1、庖丁巧解牛知识巧学一、求极坐标方程的步骤1.在直角坐标系中，曲线可以用含有变量 x、y 的方程表示；在极坐标系中，曲线可以用含有 、 这两个变量的方程 f(,)=0 来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程.2.求曲线的极坐标方程的方法和步骤(1)建立适当的极坐标系，设 P(,)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.二、极坐标系中的平面曲线的极坐标方程为 f(,)=0设极坐标方程
2、 f(,)=0 及坐标平面上的曲线 C，如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线 C 上的点；曲线 C 上的点的坐标中至少有一个能满足这个方程，那么，方程 f(,)=0 称为曲线 C 的极坐标方程，曲线 C 称为方程 f(,)=0 的曲线.深化升华 在找平面曲线的极坐标方程时，要找极径 和极角 之间的关系式 ,这常用到解三角形（正弦定理,余弦定理）的知识，如利用三角形的面积相等来建立 、 之间的关系.问题探究问题 1 极径是距离，当然是正的，可为何又有“负极径”的概念呢？“负极径”中的“负” 的含义是什么？探究:根据极径定义，极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加 .负极径的负与数
3、学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线 OP“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转 ，因此，所谓“负极径”实质是管方向的.这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“ 反向”.如直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的.一般情况下，如果不作特殊说明，极径都指的是正的.问题 2 为何不能把对直角坐标系内点和曲线的认识套用到极坐标系内，用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？探究:（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对，即坐标(x,y) 是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(,)只能与一
4、个点 P 对应，但一个点 P 却可以与无数多个有序实数对(,)对应.例如(,2n+) 与(-,(2n+1)+)（n 为整数）表示的是同一个点，所以点与有序实数对极坐标(,)不是一一对应的.（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）.可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应.例如方程 1=1,2=1,3=1 等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的.（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方
5、程.例如给定曲线 =，设点 P 的极坐标为( , )，那么4点 P 适合方程 =，从而是曲线上的一个点，但点 P 的另一个极坐标( , )就不适合方9程 = 了.所以在极坐标系内，确定某一个点 P 是否在某一曲线 C 上，当且仅当点 P 的极坐标中是否有一对坐标 = 适合曲线 C 的方程.典题热题例 1 求：(1)过 A(2, )且平行于极轴的直线；(2)过 A(3, )且和极轴成 的直线.4343思路分析：(1)在直线上任意取一点 M，根据已知条件想办法找到变量 、 之间的关系.可以通过图中的直角三角形来解决，因为已知 OA 的长度，还知 AOx= ，还可以得到 MH的长度，从而在 RtOM
6、H 中找到变量 、 之间的关系.(2)在三角形中利用正弦定理来找到变量 、 之间的关系.解：(1)如图 1-3-1 所示,在直线 l 上任意取点 M(,)，A(2, )，4图 1-3-1|MH|=2sin = .在 RtOMH 中,|MH|=|OM|sin,即 sin= ,42 2过 A(2, )平行于极轴的直线方程为 sin= .2(2)如图 1-3-2 所示,A(3, )，|OA|=3,AOB= ，由已知MBx= ，3343图 1-3-2OAB= - = .43125OAM=- .7又OMA=MBx-= -.在MOA 中，根据正弦定理得 ，127sin)43sin(sin =sin( +
7、)= ，1276将 sin( -)展开，化简上面的方程，可得 (sin+cos)= .43 23过 A(3, )且和极轴成 的直线为 (sin+cos)= .43深化升华 可以看到，在求曲线方程时，要找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.例 2 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y2=4x;(2)y2+x2-2x-1=0;(3)= ;3(4)cos2 =1;(5)2cos(2)=4;(6)= .cos21思路分析：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上一点的位置的方法.在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合.解：(
8、1)将 x=cos,y=sin 代入 y2=4x，得(sin) 2=4cos.化简得 sin2=4cos.(2)将 x=cos,y=sin 代入 y2+x2-2x-1=0,得(sin) 2+(cos)2-2cos-1=0.化简得 2-2cos-1=0.(3)tan= ，tan = = .化简得 y= x(x0).xy3x3(4)cos 2 =1, =1,即 +cos=2.cos1 +x=2,化简得 y2=-4(x-1).2yx(5) 2cos(2)=4, 2cos2-2sin2=4,即 x2-y2=4.(6)= ,2-cos=1.cos1 =1,化简得 3x2+4y2-2x-1=0.2yx方法
9、归纳 在进行两种坐标间的互化时，要注意:(1)互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在 00).与极轴所在直线垂直且与极点距离为 a 的直线方程：cos=a(a0).圆的极坐标方程：圆心为( 0,0)，半径为 r： 2-20-cos(-0)+02-r2=0；圆心为( 0,0)，半径为 r： 2-20cos+02-r2=0；圆心为(r,0) ，半径为 r：=2rcos(r0)；圆心为(-r,0)，半径为 r：=-2rcos(r0) ；圆心为(r, )，半径为
10、r：=2rsin(r0)；2圆心为(r, )，半径为 r：=-2rsin(r0)；圆心为(0,), 半径为 r：=r(r0).例 5 极坐标 =cos( -)表示的曲线是 ( )4A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆思路解析：原极坐标方程化为 = (cos+sin)； 2=cos+sin，21普通方程为 (x2+y2)=x+y，表示圆.答案：D拓展延伸 方法一：将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于 不恒等于0，方程两边同乘 ，得 2=cos( -)=( cos+ sin)= (cos+sin).422这样，在以极点为原点，以极轴为 x 轴正半轴的直角坐标系中，cos=x,sin=
11、y, 2=x2+y2,因此有 x2+y2= (x+y).方程 =cos( -)表示圆.方法二：极坐标方程 =2acos 表示圆，而 - 与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，4而不改变曲线的形状，故方程 =cos( -)表示圆.例 6 设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连结 MA，自 M 作 MPMA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程.图 1-3-4思路分析：如图 1-3-4,求 P 点的轨迹方程关键是解 APM ，利用余弦定理，可以建立 P(,)点中 、 之间的关系 .解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系.如图 1-3-4.设定圆 O 的半径为 r，OM=a，P(,)是轨迹上任意一点.MP MA，|MA| 2+|MP|2=|PA|2.由余弦定理,可知|MA| 2=a2+r2-2arcos，|MP| 2=a2+2-2acos.而|PA|=r-，由此可得 a2+r2-2arcos+a2+2-2acos=(r-)2.整理化简，得 =.racos)(深化升华 若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.
