1、全等三角形辅助线常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与
2、特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.2：如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.提示：延长FD至M，使FD=DM，连接BM，EM ，证EF=EM_A3：如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. _E_D_C_B28如图，APBC，P
3、AB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D，求证：(1)AB=AD+BCC (2)若BE=3，AE=4，求四边形ABCD的面积? 中考应用（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0PB(1)AC+APPC(2)(1)-(2)AB-ACPB-PC中考应用（08海淀一模）F提示：在BC上截取BF=BE，得等边三角形BEF，故ADEFEC，三、平移变换
4、1.AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证.2：如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.六 借助角平分线造全等1：如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2：（06郑州市中考题）如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.中考应用（06北京中考）如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角
5、形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图七、旋转1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 2：B为等腰斜边的中点，ABBC,AB,BC分别交EF,ED于点H、G。（1） 当绕点B 转动时，求证BH=BG。 （2）
6、若FD=2，求四边形EHBG的面积。 3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；中考应用（07佳木斯）已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;
7、(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.（09崇文一模）在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示）
8、三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1：已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:ABACBDDECE.证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，在AMN中，AMAN MDDENE;（1） 在BDM中，MBMDBD； （2） 在CEN中，CNNECE； （3） 由（1）（2）（3）得： AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEEC （法二：）如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G
9、，在ABF和GFC和GDE中有： ABAF BDDGGF（三角形两边之和大于第三边）（1） GFFCGECE（同上）（2） DGGEDE（同上）（3） 由（1）（2）（3）得： ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDE ABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D为ABC内的任一点，求证：BDCBAC。分析：因为BDC与BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BD
10、C处于在外角的位置，BAC处于在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E，这时BDC是EDC的外角， BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC证法二：连接AD，并延长交BC于FBDF是ABD的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1：已知AD为ABC的中线，且12,34,求证：BECFEF。分析：要证BECFEF ，可利用三角形三边关系定理证
11、明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知12，34，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。证明：在DA上截取DNDB，连接NE，NF，则DNDC，在DBE和DNE中：DBEDNE （SAS）BENE（全等三角形对应边相等）同理可得：CFNF在EFN中ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为ABC的中线，且12，3
12、4，求证：BECFEF证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在BDE和CDM中， BDECDM （SAS） 又12，34 （已知） 1234180（平角的定义） 32=90即：EDF90 FDMEDF 90在EDF和MDF中 EDFMDF （SAS） EFMF （全等三角形对应边相等） 在CMF中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边） BECFEF注：上题也可加倍FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为 ABC的中线，求证：
13、ABAC2AD。分析：要证ABAC2AD，由图想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多BDCD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE2AD AD为ABC的中线 （已知） BDCD （中线定义） 在ACD和EBD中 ACDEBD （SAS） BECA（全等三角形对应边相等） 在ABE中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边） ABAC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、
14、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF2AD。 六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1：在ABC中，ABAC，12，P为AD上任一点。求证：ABACPBPC。分析：要证：ABACPBPC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN， 再连接PN，则PCPN，又在PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。证明：（截长法）在AB上截取ANAC连接PN , 在APN和APC中 APNAPC （SAS） PCPN （全等三角形对应边相等） 在BPN中，有 PBP
15、NBN （三角形两边之差小于第三边） BPPCABAC证明：（补短法） 延长AC至M，使AMAB，连接PM， 在ABP和AMP中 ABPAMP （SAS） PBPM （全等三角形对应边相等） 又在PCM中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边) ABACPBPC。七、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求证：ADBC分析：欲证 ADBC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：ADC与BCD，AOD与BOC，ABD与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长D
16、A，CB，它们的延长交于E点， ADAC BCBD （已知） CAEDBE 90 （垂直的定义） 在DBE与CAE中 DBECAE （AAS） EDEC EBEA （全等三角形对应边相等） EDEAECEB 即：ADBC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图8-1：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC（或BD） ABCD ADBC （已知） 12，34 （两直线平行，内错角相等）在ABC与CDA中 ABCC
17、DA （ASA） ABCD（全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1：在RtABC中，ABAC，BAC90，12，CEBD的延长于E 。求证：BD2CE 分析：要证BD2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与ABC的平分线垂直，想到 要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于点F。 BECF （已知） BEFBEC90 （垂直的定义）在BEF与BEC中， BEFBEC （ASA） CE=FE=CF （全等三角形对应边相等） BAC=90 BECF （已知） BACCAF90 1BDA901BFC90 BDABFC在ABD与ACF中 ABDACF
18、（AAS） BDCF （全等三角形对应边相等） BD2CE十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且ABDC，ACBD，求证：AD。分析：要证AD，可证它们所在的三角形ABO和DCO全等，而只有ABDC和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由ABDC，ACBD，若连接BC，则ABC和DCB全等，所以，证得AD。证明：连接BC，在ABC和DCB中 ABCDCB (SSS) AD (全等三角形对应边相等)十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1：ABDC，AD 求证：ABCDCB。分析：由ABDC，AD，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BNCN，ABNDCN。下面只需证NBCNCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有NBMNCM，所以NBCNCB。问题得证。证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在ABN和DCN中 ABNDCN （SAS） ABNDCN NBNC （全等三角形对应边、角相等）在NBM与NCM中 NMBNCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形对应角相等）NBCABN NCBDCN即ABCDCB。 13
