1、31 指数函数31.1 分数指数幂1理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化(重点)2掌握有理指数幂的运算法则(重点)3了解实数指数幂的意义基础初探教材整理 1 根式阅读教材 P59P 60 例 1，完成下列问题1平方根与立方根的概念如果 x2a，那么 x 称为 a 的平方根；如果 x3a，那么 x 称为 a 的立方根根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有 2 个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个2a 的 n 次方根(1)定义：一般地，如果一个实数 x 满足 xna(n1，nN *)，那么称 x 为 a的 n 次实数方根，式子 叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被
2、开方数na(2)几个规定：当 n 为奇数时，正数的 n 次实数方根是一个正数，负数的 n 次实数方根是一个负数，这时，a 的 n 次实数方根只有一个，记作 x ；na当 n 为偶数时，正数的 n 次实数方根有 2 个，它们互为相反数，这时，正数 a 的正的 n 次实数方根用符号 表示，负的 n 次实数方根用符号 表示，na na它们可以合并写成 (a0)形式；na0 的 n 次实数方根等于 0(无论 n 为奇数，还是为偶数)3根式的性质(1) 0( n N*，且 n1)；n0(2)( )na( nN *，且 n1)；na(3)( )a( n 为大于 1 的奇数 )；nan(4)( )|a|Er
3、ror!(n 为大于 1 的偶数)nan1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)16 的四次方根为 2.( )(2) 4.( ) 42(3) 2.( )4 16【解析】 (1)16 的四次方根有两个，是2；(2) |4|4；(3) 42没意义4 16【答案】 (1) (2) (3)2若 n 是偶数， x 1，则 x 的取值范围为_nx 1n【解析】 x 10，x1.【答案】 x 1教材整理 2 分数指数幂阅读教材 P60“分数指数幂 ”至 P61 例 3，完成下列问题1分数指数幂的意义一般地，我们规定：(3)0 的正分数指数幂为 0,0 的负分数指数幂没有意义2有理数指数幂的运算性质(1)
4、asata st ；(2)(as)ta st；(3)(ab)ta tbt，(其中 s，tQ，a0，b0)1下列根式与分数指数幂的互化正确的是_(填序号)【解析】 根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4) 错误【答案】 (1)(2)2设 5x4,5 y2，则 52xy _.【解析】 5 2xy 8.52x5y 5x25y 422【答案】 8小组合作型根式的性质求下列各式的值(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5)3 23 4 32 83 8 a6 ，x(3,3)x2 2x 1 x2 6x 9【精彩点拨】 利用根式的性质进行求解【自主解答】 (1) 2.3 23(2)
5、.4 32 432 3(3) |3| 3.83 8(4) |a 3|Error!a6 a32(5)原式 |x1| x3|，x 12 x 32当3 x1 时，原式1x (x3) 2x2.当 1x3 时，原式x1(x 3)4.因此，原式Error!1解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值2注意 与( )n的区别nan na( )na( 当 n 为奇数时，aR，当 n 为偶数时，a0)；naError!nan再练一题1(1)化简： ( )2 _.a 1 1 a2 31 a3(2)若 0，则 yx_. x2 2x 1 y2 6y 9【解析】 (
6、1)易知 a10，原式(a1) | a1|1aa1(a1)1aa1.(2)由题知 0 |x1|y 3| ，Error!Error!y x( 3) 13.【答案】 (1)a1 (2) 3根式与分数指数幂的互化将下列根式化成分数指数幂的形式【精彩点拨】 利用分数指数幂的意义以及有理指数幂的运算性质进行转化再练一题2将下列根式化成分数指数幂的形式分数指数幂的运算【精彩点拨】 将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算指数幂与根式运算的技巧1有理数指数幂的运算技巧(1)运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算(2)指数的处理：负指数先化为正指数(底数互为倒数)(3)底数的处理
7、：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示2根式运算技巧(1)各根式(尤其是根指数不同时) 要先化成分数指数幂，再运算(2)多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂【答案】 (1)ac (2)36.5 5探究共研型条件求值问题探究 2 立方和(差) 公式是什么？【提示】 a 3b 3(ab)(a 2abb 2)，a 3b 3( ab)( a2abb 2)【精彩点拨】 应用乘法公式进行计算【答案】 194 52条件求值问题的常用方法1整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整
8、体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值2求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果再练一题4已知 a0，a 2x3，求 的值a3x a 3xax a x【解】 因为 a0，a 2x3，所以 ax ，3所以 ax ，a 3x3 ，a 3x ，13 3 133所以 .a3x a 3xax a x33 1333 13 731以下说法正确的是_(填序号)正数的 n 次方根是正数；负数的 n 次方根是负数；0 的 n 次方根是 0(其中 n1 且 nN *)；a 的 n 次方根是 .na【解析】 由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故错；由于负数的偶次方根无意义，故错；显然正确；当 a0 时，只有 n 为大于 1 的奇数时 才有意义，故错na【答案】 2计算： _.(x1)x2 2x 1【解析】 原式 |x1|1x.x 12【答案】 1x3计算( )2 的结果是_2【解析】 ( )2 2 .222【答案】 224计算：( )4( )4_.36a9 63a9【解析】 【答案】 a 45若代数式 有意义，化简：2x 1 2 x2 . 4x2 4x 1 4x 24【解】 由 有意义，2x 1 2 x则Error!即 x2.12故 24x2 4x 1 4x 24 22x 12 4x 24|2x1|2|x2|2x12(2x )3.
