC=BH， H=HAC EA=EF HAE=AFE又 BFH=AFEBH=BFBF=AC方法二：过 B 点作 BH 平行 AC，与 AD 的延长线相交于点 H，证明ADC 和HDB 全等即可。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线” 可以得到两个全等三角形。而过一点作已知直线的平
9、行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。思路二、以三角形 BFD 为基础三角形。转移线段 BF，使 AC、BF 在两个全等三角形中方法三：延长 FD 至 H，使得 DH=FD，连接 HC。证明CDH 和BDF 全等即可。.三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件例 7如图 3，在等腰ABC 中，AB=AC ，在 AB 上截取 BD，在 AC 延长线上截取CE，且使 CE=BD连接 DE 交 BC 于 F求证：DF=EF分析：要证 DF=EF，必须借助三角形全等而现有图
10、形中没有全等三角形由等腰三角形条件，可知B=ACB，作 DHAE，可得DHB= ACB则DBH 为等腰三角形证明：作 DHAE 交 BC 于 HDHB=ACB，AB=AC，B= ACBDHB=B，DH=BDCE=BD DH= CE又 DHAE ， HDF=E DFH= EFC（对顶角） DFH EFC（AAS） DF=EF.四、补全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决例 8如图 4，在ABC 中，AC=BC，C=90，BD 为ABC 的平分线若 A 点到直线 BD 的距离 AD 为 a，求 BE 的长分析：题设中只有一
11、条已知线段 AD，且为直角边，而要求的 BE 为斜边要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形证明：延长 AD、BC 相交于 F由 BD 为ABC 的平分线，BDAF 易证ADBFDB FD= AD=a AF=2a F=BAD 又BAD+ABD=90，F+ FAC=90ABD=FAC BD 为ABC 的平分线 ABD=CBEFAC=CBE，而ECB=ACF=90，AC=BCACF BCE（ASA） BE=AF=2a.五、利用角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构
12、造出全等三角形是常用的证明方法例 5如图 5，在四边形 ABCD 中，已知 BD 平分ABC，A+C=180 证明：AD=CD分析：由角的平分线条件，在 BC 上截取 BE=BA，可构造ABDEBD，从而AD=DE则只要证明 DE=CD证明：在 BC 上截取 BE=BA，连接 DE由 BD 平分ABC ，易证ABDEBDAD=DE A=BED又A+ C=180，BED+DEC=180DEC=C，DE=CDAD=CD.2、已知，如图 2，1=2， P 为 BN 上一点，且 PD BC 于点D， AB+BC=2BD。求证： BAP+ BCP=180。证明：过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于
13、点 E，如图 2-2.全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答
