1、1几何证明-常用辅助线(一)中线倍长法: 倍长中线的意思是：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，进而证明边之间的关系。例 1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，求证：AD (AB+AC)21分析：要证明 AD (AB+AC)，就是证明 AB+AC2AD，也就是证明两条线21段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边” ，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论 AB+AC2AD
2、中，出现了 2AD，即中线 AD 应该加倍。证明：小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC 和两个角BAD 和CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。课题练习: 中，AD 是 的平分线，且 BD=CD，求证 AB=ACABCA例 2: 中线一倍辅助线作法ABC 中 方式 1： 延长 AD 到E， AD 是 BC 边中线 使 DE=AD， 连接 BE 方式 2：间接倍长作 CFAD 于 F， 延长 MD 到N，B CDAECDAB DAB CEDAB CFEDCBAND CBAM2作 BEAD 的延长线于 E 使
3、DN=MD，连接 BE 连接 CD例 3：ABC 中，AB=5 ，AC=3，求中线 AD 的取值范围例 4：已知在ABC 中，AB=AC ，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且DF=EF，求证：BD=CE课堂练习：已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF例 5：已知：如图，在 中， ，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作ABC交 AE 于点 F，DF=AC.BDF/求证：AE 平分 课堂练习：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=B
4、AEFEDAB CF ECABD图 1 图图 ABFD E C E DAB C3作业：1、在四边形 ABCD 中，AB DC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图， ABC 中， C=90，CMAB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC于 T，过 D 作 DE/AB 交 BC 于 E，求证：CT=BE.3：已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交AC 于 F，求证： AF=EF4：已知 CD=AB，BD
5、A=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=BAE5、在四边形 ABCD 中，AB DC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论FEAB C DD A B C M T E FEDAB C E DAB CFEAB C D4A DB CE图 2-1（二）截长补短法例 1、已知，如图 1-1，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=DC，BD 平分ABC.求证：BAD+BCD=180.分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键
6、在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.例 2、如图 2-1，ADBC，点 E 在线段 AB 上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.例 3、已知，如图 3-1，1=2， P 为 BN 上一点，且 PD BC 于点 D， AB+BC=2BD.求证： BAP+ BCP=180.AB CD图 1-1AB CDP12N图 3-15例 4、已知：如图 4-1，在ABC 中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.作业：1、已知：如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.2、五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，
7、求证：AD 平分CDE（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图 1：已知 AD 为ABC 的中线，且12,34,求证：BECFEF。D CBA12图 4-1FEDCBA ABCDEFN1图 234 C EDB A62、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图 2：AD 为ABC 的中线，且12，34，求证：BECFEF练习：已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 4， 求证 EF2AD。 3、延长已知边构造三角形：例如：如图 6：已知 ACBD，ADAC 于 A ，BCBD 于 B，求证：ADBC4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 7：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。2图 ABCDEFM134ABCDEF4图ABCDE6图OABCD7图12347
