1、142 三角形全等的判定第 1 课时 运用“边角边”证三角形全等1使学生掌握 SAS 的内容，会运用 SAS 来识别两个三角形全等2通过全等三角形的识别的学 习，使学生初步 认识事物之 间的因果关系与相互制约关系，学习分析事物本质的方法3经历如何总结出全等三角形 识别方法，体会如何探 讨、实践、总结，培养学生的合作能力重点三角形全等的识别： SAS.难点对全等三角形的识别的理解和运用一、创设情境，导入新课1什么叫全等图形？什么叫做全等三角形？(能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形)2两个三角形满足什么条件就能全等呢？如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等
2、，这两个三角形会全等吗？这就是本节课我们要探讨的课题二、合作交流，探究新知如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？(应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角)每一种情况下得到的三角形都全等吗？做一做：(1)如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两条边分别为3 cm和 4 cm，它们的夹角为 50，你能画出这个三角形吗？你画的与同伴画的一定全等吗？换两条线段和一个角试试，你发现了什么？同学们各抒己见后总结：发现对于已知的两条线段和一个角，以该角为夹角，所画的三角形都是全等的这就是判别三角形全等的另外一种简
3、便的方法：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为“边角边”或“SAS ”(2)如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如两条边分别为 4 cm和4.5 cm，长度为 4 cm的边所对的角为 60，情况会怎样呢？请画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？(两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等)三、运用新知，深化理解例 1 如图， D在 AB上， E在 AC上， AB AC， AD AE.求证： B C.分析：本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知判定一般的三角形全等的方法利用“ SAS”证明 A
4、BE ACD，再利用全等三角形的对应角相等即可证明：在 ABE和 ACD中， AB AC， A A，AE AD， ) ABE ACD(SAS)， B C.【归纳总结】解决此类题型常用的方法是：直接应用全等三角形的判定和性质证明即可，注意在证明三角形全等时隐含的条件，如公共边、公共角、对顶角等例 2 如图，已知 A， B两点被一个池塘隔开，无法直接测量，但两点可以到达，现给出一种方案：找两点 C， D，使 AD BC，且 AD BC，量出 CD的长即得 AB的长请说明理由分析：由平行线的性质得到 DAC BCA，然后通过证 ADC CBA(SAS)得到AB CD.解： AB CD；理由如下：如图
5、， AD BC， DAC BCA.在 ADC与 CBA中， AD CB， DAC BCA，AC CA， ) ADC CBA(SAS)， AB CD.【归纳总结】解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系阅读教材 P99100 例 1，例 2，指导学生分析例题，并从中归纳出证明的思路、方法。四、课堂练习，巩固提高1教材 P100练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知学生谈收获、体会、疑惑后，进一步总结本节课学习了三角形全等的识别的一种方法(SAS)，而两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，注意观
6、察图形的特征，找出是否具备满足两个三角形全等的条件六、布置作业1请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容2教材 P111112 习题 14.2第 14 题第 2 课时 运用“角边角”证三角形全等1使学生理解 ASA 的内容，能运用 ASA 全等识别法来识别 三角形全等，进而说明线段或角相等2通过画图、实验、发现、应用的过程教学， 树立学生知识源于实践用于实践的观念，使学生体会探索发现问题的过程重点利用三角形全等的识别法，间接说明角相等或线段相等难点三角形全等的识别法 ASA及应用；一、创设情景，导入新课1什么叫做全等三角形，如何识别两个三角形全等？(能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
7、识别两个三角形全等的方法有： SAS)2叙述 SAS的内容3请问到本节课为止，我们探讨两个三角形全等满足三个条件的哪几种情况，情况如何呢？还有哪些情况还没有探讨呢？(如果两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？)本节课我们探讨两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，这两个三角形是否全等的课题二、合作交流，探究新知请同学们动手做一个实验：同桌两位同学为一组(1)共同商定画出任意一条线段 AB，与两个角 A， B( A B180)(2)两位同学各自在硬纸板上画线段 A B的长等于商定的线段 AB的长，在 A B的同旁，画 B A C等于商定的 A，画 A B C等于商定的
8、B，设 A C与 B C相交于 C，便得 A B C.(3)用剪刀各自剪出 A B C，将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了什么？其他各桌的同学是否也有同样的结论呢？同学们各抒己见后，总结：对于已知两个角和一条线段，以该线段为夹边，所画的三角形都是全等的由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为“角边角”或“ASA”三、运用新知，深化理解例 1 如图所示，点 E在 ABC外部，点 D在 BC边上， DE交 AC于 F，若 BAD CAE， E C， AE AC，则( )A ABC AFEB AFE ADCC AFE DF
9、CD ABC ADE分析： BAD CAE， BAD DAF CAE DAF，即 BAC DAE. E C， AE AC， BAC DAE， ABC ADE(ASA)【归纳总结】在“ASA ”中，包含 “边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA” 中， “边”必须是“两角的夹边” 例 2 某家装公司的员工在安装玻璃时，不小心将一块三角形玻璃打碎要求他只带其中一块碎片到玻璃店去，就能配一块与原来一样的回来请根据图形回答问题：图 图(1)碎片如图，他应该带_去，原因是_；(2)碎片如图，他应该带_去，原因是_分析：(1)带 B去，原因是两角及其
10、夹边对应相等的两个三角形全等( ASA)；(2)带 A去，原因是两边及其夹角对应相等的两个三角形全等( SAS)【归纳总结】分别根据三角形全等的判定方法解答即可本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键阅读教材 P101102 例 3，例 4，总结出证明方法，形成证明模式四、课堂练习，巩固提高1教材 P102103 练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知用采访的形式访问一些同学，本节课学到了什么知识，对这些知识有什么体会？对本节课的知识存在着哪些疑问？六、布置作业1请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容2教材 P112习题
11、14.2第 5，7 题第 3 课时 运用“边边边”证三角形全等1使学生理解“边边边”基本事 实的内容，能运用 “边边边 ”基本事实证明三角形全等，为证明线段相等或角相等 创造条件2继续培养学生画图、实验，发现新知识的能力重点灵活运用 SSS识别两个三角形是否全等难点让学生掌握“边边边”基本事实的内容和运用基本事实的自觉性一、创设情境，导入新课请问同学，老师在黑板上画的 ABC与 A B C全等吗？你是如何识别的？(同学们各抒己见，如：动手将纸剪下一个三角形，剪下叠放到另一个三角形上，是否完全重合；测量两个三角形的所有边与角，观察是否有三条边对应相等，三个角对应相等)上一节课我们已经探讨了两个三
12、角形只满足一个或两个边、角对应相等条件时，两个三角形不一定全等满足三个条件时，两个三角形是否全等呢？现在，我们就一起来探讨研究二、合作交流，探究新知1问题 如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形会全等吗？做一做：给你三条线段 a、 b、 c，分别为 4 cm、3 cm、4.8 cm，你能画出这个三角形吗？先请几位同学说说画图思路后，教师指导，同学们动手画，教师演示并叙述书写出步骤步骤：(1)画一线段 AB使它的长度等于 c(4.8 cm)(2)以点 A为圆心，以线段 b(3 cm)的长为半径画圆弧；以点 B为圆心，以线段 a(4 cm)的长为半径画圆弧；两弧交于点 C.(3)连接 A
13、C， BC. ABC即为所求把你画的三角形与其他同学的图形叠合在一起，你们会发现什么？换三条线段，再试试看，是否有同样的结论？请你结合画图、对比，说说你发现了什么？同学们各抒己见，教师总结：给定三条线段，如果它们能组成三角形，那么所画的三角形都是全等的这样我们就得到识别三角形全等的一种简便的方法： 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为“边边边”或“SSS” 2问题 2 你能用“SSS” 这个三角形全等的识别法解释三角形具有稳定性吗？(只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了)三、运用新知，深化理解例 1 如图，已知 AB AC， BD CD，试说
14、明 B C的理由分析：连接 AD，利用“SSS” 得到 ABD与 ACD全等，利用全等三角形对应角相等即可得证解：连接 AD，在 ABD和 ACD中， ABD ACD(SSS)，AB AC，AD AD，BD CD， ) B C.【归纳总结】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键例 2 见教材 P104例 5.四、课堂练习，巩固提高1教材 P105练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知本节课探讨出可用“SSS” 来判定两个三角形全等，并能灵活运用“SSS”来判定三角形全等三个角对应相等的两个三角形不一定会全等六、布置作业
15、1请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容2教材 P112113 习题 14.2第 8，11 题第 4 课时 运用“角角边”证三角形全等1使学生理解 AAS 的内容，能运用 AAS 全等识别法来识别 三角形全等，进而说明线段或角相等2通过画图、实验、发现、应用的过程教学， 让学生树立知识源于实践、用于 实践的观念体会探索发现问题的过程经历自己探索出 AAS 的三角形全等 识别及其应用的过程重点利用三角形全等的识别法，间接说明角相等或线段相等难点三角形全等的识别法 AAS及应用一、创设情境，导入新课1什么叫做全等三角形，如何识别两个三角形全等？(能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形识别两
16、个三角形全等的方法有：SAS、 ASA、 SSS)2叙述 SAS、 ASA、 SSS的内容3如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边也相等，这两个三角形是否全等？本节课我们进行探讨二、合作交流，探究新知思考：如图，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？动手画一画：比如 A45， C60， AB3 cm，你能画这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？现在两组同学按如果 45角所对的边为 3 cm画，另两组同学换两个角和一条线段，试试看，你们得出什么结论？同学们各抒己见后，总结：对于已知两个角和一条线段，以该线段为对边，所画的三角形都是
17、全等的由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等简记为“角角边”或“AAS”问题：你能说说 ASA与 AAS这两种全等识别法间的关系吗？( AAS识别法可由 ASA识别法推导出来，如上图中，因为 A D， C F，由于 B180 A C， E180 F D，所以 B E，于是 ABC与 DEF具备 ASA证全等的条件)三、运用新知，深化理解例 1 如图，在 ABC中， AD BC于点 D， BE AC于 E.AD与 BE交于 F，若 BF AC，求证： ADC BDF.分析：先证明 ADC BDF， DAC DBF，再由 BF AC，根据“A
18、AS”即可得出两三角形全等证明： AD BC， BE AC， ADC BDF BEA90. AFE BFD， DAC AEF AFE180， BDF BFD DBF180， DAC DBF.在 ADC和 BDF中， ADC BDF(AAS) DAC DBF， ADC BDF，AC BF， )【归纳总结】在“AAS ”中， “边 ”是其中一个角的对边例 2 已知：在 ABC中， BAC90， AB AC，直线 m经过点 A， BD直线 m， CE直线 m，垂足分别为点 D， E.求证：(1) BDA AEC；(2)DE BD CE.分析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等
19、得到一对角相等，再由 AB AC，利用“AAS ”即可得证； (2)由 BDA AEC，可得 BD AE， AD EC，根据DE DA AE等量代换即可得证证明：(1) BD m， CE m， ADB CEA90， ABD BAD90. AB AC， BAD CAE90， ABD CAE.在 BDA和 AEC中， ADB CEA 90， ABD CAE，AB AC， ) BDA AEC(AAS)；(2) BDA AEC， BD AE， AD CE， DE DA AE BD CE.【归纳总结】利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判
20、定与性质进行线段之间的转化四、课堂练习，巩固提高1教材 P107练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知本节课学习了三角形全等的识别的另一种方法 AAS，即两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，注意观察图形的特征，找出是否具备满足两个三角形全等的条件六、布置作业1请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容2教材 P112113 习题 14.2第 9，12 题第 5 课时 运用“斜边、直角边”证三角形全等1探索和了解直角三角形全等的条件：斜边、直角 边定理2会运用斜边、直角边定理判定两个直角三角形全等重点探究直角三角形全等的条件难点灵活运用
21、三角形全等的条件证明一、创设情境，导入新课(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的” 你相信他的结论吗？学生思考全等的判定方法方法一：测量斜边和一个对应的锐角( AAS)方法二：测量没被遮住的一条直角边和一个对应的锐角( ASA或 AAS)思考工作人员的方法是否正确二、合作交流，探究新知已知线段 a、 c(ac)，利用尺规作一个
22、Rt ABC，使 CB a， AB c.想一想，怎样画呢？按照下面的步骤做一做：(1)作 MC N90；(2)在射线 C M上截取线段 C B a；(3)以 B为圆心， c为半径画弧，交射线 C N于点 A；(4)连接 A B. A B C就是所求作的三角形吗？剪下这个三角形，和原直角三角形进行比较，看它们能否重合【归纳总结】直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等简记为“斜边、直角边”或“HL”想一想你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，如SAS、 ASA、 AAS、 SSS，还有直角三角形特殊的判定方
23、法“HL”三、运用新知，深化理解例 1 如图，已知 CD AB于 D，现有四个条件： AD ED； A BED； C B； AC EB，那么不能得出 ADC EDB的条件是( )A B C D分析：推出 ADC BDE90，根据“AAS” 推出两三角形全等，即可判断 A、B 正确；根据“HL”即可判断 C正确；根据 “AAA”不能判断两三角形全等选项 A中， CD AB， ADC BDE90.在 ADC和 EDB中， ADC C B， ADC EDB，AD DE， )EDB(AAS)；同理可推出选项 B正确；选项 C中， CD AB， ADC BDE90.在Rt ADC和 Rt EDB中， R
24、t ADCRt EDB(HL)；选项 D中，根据三个角对应AC BE，AD ED， )相等，不能判断两三角形全等【归纳总结】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有“SAS”， “ASA”， “AAS”， “SSS”，在直角三角形中，还有 “HL”定理，如果具备条件“SSA”和“AAA”，则不能判断两三角形全等例 2 如图，在 Rt ABC中， C90， AC10 cm， BC5 cm，一条线段PQ AB， P， Q两点分别在 AC上和过 A点且垂直于 AC的射线 AQ上运动，问 P点运动到 AC上什么位置时 ABC才能和 APQ全等？分析：本题要分情况讨论：(1)Rt A
25、PQRt CBA，此时 AP BC5 cm，可据此求出P点的位置(2)Rt APQRt CAB，此时 AP AC， P， C重合解：根据三角形全等的判定方法“HL”可知：(1)当 P运动到 AP BC时， C QAP90.在 Rt ABC与 Rt QPA中，AP BC，PQ AB， )Rt ABCRt QPA(HL)，即 AP BC5 cm；(2)当 P运动到与 C点重合时， AP AC.在 Rt ABC与 Rt PQA中， Rt QAPRt BCA(HL)，即 AP AC10 cm.AP AC，PQ AB， )当 AP5 cm 或 10 cm时， ABC才能和 APQ全等【归纳总结】判定三角
26、形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解阅读教材 P108110 例 7，8，9，归纳证明方法，形成广泛思路补充练习：如图，两根长度为 12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由思考已知条件中有没有隐含的条件引导学生观察线段在哪两个三角形中，两个三角形具有哪些已知条件？学生写出证明过程学生板演过程学生讨论直角三角形的画法学生总结直角三角形全等判定方法有几种四、课堂练习，巩固提高1教材 P109及 P110111 练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知1判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边2直角三角形全等的所有判定方法：SSS， SAS， ASA， AAS， HL.学生总结思考：两个直角三角形只要再知道几个条件就可以判定其全等？六、布置作业 1请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容2教材 P113习题 14.2第 10题
