1、自主广场我夯基我达标1.已知 A(1,2)、 B(2,3)、C(-2,5),则ABC 的形状是( )A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形思路解析：A(1,2) 、B(2,3)、C(-2,5), =（1，1） ， =（-4，2） ， =（-3 ，3）.ABCA =1（-3）+13=0, ABAC,即A=90.ABC 为直角三角形.ABC答案：A2.以原点和点 A(4,2)为顶点作等腰 RtOAB,B=90, 则向量 的坐标为_.AB思路解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程,然后求解.设 =(x,y),则 =(x-4,y-2).OB由已知 222)()4(0)
2、(| yxyA.1,3,yx或故 B(1,3)或 B(3,-1). =(-3,1)或(-1,-3).B答案：(-3,1) 或 (-1,-3)3.已知两恒力 F1(3,4),F2(6,-5)作用于同一质点,使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0).试求：(1)F1、 F2 分别对质点所做的功；(2)F1、 F2 的合力 F 对质点所做的功.思路分析：设物体在力 F 作用下位移为 S,则所做的功为 W=FS.解： =（7，0）-（20，15）=（-13，-15 ）,AB(1)W1= F1 =（3，4）（-13，-15）=-99(焦耳).W2=F2 =（6，-5） （-13 ，-15 ）=-
3、3( 焦耳).(2)W=F AB=（F 1+F2） =（3，4）+（6，-5） （-13，-15 ）=（9，-1） （-13，-15）=-102( 焦耳).4.如图 2-5-8，在ABC 中,D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 的中点,G 是它的重心,已知 D点的坐标是(1,2),E 点坐标是(3,5),F 点坐标是(2,7),求 A、B、C、G 的坐标.图 2-5-8思路分析：根据 D、E、F 分别是边 AB、BC 、CA 的中点,得 = .从而求出 A 点坐标,ADFEB、C、G 点的坐标求法与此类似.解：设 A（x 1,y1),由已知得 EF 平行且等于 AD, = .(x 1-1,
4、y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2). .4,0,211yxyx解 得A(0,4).同理, 可得 B(2,0),C(4,10).连结 AE,则 AE 过点 G.设 G(x2,y2),由 =2 得(x 2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),AGE .G(2, ).314,.104,6222yxyx解 得5.设 a、b、c 是两两不共线的三个向量.(1)如果 a+b+c=0,求证:以 a、b 、c 的模为边,必构成一个三角形；(2)如果向量 a、b 、c 能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系 ?思路分析：运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答.解：(1)如图 2-5-9,作
5、=a, =b, =c.按向量加法的多边形法则有BCAD= + + =a+b+c=0.BD图 2-5-9B 与 D 重合,故向量 a、b 、c 能构成一个三角形.(2)设向量 a、b、c 能构成一个ABC,根据向量加法的三角形法则,有 + = ,即ABC+ + =0.ACa=- ,b=- ,c=- ,BAa、b、c 有下列四种关系之一即可：a+b -c=0,a+b+ c=0,a- b-c=0,a- b+c=0.6.如图 2-5-10 所示，ABC 三边长分别为 a、b、c,以 A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径,试判断 P、Q 在什么位置时 , 有最大值?BPCQ图 2-5-10思路分析：
6、先构造向量表示 和 ,然后运用向量的运算建立目标函数,再利用向量的数BPCQ量积 ab|a|b|求解.解： + = , + = =- ,ABA =（ - ）（- - ）=- 2+ + - PCQPBACPA=-r2+ + （ - ）= + -r2C=cbcos BAC+ -r2.ABr、a、b、c、BAC 均为定值,故当且仅当 有最大值时， 有最大值.APCBPCQ而当 与 同向共线时，其夹角为 0，有 =ra.PC当 ,且 与 同向时, 有最大值：bccos BAC+ar-r 2.QBQ我综合我发展7.在四边形 ABCD 中, =0,且 = ,则四边形 ABCD 是( )ABDCA.梯形 B
7、.菱形C.矩形 D.正方形思路解析：由 =0 得 ABBC, 又 = ,AB 与 DC 平行且相等.从而四边形BCAABCD 是矩形.答案：C8.如图 2-5-11,已知 A、B 、C 是不共线的三点,O 是ABC 内的一点,若 + + =0,求OABC证：O 是ABC 的重心.图 2-5-11思路分析：以 、 为邻边构造平行四边形 OBDC,则有 =- ,从而得OBCODA| |=2| |,即 O 为ABC 的重心.AE解：由于 + + =0, =-( + ),即 + 是 的相反向量,以 、AOBCOB为邻边构造平行四边形 OBDC,则有 =- .在平行四边形 BOCD 中,设 BC 与 O
8、D 交CD于 E 点,则 = , ,AE 是ABC 的中线,且| |=2| |.故 O 是ABC 的重BEAE心.9.在ABC 内求一点 P,使 的值最小.22CPBA思路分析：根据已知条件,可设 =a, =b,再把 表示成关于向量22CPBA=x 的函数,进而求出该函数的最小值.CP解：如图 2-5-12,设 =a, =b, =x，CABP图 2-5-12则 =x-a, =x-b,APB22C=(x-a)2+(x-b)2+x2=3x2-2(a+b)x+b2+a2=3x- (a+b) 2+a2+b2- (a+b)2.3131根据向量运算的意义知,当 x= (a+b)时, 有最小值.22CPBA
9、设 M 为 AB 的中点,易知 a+b=2 .CM当 x= (a+b)时, = ,也即 P 为ABC 的重心时, 31C32M的值最小，为 a2+b2- (a+b)2,即 a2+ b2- ab.2PBA31310.如图 2-5-13(1),有两条相交成 60的直线 xx1、yy 1,交点为 O.甲、乙分别在 Ox、Oy 1 上,起初甲位于离 O 点 3 km 的 A 处,乙位于离 O 点 1 km 的 B 处.后来两个人同时用每小时 4 km的速度,甲沿 xx1 的方向,乙沿 yy1 的方向运动.(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?如图 2-5-13(2),在三角形中有
10、如下结论：b 2=a2+c2-2accosB.（1） （2）图 2-5-13思路分析：以甲、乙两人 t 时刻的位置和 O 三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.解：(1)起初两人分别在 a、b 两点,则| |=3,| |=1.AB| |2=| |2+| |2-2| | |cos60=9+1-231 =7.ABO21| |= km,即起初两人相距 km.77(2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q, 则| |=4t,| |=4t.ABQ又甲沿 xx1 的方向,乙沿 yy1 的方向运动.当 0t 时,43| |2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+
11、4t)cos60=48t2-24t+7；PQ当 t 时,| |2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120=48t2-24t+7.综上,| |2=48t2-24t+7=48(t- )2+4,t0，+),P41当 t= 时,即在第 15 分钟末时 ,PQ 最短,两人最近,最近距离为 2 km.4111.不顾国际社会的强烈反对,美国于 2001 年 7 月 14 日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计算标靶的飞行
12、速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为|v|=10 n mk/h.令 v=1e1+2e2,基底 e1、e 2 是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东 30, e1 方向正东, e 2 方向为北偏东 60,试求 1、 2 的值.思路分析：本题实质就是利用平面内的一组基底表示向量 v.解：建立如图 2-5-14 所示的直角坐标系,则 e1=(1,0),e2=( , ),v=(5n, n).e 1、e 2 不共335线,图 2-5-14v= 1 e1+2 e2=1(1,0)+2( , ),31(5n, n)=(1+ 2, 2).35 .352,21n 1=-10n,2= n.0
