1、自主广场我夯基 我达标1.下列命题中正确命题的个数为( )如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直过平面外一点有且只有一条直线与平面平行一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面A.0 B.1 C.2 D.3思路解析:对于，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线其位置关系除了平行之外，还有异面，如图.正方体 ABCDA1B1C1D1，A 1B1平面 ABCD，A 1B1 与 BC 的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线 A1
2、B1 与 BC 所成的角为 90，因此命题是错误的.对于，如图，图 1-2-2-3A 1B1AB ，A 1D1AD 且 AD、AB 平面 ABCD，A 1D1、A 1B1 平面 ABCD，A 1B1平面 ABCD，A 1D1平面 ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条，可以想象，经过面 A1B1C1D1 内一点 A1 的任一条直线，与平面 ABCD 的位置关系都是平行的.因此,命题也是错误的.对于，我们可以继续借助正方体 ABCDA1B1C1D1 来举反例,如图，取 AD、BC 的中点分别为 E、F，A 1D1、B 1C1 的中点为 G、H ，连结 EFGH
3、，图 1-2-2-4E、F 、G、H 分别为 AD、BC、A 1D1、B 1C1 的中点，可以证明 EFHG 为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A、D 两个点到该截面的距离相等，但 AD平面 EFHG=E,因此命题也是错误的.对于，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交.可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直.正确命题的个数只有一个.答案：B2.平面 平面 ，A、C,B、D，点 E、F 分别在线段 AB、CD 上，且 .FDCEBA求证：EF.思路分析:构造过 EF 的平面平行于 ，利用面面平行的性质，因题设中四
4、点 A、B 、D 、C没有说明是否共面，所以需要分类讨论，以免解答不完整.图 1-2-2-5证明：（1）当 AB、CD 异面时，过 A 作 AHCD 交 于 H，则四边形 AHCD 为平行四边形，在平面 AHDC 内作 FGAC 交 AH 于 G，连结 EG，则 ,GAFC又 ， .EBAFDCHEG.又 EG ,BH ,EG.又 FGACHD，FG ,DH ，FG.又 EGFG=G.平面 EFG平面 .又 EF 平面 EFG，EF .（2）当 AB、CD 共面时，,ACBD.四边形 ABCD 为平行四边形或梯形.由于 ,得到 EFBD，BD ，EF ，FDCEBAEF.3.如图 1-2-2-
5、6， a，A 是 另一侧的点，B、C 、Da，线段 AB、AC、AD 交 于E、F、 G 点，若 BD=4，CF=4，AF=5，求 EG.图 1-2-2-6思路分析:首先根据平行证明三角形相似 ,再利用相似比求值.解：A a，A、a 确定一个平面，设为 b.Ba ，B b，又 Ab，AB b.同理,AC b，AD b.点 A 与直线 a 在 的异侧,b 与 相交.面 ABD 与面 相交，交线为 EG.BD ，BD 面 BAD，面 BAD=EG.BDEG.AEGABD. (相似三角形对应线段成比例 ).ACFBDEGEG= .92045BDACF4.证明若一条直线与一个平面平行,则经过此平面内的
6、一点与这条直线平行的直线在这个平面内.已知:如图 1-2-2-7,a,A,Ab,ab.求证:b .图 1-2-2-7 图 1-2-2-8思路分析：由直线和平面平行,可以得出此直线和平面内无数条直线平行,但并不是和平面内所有直线都平行.利用性质定理,要作辅助平面寻求 内与 a 平行的直线.过 内一点作某直线与 a 平行的说法是不妥当的.证明：如图 1-2-2-8,假设 b ,A,Ab,b 和 相交.a,A,A a,过直线 a 与直线外一点 A 确定平面 ,=b,则 ab.ab,bb 与 bb=A 矛盾.b .我综合 我发展5.如图 1-2-2-9,四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个
7、截面，若截面为平行四边形.图 1-2-2-9(1)求证：AB 平面 EFGH；CD平面 EFGH;(2)若 AB=4，CD=6，求四边形 EFGH 周长的取值范围.思路分析：（1）利用线面平行的判定和性质定理进行证明，判定与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称为平行链，即：线线平行 线面平行 线线平行;（2）利用相似性质来求边长 .（1）证明：EFGH 为平行四边形，EF HG.HG 平面 ABD，EF平面 ABD.EF 平面 ABC.平面 ABD平面 ABC=AB,EFAB.AB平面 EFGH.同理,CDEH,C
8、D平面 EFGH.（2）解：设 EF=x(0x4)，由于四边形 EFGH 为平行四边形， .4xCBF故 .416xCFAG从而 FG=6- x.23于是四边形 EFGH 的周长为 l=2(x+6- x)=12-x.23又 0x4，知 8l12,故答案为(8,12).6.若 ， ，则 .思路分析:可以利用两个平面平行的性质定理和判定定理进行证明.证明：在平面 内取两条相交直线 a、b，分别过 a、b 作平面 、，使它们分别与平面 交于两相交直线 、b. ， aa,bb.又，同理在平面 内存在两相交直线 a、b，使得 aa,bb.aa,bb.7.如图,在底面是菱形的四棱锥 PABCD 中,点 E
9、 在 PD 上 ,且 PEED=21.试在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF平面 AEC?证明你的结论.图 1-2-2-10思路分析:探索性问题是以考查创新意识、创新精神为目标的一种题型，这类问题常以新颖的形式出现，解题入口宽，而且往往有比较隐蔽的条件，解这类题目必须通过分析判断、演绎推理、联想转化、尝试探索等多种思维形式去寻求解决途径.解：当 F 是棱 PC 的中点时,BF平面 AEC.证明如下:图 1-2-2-11取 PE 的中点 M,连结 FM,则 FMCE.由 EM= PE=ED,21知 E 是 MD 的中点.连结 BM、BD,设 BDAC=O，则 O 为 BD 的中点.所以 BMOE.由知平面 BFM平面 AEC.
