1、备课资料一、参考例题例 1(1998 年全国)两条直线 A1x B1y C10， A2x B2y C20 垂直的充要条件是( )A.A1A2 B1B20 B.A1A2 B1B20C. 1 D. 12 2解：当 B1， B2都不为零时， k1 ， k2Bk1k2 1A A1A2 B1B20.当 B10 时，两直线垂直的充要条件是 A20，当 B20 时，两直线垂直的充要条件是A10，所以满足 A1A2+B1B20，故选 A.评述：一定要注意 A1， B1及 A2， B2不能同时为零，也要注意斜率等于零与斜率不存在的两条直线互相垂直.例 2(1997 年全国)如果直线 ax2 y20 与直线 3x
2、 y20 平行，那么系数 a为( )A.3 B.6 C. D.解：若两直线平行，则，解得 a6.故选 B.2a评述：此题通过直线方程的系数比例关系来判断两直线的位置关系.二、参考练习题1.若原点在直线 l上的射影是点 P（2，1） ，则直线 l的方程是( )A.x2 y0 B.x2 y0C.2x y50 D.2x y30解：由已知，得 kOP ，再由 l OP，所以 kOPkl1. k12.又直线 l过点 P（2，1） ，所以 l方程为： y12（ x2）即 2x y50.故选 C2.若 A（，2） ， B(6，） ， C(12，6)， D(2，12)，则下面四个结论,正确的个数是( ) AB
3、 CD AB CD AC BD AC BDA.1 B.2 C.3 D.解： kAB ，5346kCD .53126 AB方程为 y2 （ x）即 3x5 y20 C（12，6)不在 AB上. AB CD又 kAD .3541 kABkAD1 AB AD. AC 222416)()( BD 416 AC BD kAC ，62,412BDk kACkBD1即 AC BD.四个结论都正确，故选 D.评析：此题属于数学中多选题型，需要逐一分析，主要考查学生对基本知识点、基本公式、基本方法的掌握情况.3.求经过点（2，1） ，且与直线 2x+y-10=0垂直的直线 L的方程.解法一：设直线 L的斜率为
4、k直线 L与直线 2x+y-10=0 垂直，k（-2）=-1. k= .21又L 经过点 A（2，1） ，所求直线 L的方程为 y-1= (x-2),即 x-2y=0.21解法二：设与直 2x+y-10=0垂直的直线方程为 x-2y+m=0.直线 L的经过点 A(2,1),2-21+m=0. m=0.所求直线 L的方程为 x-2y=0.备课资料参考例题例 1等腰直角三角形，斜边中点是 M（，2） ，一条直角边所在的直线方程是y2 x，求另外两边所在的直线方程.解：设斜边所在直线 AB斜率为 k，斜边与直角边所夹角为 45.所以 tan5 k21解得 k3 或 k= ，当 k=-3时，斜边方程为
5、 y23（ x）即 3x y10由 5281420143yxxy解 得斜边上一个顶点为 A（ ） ，另一个顶点 B( )，另一条直角边所在方程：, 58,26x2 y20，当 k 时，同理可得另两边所在的直线方程：31x3 y20， x2 y10.例 2光线从 A（3，）点射出，到 x轴上的 B点后，被 x轴反射到 y轴上的 C点，又被 y轴反射，这时反射线恰好过点D(1，6)点，求 BC所在直线的方程.解：如图所示，依题意， B点在原点 O左侧，设坐标为( a，0）.由入射角等于反射角，得12，3， kAB kBC又 kAB a340 kBC ， BC的方程 y0 （ x a）34即 x（3
6、 a） y a0令 x0，解得 C点坐标为(0， ） ，则 kDC1.3108146a3. ,3084,01akkDCPBC解得 a ，代入 BC方程得575x2 y70.另解：由入射角等于反射角可知 BC一定过点 A关于 x的对称点 A（-3，-4）及 D点关于 y轴的对称 D（1，6）.由两点式得 AD方程即 BC方程 5x2 y70.例 3等腰三角形两腰所在的直线方程为 7x y90 与 x y70，它的底边所在直线通过点 A(3，） ，求底边所在的直线方程.解法一：设 l1：7 x y90l2： x y70直线 l1、 l2的斜率分别为 k1， k2，则底边所在的直线 l到 l1的角与
7、 l2到 l1的角为等腰三角形两底角，故相等.于是有 k21即： k17（其中 k为所求直线斜率)解得： k3 或 k .1所求直线方程为 3x y10，或 x3 y270.解法二：设顶角平分线的斜率为 k，由已知 kl17， kl21，于是有 k17解得 k 或 k31由平面几何知识知道，顶角的平分线与底边垂直，所以底边的斜率为3 和 .3故所求直线方程为3x y10，或 x3 y270.解法三：设底边所在直线的方程为y k（ x3）.即 kx y3 k0由方程组 .7,9解得等腰三角形顶点 B的坐标为(2，5).由方程组 （ k7)083ykx解得底边一端点 C的坐标为（ ）.7560,1
8、3由方程组 083kyx解得底边另一端点 D的坐标为( ）.14,53k由 BC BD，得 22)1845()13(763072kk解得 k3 或 k故所求直线方程为：3 x y10 或 x3 y270.备课资料一、两直线 l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20 的位置关系与二元一次方程组的关系.(1)若二元一次方程组有惟一解，即 有惟一解，则 l1， l2相交.02211CyBxA(2)若二元一次方程组无解，则 l1 l2.(3)若二元一次方程组有无数个解，则直线 l1与 l2重合.二、两直线 l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20(其中
9、A2， B2， C2全不为 0)的位置关系与方程系数的关系：(1)l1 l2 ，211(2)l1， l2相交 ，21BA(3)l1， l2重合 .2121C三、参考例题例 1两条直线 y kx2 k1 和 x2 y0 的交点在第四象限，则 k的取值范围是( )A.（6，2） B.（ ，0）61C.（ ， ） D.（ ，)2解法一：解方程组 1204kxy得交点为( ）6,124k此点在第四象限 .612,0126kk即 ，故选 C.解法二：如图，直线 x2 y0 与 x轴的交点是 A（4，0） ，方程 y kx2 k1 表示的是过定点 P（2，1）的一组直线，其中 PB为过点 P且与 x2 y
10、0 平行的直线.由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线 PB与 PA之间，其余率 kPB k kPA而 kPA ， kPB ，6所以 k 故选 C.21评述：有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的方法解决，让学生予以体会.例 2 若 a+b+c=0,求证直线 ax+by+c=0必经过一个定点.证明：由 a+b+c=0,且 a、b 不同时为 0，设 b0，则 a=-(b+c),代入直线方程 ax+by+c=0,得（x-y）+ (x-1)=0.c此方程可视为直线 x-y=0与 x-1=0交点的直线系方程.解方程组 ,01xy得 x=1，y=1，
11、即两直线交点为（1，1）.故直线 ax+by+c=0过定点（1，1）.备课资料一、参考例题例 1(1994 年全国)点(0，5)到直线 y2 x的距离是( )A. B. C. D.255325解：直线方程化为 2x y0，由点到直线距离公式可得d .选 B.5例 2(1992 年全国文)原点关于直线 x6 y25 的对称点坐标是( )A.（2， ） B.（ ） C.（3，） D.（，3)325,8解法一：取各点横纵坐标一半代入已知直线方程检验，D 符合.解法二：设对称点坐标 P（ x0， y0） ，则 PO中点坐标符合已知直线方程，且 kPO（）1，68即 ，解得 P（，3）.选 D43256
12、000xy二、参考练习题1已知一直线 l被两平行线 3x y70 和 3x y0 所截线段长为3 ，且 l过点(2，3)，求 l的方程.2解：若 l斜率不存在，则与题意不符；设直线的斜率为 k，直线 l的方程为：kx y32 k0由已知两条平行线间的距离为 3，而 l与此两条平行线所截线段长为5873 ，设 l与两平行线的夹角为 ，则 a 1，两平行线斜率为 .2 43概括两条直线的夹角公式： 1)43(k解得 k1 ， k27.7所以直线 l的方程是x7 y190 或 7x y170.2在直线 x3 y20 上求两点，使它与点(2，2）构成等边三角形的三个顶点.解法一：点(2，2）到直线 x
13、3 y2 的距离为 d ，即等边三角1026形的高为 .10由此得等边三角形的边长为 .3021若设此三角形在直线 x3 y20 上的顶点坐标为( x0， y0） ，则 x03 y02，所以其坐标为（3 y02， y0）于是有3 y02（2） 2（ y02） 2（ ） 2.3整理得( y01) 2 .31 y01 ， x01故两点为（-1+ ，-1+ ）和（1 ，1 ）.33解法二：设过点（2，2）的一条边所在直线的斜率为 k.因为等边三角形的内角为 60，所以三条边中每两条边的夹角都为 60，于是tan60 ,即 .k313解得 k 或 k .31当 k 时，这条边所在直线方程为：31y2
14、（ x2） ，解方程组 )(310xy解得 x1 ， y1 .同理，当 k 时，可求得另一顶点为3(1 ，1 ).故两点为(1 ，1 )和(1 ，1 ）33备课资料一、直线系的概念一般地具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含变量 x、y 以外，还有可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量简称参数由于参数取向不同，就得不同的直线系二、几种常见的直线系(1)过定点的直线系直线 y=kx+b(其中 k为参数，b 为常数)它表示过定点(O，b)的直线系,但不包括 y轴(即 x=0)经过定点 M(x0，y 0)的直线系y-y0=k(x-x0)(k为参数)
15、它表示经过定点(x 0 、y 0)的直线系，但不包括平行 y轴的那一条(即 x=x0) (2)已知斜率的直线系 y=kx+b(k 为常数,b 为参数) 它表示斜率为 k的平行直线系 若已知直线 L：Ax+By+C=0与 L平行的直线系为 Ax+By+m=0,(m为参数且 mc).若已知直线 L：Ax+By+C=O,与 L垂直的直线系为 Bx-Ay+n=O(n为参数)(3)经过两条直线交点的直线系经过两直线 Ll：A 1x+Bly+C1=O(Al2+Bl2O)与 L2：A 2x+B2y+C2=O(A22+B22O)交点的直线系为 m(Alx+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中
16、m、n 为参数，m 2+n2O)当 m=1,n=O时，方程即为 L1的方程；当 m=O,n=1时,方程即为 L2的方程上面的直线系可改写成(A 1x+B1y+C1)+(A 2x+B2y+C2)=O(其中 为参数)，但是，方程中不包括直线 L2，这个参数方程形式在解题中较为常用三、常见的点关于直线的对称点有A(a,b)关于 x轴的对称点为 A (a，-b)；B(a,b)关于 y轴的对称点为 B(-ab)；C(a，b)关于直线 y=x的对称点为 C(b,a)；D(a,b)关于直线 y=-x的对称点为 D（-b,-a）;P(a,b)关于直线 x=m的对称点为 P(2m-a,b)；Q(a,b)关于直线
17、y=n 的对称点为 Q(a,2n-b);点 E(a,b)关于直线 L：Ax+By+C=O 的对称点 E的求法：令 E(x 0、y 0),则有.02100CbyBaxA，b解此方程组可得对称点 E的坐标四、常见的直线关于直线的对称直线有设直线 L：Ax+By+C=OL 关于 x轴的对称的直线是 Ax+B(-y)+C=O；L 关于 y轴的对称的直线是 A(-x)+By+C=0;L 关于直线 y=x对称的直线是 Bx+Ay+C=O;L 关于直线 y=-x对称的直线 A(-y)+B(-x)+C=O五、针对高考试题特点对于本节内容应注意的问题1认真理解和掌握好有关平行、垂直、夹角、距离等基础知识、基本方
18、法及基本问题2认真掌握有关对称的四种基本类型问题的解法即：1点关于点的对称问题；2直线关于点的对称问题；3点关于直线的对称问题；4直线关于直线的对称问题3在由两直线的位置关系确定有关字母的值或讨论直线 Ax+By+C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想4平面解析几何的核心是坐标法。它需要运用运动变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要注意与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系，本部分内容在这方面体现的也很明显5两条直线的位置关系是解析几何的基础。同时本部分内
19、容所涉及的“数形结合”对称”化归”等方法也是解析几何的重要思想方法因此对于本部分内容要切实学好、学透、用活6在历年的高考试题中，本部分内容也是常考问题的热点之一。多以选择题、填空题形式出现，也与圆锥曲线内容及代数有关知识结合在一起命题，成为试卷中的中等题和难题六、参考练习题1已知ABC 的三边所在直线的方程分别是 LAB：4x-3y+10=O，L BC：y=2，L CA：3x-4y=5求：(1)ABC 的大小；(2) BAC 内角平分线方程；(3) AB边上的高所在直线方程解：(1)L BC：y=2 是与 x轴平行的直线,LAB: 4x-3y+10=0的斜率为 ，倾斜角为 arctan ABC
20、=-arctan .344343(2)设 P(x,y)是BAC 平分线上任意一点则 P到 AC、AB 的距离相等224|5|3410| yxyx4x-3y+10=（3x-4y-5）.又BAC 的平分线的斜率在 和 之间37x-7y+5=0 为所求直线方程(3)设过点 C的直线系方程为 3x-4y-5+(y-2)=O 即 3x-(4-)y-5-2=O.要使此直线与直线 LAB: 4x-3y+10=0垂直,必须 =-1， 即 =834AB 边上的高所在直线方程为 3x+4y-21=O2直线 L过点 A(2，3)且被两平行线 L1：3x+4y-7=O 和 L2：3x+4y+8=O 截得的线段长为 3 ，试求直线 L的方程解：设直线 L的方程为 y-3=k(x-2),即 kx-y+3-2k=O设 L1与 L交于点 M，作 MNL 2于点 N两平行线 L1、L 2间距离|MN|= ，34|87|在直角MNQ 中，|MQ|=3 ，2sinMQN= .23MQN=45，即直线 L与 L2的夹角是 45，于是 tan45= |,)43(1|k解得 k= 或 k=-7.71所求直线方程为 x-7y+19=0或 7x+y-17=O
