1、典题精讲例 1 如图 2-3-2，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC、BC 的中点，已知=c， =d，试用 c、d 表示 和 .AMNABD图 2-3-2思路分析：本题要求用 c、d 表示 和 ，所以可以将 c、d 看作基底，也就变成了用ABD基底表示 和 两个向量.ABD解：设 =a， =b，由 M、N 分别为 DC、BC 的中点，得 = b， = a.从ABN 和ADM 中，N21得 ).2(3,.21,dcbcabd解 得即 = (2d-c)， = (2c-d).AB3D绿色通道：从解答本题的过程来看，本题策略性较强：(1)为使问题表达简单，采用代换 =a， =b；ABD(
2、2)为使问题降低难度，采用正难则反策略，即直接用 c、d 表示 、 困难，反过来ABD改用 、 表示 c、d，然后将 和 看成是未知量，利用方程组解得 和 .ABD A变式训练 如果 e1、e 2 是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法错误的有 ( )e 1+e2 (、R)可以表示平面 内的所有向量对于平面 中的任一向量 a，使 a=e1+e2 的实数 、 有无数多对若向量 1e1+1e2 与 2e1+2e2 共线，则有且只有一个实数 ，使 1 e1+1 e2=(2 e1+2 e2) 若实数 、 使 e1+e2=0，则 =0A. B. C. D.思路解析：由平面向量基本定理,知正确，而错误.
3、当 1e1+1e2=(2e1+2e2)，当1=2=1=2 时，对任意实数 ，均有 1e1+1e2=(2e1+2e2).因此，也是错误的.答案：B例 2 已知向量 u=(x,y)与向量 v=(y,2y-x)的对应关系可用 v=f(u)表示.(1)求证：对于任意向量 a、b 及常数 m、n，f(ma+nb)=mf(a)+nf( b)恒成立；(2)设 a=(1,1)， b=(1,0)，求向量 f(a)、f(b) 的坐标;(3)求使 f(c)=(p,q)(p、q 为常数)的向量 c 的坐标.思路分析：本题用到向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算等知识，代入相应的公式运算即可.解：
4、(1)设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2). f(ma+nb)=(ma 2+nb2，2ma 2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2，2a 2-a1)+n(b2，2b 2-b1)=(ma2+nb2，2ma 2+2nb2-ma1-nb1).f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)恒成立.(2)f(a)=(1,21-1)=(1,1)，f( b)=(0,20-1)=(0,-1).(3)设 c=(x,y)，则 f(c)=(y,2y-x)=(p,q).y=p,2y-x=q.x=2p-q ，即向量 c=(2p-q,p).绿色
5、通道：本题是向量的坐标运算与函数知识相结合的问题，题目的难度并不大，主要考查向量的坐标运算和函数的基础知识，但却充分体现了坐标运算的代数性.为运用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而解决问题.变式训练 已知 ABCD 中，A(-1 ，0) ，B(3，0)，C(1，-5)，则 D 的坐标为( )A.(-3，-5) B.(-3，5)C.(5，-5) D.(-2，5)思路解析：设 D(x,y)，四边形 ABCD 是平行四边形， = .ABC又 = - =(4,0), = - =(1-x,-5-y)，ABODCO1-x=4 且-5-y=0.x=-3,y=-5.答案：A例 3 如图 2
6、-3-3 所示，在 ABC 中， =a, =b， =c， =a(00).xi+yj -8i=-pj.x=8.第二次船速为 16i，船上人测得的风速为 -q(i+j)(q0).xi+yj -16i=-q(i+j).x-16=-q=y.y=-8.风速为 8i-8j，即风的方向为东南方向，大小为 千米/时.28问题探究问题试探究命题“如果 a=(a1,a2),b=(b1,b2)，则 a1b2-a2b1=0 ab”成立.导思：若 a、b 其中一个为零向量，则零向量与任何向量共线，显然成立，若 a、b 均不为零向量，可借助平面向量基本定理证明结合向量的直角坐标运算来证之.探究：(1)若 a1b2-a2b
7、1=0.若 b1=b2=0 即 b=0，此时 ab 成立；若 b1=0，b 20，则 a1=0，此时 a=(0,a2)，b=(0,b 2)，a b 成立；若 b10 且 b20，则由 a1b2-a2b1=0 得 ，2令 =，即 a1=b1,a2=b2，21baa=(a 1,a2)=(b1,b2)=(b1,b2)=b.ab.因此，若 a1b2-a2b1=0，则 ab.(2)若 ab.若 a、b 其中一个为零向量，不妨设 b=(0,0)，则 a1b2-a2b1=0 成立；若 a、b 均不为零向量，因为 ab，则存在唯一实数 使 a=b,即(a 1,a2)=(b1,b2)=(b1,b2),即 a1=b1，a2=b2 .两式的两边分别乘以 b2、b 1,得a1b2=b1b2,a2b1=b2b1.a 1b2-a2b1=0.因此，若 ab，则 a1b2-a2b1=0.综上可得 a1b2-a2b1=0 ab.
