1、第 3 章 三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数3.1.1 两角和与差的余弦5 分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.若 sin（ +）=- ，（ ，） ，则 cos（ -）=_.25423思路解析：由诱导公式得 sin（ +）=cos=- ，又 （ ，） ，所以 sin= .54253所以 cos（ -）=cos cos+sin sin= （- ） + = .332151043答案: 1042.计算 cos（-35）cos （25+）+sin（-35 ）sin（25+）=_.思路解析：逆用两角差的余弦公式可得到结果.原式=cos(-35-25 -)=cos(-60)= .21答案: 21
2、10 分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.已知 sin= ，cos = ，求 cos（-）的值.531解：sin= 0，cos = 0，32 可能在一、二象限， 在一、四象限.若 、 均在第一象限，则 cos= ，sin = ，cos （-）= + = .541354132563若 在第一象限， 在第四象限，则 cos= ，sin =- ，cos（-）= + (- )= .54132563若 在第二象限， 在第一象限，则 cos=- ，sin= ，5413cos（- ）=（- ） + =- .5413263若 在第二象限， 在第四象限，则 cos=- ，sin=- ，cos（- ）=（- ）
3、 + （- ）=- .52.计算 sin33cos27+sin57cos63的值.思路解析：从整体出发，对局部进行三角变换，出现特殊值是求值常用的方法.题目中都是非特殊角，不能直接计算，可将 sin33化为 cos57,cos63化为 sin27，再逆用两角和的余弦公式，则迎刃而解.解：原式=cos57cos27+sin57sin27=cos(57-27 )=cos30= .233.已知 cos= ，cos（+）=- ，且 、（0， ） ，求 cos 的值.7114思路解析：本题的解法要求观察并分析出角和角之间的关系 =（+）-，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果.这种“变角”的技巧在三角函
4、数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.要注意，避免出现将cos（+ ）展开，通过解方程 cos- sin= 求 cos 这种复杂方法.535解:由于 ，（0， ） ， cos= ，cos（+ ）=- ，27114则 sin= = = ,cos12)(34sin（+）= = .22)1()(435所以 cos=cos（+）-=cos（+）cos +sin（+）sin=- + = .147354214.已知 sin+sin = ，cos+cos= ，求 cos（-）的值.54思路解析：本题是一道综合题，由于 cos（- ）=coscos+sin sin，欲求
5、 cos（-）的值，只需求出 coscos+sinsin 的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件两式平方，再相加即得 coscos +sinsin 的结果.解：sin+sin = ，53cos+cos= .4式平方得 sin2+2sin sin+sin 2= ，59式平方得 cos2+2coscos+cos 2= .16以上两式相加，得2+2（coscos+sinsin）=1,即 2+2cos（-）=1，得到 cos（- ）=- .215.求 cos80cos35+cos10cos55的值.解： cos80cos35+cos10cos55=cos80cos35+cos（90-80）cos
6、（90-35 ）=cos80cos35+sin80sin35=cos（80-35）=cos45= .26.已知 cos（-）=- ，cos（+）= ，且（-）（ ，） ， （+）（5454，2） ，求 cos2 的值.3思路解析：此题主要考查灵活“变角”的技巧.由分析可知 2=（+）-（-）.解：由于 cos（-）=- ，cos（+）= ，且（-）（ ，） ， （+）5454（ ，2） ，3可得 sin（-）= ，sin （+）=- ，33所以 cos2=cos（+）-（-） =cos（+ ） cos（-）+sin（+）sin（-）= （- ）+（- ） =-1.5453志鸿教育乐园过路费甲同
7、学要回坐位，但被乙同学挡着路，乙同学向甲同学说：“此路是我开，此树是我栽，我想从此过，留下买路财！”这时老师站在门外说：“刷卡可以吗？”30 分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.(2005 上海)若 cos= ,(0, ),则 cos(+ )=_.7123思路解析：(0, ), sin= = ,49173cos(+ )=coscos -sinsin = - =- .37123414答案:- 142.设 (0, ),若 sin= ,则 cos(+ )等于( )2534A. B.C.- D.-5715751思路解析：(0, ),若 sin= ，cos= . cos(+ )= (cos cos -
8、sinsin )= .24241答案:B3.sin163sin223+sin253sin313等于( )A.-B.C.-D.21212323思路解析：sin163sin223+sin253sin313sin163sin223+cos(90 -253)cos(90-313)cos163cos223+ sin163sin223 cos(223-163)cos60= .21答案:B4.（2005 广东）化简 f(x)=cos( +2x)+cos( -2x)+2 sin( +2x)316k316k3(xR,kZ),并求函数 f(x)的值域和最小正周期.解:f(x)=cos(2k+ +2x)+cos(2
9、k- -2x)+2 sin( +2x)3=cos( +2x)+cos( +2x)+2 sin( +2x)3=2cos( +2x)+2 sin( +2x)=4cos( +2x)cos +sin( +2x)sin 3=4cos2x.f(x) -4,4,T= =.2f(x)的值域是-4,4 ，最小正周期是 .5.化简 3 sinx+3 cosx.15解：原式=6 （ sinx+ cosx）21=6 （sin60 sinx+cos60cosx）5=6 cos（60-x）.6.已知 sin+sin +sin=0 ，且 cos+cos+cos=0.求证：cos（-）=- .21证明：由已知可得 sin+s
10、in =-sin，cos+cos=-cos.两式平方相加得到 2+2cos（-）=1.所以 cos（- ）=- .得证.217.如图 3-1-1，平面直角坐标系中，已知 =（cos80 ，sin80 ） ， =（cos20 ，OAOBsin20） ，求| |.若 AB 中点是 C，那么| |呢？ABO图 3-1-1思路解析：这道题属于向量和三角函数的综合问题.解: =（cos20-cos80，sin20-sin80）,AB| |= 2)80sin2(i)80cos2( = 22 si0cos = )sics(1= )28s2= 60co=1.可知AOB 是等边三角形，可求得| |= .OC23
11、8.已知 sin+sin = ，求 cos+cos 的取值范围.2思路解析：本题用到了平方关系：sin 2+cos 2=1，这一关系在三角函数运算中经常用到 .解：由于 sin+sin = ，等式两边平方可知，sin 2+2sinsin+sin 2= . 1设 cos+cos=m,平方可知，cos 2+2coscos+cos 2=m 2. +得sin2+2sinsin+sin 2+cos 2+2coscos+cos 2=m 2+ ,1整理，有 m2= +2cos（- ）.3又由于 cos（-）-1 ，1 ，所以 m2- ， ，即得 0m 2 .177解得- m .4所以- cos+cos .212149.已知 0 , ,cos( -)= ,sin( +)= ,求 sin(+)的值.43534135思路解析：注意到( +)-( -)= +(+)，可先求 cos +(+).422对给值求值问题，要认真观察分析题目中的条件和结论中各个角度之间的关系，实现由已知到未知的代换.解： ,- -0.432sin( -)=- .5又0 , +.43cos( +)=- .132sin(+)=cos -(+)=-cos +(+)2=-cos( +)-( -)43=-(- ) + (- )15= .6
