1、2.4 线性回归方程1理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系(难点)2会画出数据的散点图，并会通过散点图判断这组数据是否具有线性关系( 重点 )3会求数据的线性回归方程，并根据线性回归方程做出合理的判断(重点、难点)基础初探教材整理 1 变量间的关系阅读教材 P74 的内容，并完成下面的问题1变量间的关系(1)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性函数关系(2)相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达2散点图从一个统计数表中，为了更清楚地看出 x 与 y 是否有相关关系，常将 x 的取值作为横坐标，将 y 的相应取值作为 纵坐标，在直角坐标系中描点(x
2、 i，y i)(i1,2,3 ，) ，这样的图形叫做散点图判断正误：(1)相关关系是一种不确定关系，而函数关系是一种确定关系( )(2)商品的销售收入与广告支出经费是函数关系( )(3)散点图越集中，则相关关系越强( )【解析】 (1).由函数关系及相关关系的定义知正确(2).是相关关系，而不是确定关系，故错误(3).只有当散点图呈规律性分布时才具有相关关系故错误【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 线性回归方程阅读教材 P75P 76“例 1”上边的内容，并完成下列问题1线性相关关系如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近，我们用直线bxa 拟合散点图中的这些点，像这样能用
3、直线 bxa 近似表示的相关关y y 系叫做线性相关关系2线性回归方程设有 n 对观察数据如下：x x1 x2 x3 xny y1 y2 y3 yn当 a，b 使 Q(y 1bx 1a) 2(y 2bx 2a) 2 (ynbx na) 2 取得最小值时，就称 bxa 为拟合这 n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称y 为回归直线3用回归直线进行数据拟合的一般步骤(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式Error!或求出 a，b，并写出线性回归方程填空：(1)有一个线性回归方程为 21.5x，则变量 x 增加一个单位时，y 平均y _1.5 个单
4、位(填“增加”或“减少”)【解析】 b1.5，x 每增加一个单位时 y 减少 1.5 个单位【答案】 减少(2)过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是 _【解析】 代入系数公式得 b1.75，a5.75.代入直线方程求得 5.751.75x.y 【答案】 5.751.75xy 小组合作型相关关系的判断(1)在下列两个变量的关系中，具有相关关系的是 _(填序号)正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关系(2)如图 241 所示，表示两个变量不具有相关关系的有_(填序号)图 241【精彩点拨】
5、(1)根据相关关系的定义判断(2)观察散点是否分布在一条曲线(直线) 附近，否则不具有相关关系【自主解答】 (1)正方形的边长与面积之间的关系是函数关系作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系故填.(2)是确定的函数关系；中的点大都分布在一条曲线周围；中的点大都分布在一条直线周围；中点的分布没有任何规律可言，x，y 不具有相关关系故填.【答案】 (1) (2) 1函数关系是一种确定的关系，而
6、相关关系是非随机变量与随机变量的关系函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系2判断两个变量 x 和 y 间是否具有线性相关关系，常用的方法是绘制散点图，如果散点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就具有线性相关关系，判断时注意不要受个别点的位置的影响再练一题1如图 242 所示的五组数据(x ，y)中，去掉点_后，剩下的四组数据相关性增强(填坐标)图 242【解析】 去掉点(4,10) 后，其余四个点大致在一条直线附近，相关性增强【答案】 (4,10)线性回归方程的求法及应用2017 年元旦前夕，某市统计局统计了该市 2016 年 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计
7、资料如下表：年收入 x(万元) 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10年饮食支出 y(万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3(1)画出散点图；(2)从散点图判断年饮食支出(y )与年收入(x)是否具有线性相关关系？若有线性相关关系，求出线性回归方程；(3)若某家庭年收入为 9 万元，预测其年饮食支出.(参 考 数 据 ：10i 1xiyi 117.7，10i 1x2i 406)【精彩点拨】 画 散 点 图 判 断 具 有 线 性 相 关 关 系 求 b，a，得 方 程进 行 预 测【自主解答】 (1)画出散点图如下图所示(2)由散点图知年饮食支
8、出与家庭年收入具有线性相关关系依题意可计算得 6， 1.83， 236， 10.98，又x y x x y iyi117.7， 406，10i 1x10i 1x2ib 0.17，a b 0.81，10i 1xiyi 10x y 10i 1x2i 10x 2 yx 0.17x0.81.y 所求的线性回归方程为 0.17x0.81.y (3)当 x9 时， 0.1790.812.34(万元) ，y 可估计大多数年收入为 9 万元的家庭每年饮食支出约为 2.34 万元1求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：(1)计算平均数 ， ；x y (2)求和 iyi， ；ni 1xni 1x2i(3)计
9、算 b ，a b ；ni 1xi x yi y ni 1xi x 2ni 1xiyi nx y ni 1x2i nx 2 yx (4)写出线性回归方程 bxa.y 2利用线性回归方程可对变量进行预测，但要注意预测的结果只是一个估计值，而不是精确值再练一题2假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料： 【导学号：11032052】使用年限 x 2 3 4 5 6维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系，试求：(1)线性回归方程 bx a 的回归系数 a、b；y (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？【
10、解】 (1)由条件知 (23456) 4，x 15 (2.23.85.56.57.0)5，y 152 23 24 25 26 290， iyi22.2 33.845.556.55i 1x2i5i 1x67.0112.3.由公式可得b 1.23.5i 1xiyi 5x y 5i 1x2i 5x 2 112.3 54590 542 12.310a b 51.2340.08.y x (2)由(1)知回归直线方程为 1.23x 0.08，当 x10 时，y 1.2310 0.0812.30.0812.38，即估计使用 10 年时，维修费用是y 12.38 万元探究共研型对线性回归方程的认识探究 1 对
11、于任意一组样本数据，利用“最小平方法”是否都可以求得“回归方程”？此时的“回归方程”是否都具有实际意义？【提示】 对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程” ，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程探究 2 对于同一总体而言，由不同的样本数据得到的线性回归方程是否一样？【提示】 回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性探究 3 在线性回归方程 bxa 中，b 的意义是什
12、么？y 【提示】 回归方程中的系数 b 反映了变量 y 随 x 的变化趋势及变化幅度，即当 x 变化一个单位时，y 随着变化| b|个单位当 b0 时，y 随 x 的增大而增大，此时 y 与 x 具有正相关关系；当 b0，故 y 与 x 有正相关关系，故正确；中，由公式 a b 知 b a，因此回归直线 bxa 一定过点y x y x y ( ， )，所以正确； 中，由 0.850 知正确； 中，回归方程的预测值只是x y 一个估计值，故不正确(2)由回归方程 bx a 中系数 b 的意义知，年收入每增加 1 万元，年饮食y 支出平均增加 0.254 万元，故填 0.254.【答案】 (1)
13、(2)0.254由样本数据得到的回归方程 bxa 不一定经过散点，但回归直线一定经y 过样本中心，即点( ， ).x y 再练一题3由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n，y n)得到的回归直线方程为bxa，那么下列说法不正确的序号是_(填序号)y 直线 bxa 必经过点( ， )；y x y 直线 bxa 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n，y n)中的一个点；y 直线 bxa 的斜率为 ；y ni 1xiyi nx y ni 1x2i nx 2直线 bxa 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n，y n)的偏差y yi( bx
14、i a)2 是该坐标平面上所有直线与这些点偏差中最小的ni 1【解析】 回归直线不一定经过散点，故的说法不对；对一组观测值(xi，y i)而言，只有当散点集中分布在一条直线附近时，所反映的变量 y 和 x 才是线性相关关系，此时的回归直线才能真实反映 y 和 x 的线性相关关系；否则，当散点图不是集中分布在某一条直线附近时，则表示的不是线性相关关系，此时的回归方程是毫无意义的都正确【答案】 1下列具有相关性的是_(填序号)某地区的降水量与地下水位；人的年龄与血压；某天的天气情况与股市的涨跌情况；学生的学习时间与学习成绩【解析】 某天的天气情况与股市的涨跌无任何关系，不具有相关性【答案】 2工人
15、工资(元) 依劳动生产率(千元) 变化的回归方程为 80x 50，下列y 判断正确的是_(填序号)劳动生产率为 1 000 元时，工资为 130 元；劳动生产率提高 1 000 元时，工资平均提高 80 元；劳动生产率提高 1 000 元时，工资提高 130 元；当月工资为 210 元时，劳动生产率为 2 000 元【解析】 回归直线斜率为 80，所以 x 每增加 1，y 增加 80，即劳动生产率提高 1 000 元时，工资平均提高 80 元【答案】 3四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y 与 x 负相关且 2.347 x6.423；y y 与 x 负相关且 3.476 x5.648；y y 与 x 正相关且 5.437 x8.493；y y 与 x 正相关且 4.236 x4.578.y 其中一定不正确的结论的序号是_【解析】 中 y 与 x 负相关而斜率为正，不正确；中 y 与 x 正相关而斜率为负，不正确
