1、典题精讲例 1 温度有零上与零下之分，温度是不是向量，为什么?思路分析：判断一个量是不是向量，关键就是看这个量是否同时具备两条：既有大小又有方向，这两者缺一不可.答案：不是，因为温度只有大小没有方向.绿色通道：向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；我们把既有大小又有方向而无特定位置的量叫自由向量.描述一个向量有两个指标：大小、方向.变式训练 美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向 1 200 千米处发射两枚战斧式巡航导弹(精度 10 米左右，射程超过 2 000 千米) ，试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？思路解析：向 1 200 千米处发射两枚战斧式巡
2、航导弹,这里没有给定发射的方向不能击中伊拉克的军事目标.答案：不能.例 2 如图 2-1-1，已知四边形 ABCD 是矩形，设点集 M=A，B，C，D ，集合 T=,P、QM，且 P、Q 不重合.试求集合 T.P图 2-1-1思路分析：要确定向量为元素的集合 T 有多少个子集，就需搞清楚集合 T 中有多少个相异的向量.解：从已知条件出发,可以判断出相异的向量有 .DABBDCA,绿色通道：这是一道向量与集合知识交汇的题型，在这里要分别从两个知识点出发，集合主要考查的是其互异性，向量的相关概念在此考查的是相异向量应当具备的一个硬件是排除相等向量的可能性情况，两者之间交汇在一个“异”字，解题时只有
3、认真审题分清思路，才能得到正确的结果.变式训练 如图 2-1-2，四边形 ABCD 与 ABEC 都是平行四边形.图 2-1-2(1)用有向线段表示与向量 相等的向量；AB(2)用有向线段表示与向量 共线的向量.思路解析：在寻找相等向量和共线向量时都是可以从大小和方向这两个方面来考虑，本题涉及到的线段比较多，要按一定的规律寻找，不要有遗漏.答案：(1)与向量 相等的向量是 ;ABDCE,(2)与向量 共线的向量是 ，ABDCED,例 3 有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定是相等向量?思路分析：判断两个向量是否相等就是看它们的大小是否相等，方向是否相同，这两个方面缺一不可.解：有
4、下列两种情况，这两个向量一定相等.(1)方向相同；(2) 都为零向量.黑色陷阱：如果忽视了零向量是相等向量，那么就会遗漏第二种情况，使得本题的解答不完整.绿色通道：向量有两个要素：一是大小，二是方向.两个向量只有当它们的模相等同时方向相同时,才称为相等的向量,即 a=b 就意味着|a|=|b|，且 a 与 b 的方向相同.还要注意到零向量与零向量是相等向量.变式训练 下列说法正确的是_.向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一直线上ABCD单位向量都相等任一向量与它的相反向量不相等四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 =一个向量方向不确定当且仅当模为 0共线的向量，若起点不同，则
5、终点一定不同思路解析：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 、 在同一直线上.ABC不正确.单位向量模均相等且为 1，但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.不正确.如图 2-1-3， 与 共线，虽起点不同，但其终点却相同 .ABC图 2-1-3答案：例 4 某人从 A 点出发向西走了 200 m 到达 B 点，然后改变方向向西偏北 60走了450 m 到达 C 点，最后又改变方向向东走了 200 m 到达 D 点.(1)作出向量 、 、 (用 1 cm 表示 100 m)；BD(2)求| |.思路分析：本题只要用向量来表
6、示位移就可以很简单地图 2-1-4解决.解：(1)作出向量 、 、 ,如图 2-1-4.ABCD(2)| |=| |，且 与 方向相同，四边形 ABCD 是平行四边形.| |=| |=450 (m).D绿色通道：用向量知识解决物理问题，关键是将物理知识转化成数学知识，用向量表示物理量，然后解决问题.变式训练 新华网北京 10 月 17 日电 北京时间 17 日 2 时 40 分许，记者从北京航天飞控中心获悉，神舟六号飞船返回指令解锁，即将结束五天的太空之旅，踏上返乡路程.凌晨 3 时 43 分至 48 分，远望三号测量船对飞船实施了姿态调整、轨道舱与返回航分离、制动点火等一系列关键控制，仪器表
7、上已准确地出现飞船的方位，飞船顺利进入预定返回轨道.假定把神舟六号飞船看成向量 ，现在仪器表屏幕显示在 45 的方格中有一个向量AB，以图 2-1-5 中的格点为起点和终点作向量，其中与 相等的向量有多少个?与AB AB长度相等的共线向量有多少个?图 2-1-5思路分析：要判断向量相等，并不要求它们有相同的起点与终点，主要是依据把握住向量相等两要素：方向相同、长度相等.答案：以图中的格点为起点和终点作向量，其中与 相等的向量有 7 个，与 长ABAB度相等的共线向量有 15 个.问题探究问题 1 中国象棋中规定：马走“日” 字，象走“田”字，如图 2-1-6，在中国象棋的半个棋盘(48 个，矩
8、形每个小方格都是单位正方形)中，若马在 A 处，可跳到 A1 处，也可跳到A2 处，用向量 , 表示马走了 “一步”.通过探究，你能在图中画出马在 B、C 处走了12A一步的所有情况吗？图 2-1-6导思：根据象棋的走法规则，结合已知的图形，作出符合要求的所有向量，不要有遗漏.探究：此题中，马在 A 处有两条路可走，在 B 处有三条路可走，在 C 处有八条路可走，可谓“八面威风” ，解题时，应做到不重不漏.如图 2-1-7,以点 C 为起点作向量( 共 8 个)，以点 B 为起点作向量(共 3 个).图 2-1-7问题 2 如图 2-1-8，A 1，A 2，A 8 是O 上的八个等分点，则在以
9、 A1，A 2, ,A8及圆心 O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，试探究模等于半径的向量有多少个，模等于半径 倍的向量有多少个?图 2-1-8导思：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算 与 (i=1，2，8)两iOAi类，一般我们易想到 (i=1,2, ，8)这 8 个，而易遗漏 (i=1，2，8)这 8 个.iOAi(2)圆内接正方形的一边对应了长为 的两个向量.例如边 ,A1A3 对应向量 与 .因2311A此与(1)一样，在解题过程中主要是防止漏算.认为满足条件的向量个数为 8 是错误的.探究：(1)由于 A1,A2, ,A8 是O 上的八个等分点，所以八边形 A1A2A8 是正八边形，正八边形的边及对角线长均与O 的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是 与iO(i=1,2, ，8)两类，共 16 个.i(2)O 内接正方形的边长是半径的 倍，所以我们应考虑与圆心 O 形成 90圆心角的两2点为端点的向量个数.以 A1，A 2，A 8 为顶点的O 的内接正方形有两个，一是正方形 A1A3A5A7；另一个是正方形 A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的 倍.所以模为半径 倍的向量共有 422=16 个.22
