1、互动课堂重难突破一、平行线等分线段定理平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知 abc，直线 m、n 分别与a、b、c 交于点 A、B、C 和 A、B、C(如图 1-1-2)，如果 AB=BC，那么 AB=BC.图 1-1-2对于定理的证明，如图 1-1-3 所示，分 mn 和 m 不平行于 n 两种情况证明.当 mn 时，直接运用平行四边形加以证明；当 m 不平行于 n 时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.图 1-1-3定理的条件是 a、b、c 互相平行，构成一组平行线，m 与 n 可以平行，也
2、可以相交，但它们必须与已知的平行线 a、b、c 相交，即被平行线 a、b、c 所截.平行线的条数还可以更多.应当注意定理图形的变式: 对于三条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知 l1l 2l 3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线 DE 的位置变化不影响定理的结论 .图 1-1-4图 1-1-5利用本定理可将一线段分成 n 等份，也可以证明线段相等或转移线段的位置.平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图 1-1-5.二、平行线等分线段定理的推论平行线等分
3、线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.这两个推论的证明如下:推论 1:如图 1-1-6(1)，在ACC中，AB =BC，BBCC交 AC于 B点.求证:B是 AC的中点.证明:如图 1-1-6(2)，过 A 作 BB与 CC的平行线 a，分别双向延长线段 BB、CC,得直线 b、c.abc，AB =BC，由平行线等分线段定理，有 AB=BC，即 B是 AC的中点.图 1-1-6推论 2:如图 1-1-7(1)，已知在梯形 ACCA中，AACC，AB =BC ，BBCC.求证:B是 AC的中
4、点.证明:梯形 ACCA中 AACC，BBCC，AABBCC.又AB =BC，分别延长 AA、 BB、CC 为 a、b、c,如图 1-1-7.由平行线等分线段定理，有 AB=BC，即 B是 AC的中点.图 1-1-7三、刨根问底问题 平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系，那么如何理解这种 联系？探究:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分，即可产生两个推论的图形;或者将两个推论中的线段延长成为直线，也可变成平行线等分线段定理的图形，它们的关系可以直观地表示,如图 1-1-8:图 1-1-8活学巧用【例 1】如图 1-1-9，已知在ABC 中，D 是 AC 的中
5、点，DE BC 交 AB 于点 E，EF AC交 BC 于点 F.求证 :BF =CF.图 1-1-9思路解析:在三角形中，只要给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论 1，就可得出平行线与另一边的交点即是中点.本题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但会显得 麻烦 .证明:在ABC 中，D 是 AC 的中点，DEBC，E 是 AB 的中点 (经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边). 又EFAC 交 BC 于 F，F 是 BC 的中点，即 BF =FC.【例 2】求证:在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.如图 1-1-10，已知在梯形 ABCD 中，AD
6、BC ，ADC=90，E 是 AB 边的中点，连结ED、 EC.求证:ED=EC.图 1-1-10思路解析:在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点.所以由 E 是 AB 边的中点，作 EFBC 交 DC 于 F，即可得 EFDC，从而利用线段中垂线的性质得到结论.证明:过 E 点作 EFBC 交 DC 于 F,在梯形 ABCD 中，ADBC ， ADEFBC .E 是 AB 的中点， F 是 DC 的中点(经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰). ADC =90，DFE =90.EFDC 于 F.又F 是 DC 中点,EF 是 DC 的垂直平分线.ED
7、=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等).【例 3】 如图 1-1-11,ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于 O,OEAB 交 BC 于 E,AD=12,求 BE的长.图 1-1-11思路解析:本题重在考查应用平行线等分线段定理推论解题的能力.解:ABCD 是平行四边形,OA= OC,BC=AD.ABDC,OEAB ,DCOEAB.又AD =12, = .621ADBEC【例 4】已知在ABC 中，CD 平分ACB ，AECD 于 E，EFBC 交 AB 于 F.求证:AF=BF.思路解析:一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉上图形有些缺陷时，就要添加适当的辅助线，使
8、其完善.本题中，AECD 于 E，恰在三角形内部，而 RtAEC又不好用,所以延长 AE 与 BC 相交就势在必行了.图 1-1-12证明:延长 AE 交 BC 于 M.CD 是ACB 的平分线，AECD 于 E,在AEC 与MEC 中, MCD.A,AECMEC.AE=EM.E 是 AM 的中点 .又在ABM 中 ,FEBC,点 F 是 AB 边的中点 .AF =BF.【例 5】如图,已知ABC 中,AD 平分BAC,CDAD ,DEBA,求证: BC=2BE.图 1-1-13思路解析:要证 BC=2BE,即证 E 为 BC 的中点,联系已知条件 DEAB,考虑平行线等分线段定理的推论,延长 CD 交 AB 于点 F,只要证点 D 为 FC 的中点即可.证明:延长 CD 交 AB 于点 F,AD 平分FAC,FAD=CAD.在AFD 和 ACD 中, CDA,F,AFD ACD.FD =CD .又DEAB,BE =EC,即 BC =2BE.
