1、第 24 章圆一、复习目标1、了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理2、探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线3、进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算4、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算二、课时安排2三、复习重难点1.理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是
2、否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线2.掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算四、教学过程（一）知识梳理1、圆的有关概念： 2、 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。3、垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。（2）弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。4、圆
3、心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。5、圆周角：（1）定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。（2）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（3）推论：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。直径所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径。如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。6、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角。圆内
4、接平行四边形是矩形，圆内接菱形是正方形。圆内接梯形是等腰梯形。定义、性质、推论及应用。求角度、用四点共圆解决问题（到某点等远的四点共圆对角互补的四边形四个顶点共圆线段所对的两个张角相等的四点共圆）另外：三角形的垂心恰好是它的垂足三角形的内心、三角形一个顶点到其垂心的距离是外心到对边中点距离的2 倍、三角形的外接圆；圆内接三角形。经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。注意：（）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆，任何一个圆有无数个内接三角形；（）锐角三角
5、形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径等于斜边的一半；钝角三角形的外心在三角形的外部。（二）与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系：若O 的半径为 r， 点 P 和圆心 O 的距离为 d. 则(1)点 P 在O 内 d r(2)点 P 在O 上 d r(3)点 P 在O 外 d r2、直线和圆的位置关系：设O 的圆心 O 到直线 l 的距离为 d，O 的半径为 rd r；和 圆直 线没 有 公 共 点和 圆） 直 线（ ll1d r；和 圆直 线有 唯 一 公 共 点和 圆） 直 线（ ll2d r。和 圆直 线有 两 个 公 共 点和 圆） 直 线（ lOl33、
6、圆的切线1定义：和圆有 的直线叫圆的切线。2判定：（1）到圆心的距离等于这个圆的 的直线是圆的切线；（2）经过半径 并且 这条半径的直线是圆的切线。证明直线和圆相切的方思路 公 共 点 已 知 作 半 径 ， 证 垂 直公 共 点 未 知 作 垂 直 ， 证 半 径3性质：（1）圆的切线 过 的半径。（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ；（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过 ；（4）圆的两条平行切线之间的距离等于 。（5）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ，圆心和这个点的连线平分 。 （切线长定理）结论：P 是O 外一点，PA、PB 分别切O 于 A、B，C 是弧 AB 上一点，D
7、E 切O 于C 交 PA、PB 于 D、E，则PDE 的周长为 。4、三角形的内切圆（1）定义：与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫三角形的 。 （ 2）三角形的内心是三角形 的交点，它到三角形 的距离相等，都等于该三角形 。 （3）若ABC 的三边分别为 AB=c，BC=a，AC=b，其内切圆O 分别切 BC、CA、AB 于 D、E、F。则 AF=AE= ，BD=BF= ，CD=CE= BOC 与A 的关系是 ，EDF 与A 的关系是 ABC 的面积 S 与内切圆半径 r 的关系是 。 （4）直角三角形的外接圆半径等于 ，内切圆半径等于 。5、圆外切四边形的性质（1）圆外切
8、四边形的两组对边 。 （2）圆外切平行四边形是 ，圆外切矩形是 ；圆外切等腰梯形的中位线等于 。 （3）已知圆外切等腰梯形的上底为a，下底为 b，则该圆的半径为 。6、弦切角（1）定义：顶点在 ，一边 ，另一边 的角叫弦切角。（2）定理：弦切角等于它所夹的弧 。（3）推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角 。7、圆和圆的位置关系：（1）0()()dRrrRrdR外 离相 离 内 含外 切圆 和 圆 的 位 置 关 系 相 切 内 切相 交（2）相切两圆的连心线过 ；相交两圆的连心线 公共弦。（3）常用的辅助线：两圆相交公共弦；两圆相切公切线。（三）正多边形和圆1、正多边形的概念：各
9、边 且各角也 的多边形是正多边形。2、正多边形和圆的关系（1）把一个圆 n 等份（n3）顺次连结各个分点所得 n 边形是这个圆的内接正 n 边形；经过各个分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的 n 边形，是这个圆的外切正 n 边形。（2）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆。3、正多边形的有关计算：定理：正 n 边形的 和 把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形。正 n边形内角 中心角边长 半径 边心距周长 面积3 a4 a6 a4、正多边形的作图。5、圆的周长、弧长公式： ； 。6、圆、扇形、弓形的面积公式： ； ； 。7、圆柱和圆锥的侧面展开图：（1）圆
10、柱的侧面展开图是 ，若圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，则圆柱的侧面积为 ，全面积（表面积）为： 。（2）圆锥的侧面展开图是 ，若圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则圆锥的侧面积为 ，全面积（表面积）为： 。（二）题型、方法归纳类型一、垂径定理 【主题训练 1】(广安中考)如图，已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C，若AB=8 cm，CD=3 cm，则圆 O 的半径为( ) A. cm B.5 cm C.4 cm D. cm 256196【自主解答】选 A.连接 OA.ODAB 且 OD 是半径AC= AB=4cm,OCA=90,Rt12OAC 中,设O 的半径为 R,则 O
11、A=OD=R,OC=R-3;由勾股定理,得:OA 2=AC2+OC2,即:R 2=16+(R-3)2,解得 R= cm,所以选 A.56归纳：垂径定理及推论的四个应用1.计算线段的长度:常利用半径、弦长的一半、圆心到弦的距离构造直角三角形,结合勾股定理进行计算.2.证明线段相等:根据垂径定理平分线段推导线段相等.3.证明等弧.4.证明垂直:根据垂径定理的推论证明线段垂直.类型二、 圆周角定理及其推论 【主题训练 2】(内江中考)如图,半圆 O 的直径 AB=10cm,弦 AC=6cm,AD 平分BAC,则AD 的长为( )A.4 cm B.3 cm C.5 cm D.4cm 55【自主解答】选
12、 A.连接 BC，BD，OD，则 OD,BC 交于 E.由于 AD 平分BAC，所以所以 ODBC，又半圆 O 的直径 AB10 cm，弦 AC6 cm，所以 BC8 cm，ACDB，所以 BE4 cm，又 OB5 cm，所以 OE3 cm，所以 ED532(cm)，在 RtBED 中，BD 又ADB90，所以 AD2E0cm ， 2ABD4cm. 归纳：圆周角的四种关系1.同圆或等圆中,等弧对的圆周角相等.2.同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半.3.直径对的圆周角为 90.4.圆内接四边形对角互补.类型三、 切线的性质和判定 【主题训练 3】(昭通中考)如图,已知 AB 是O
13、 的直径,点 C,D 在O 上,点 E 在O 外,EAC =B =60.(1)求ADC 的度数.(2)求证:AE 是O 的切线. 【自主解答】(1)B 与ADC 都是 所对的圆周角,且B =60,ADC=B =60.(2)AB 是O 的直径,ACB=90,又B =60,BAC=30,EAC =B =60,BAE =BAC+EAC=30+60=90,BAAE,AE 是O 的切线.归纳; 切线的性质与判定1.切线的判定的三种方法:(1)根据定义观察直线与圆公共点的个数.(2)由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.(3)应用切线的判定定理.应用判定定理时,要注意仔细审题,选择合适的证明思路:连半
14、径,证垂直;作垂直,证半径.2.切线的性质是求角的度数及垂直关系的重要依据,辅助线的作法一般是连接切点和圆心,构造垂直关系来证明或计算.切线长定理也为线段或角的相等提供了丰富的理论依据.类型四、 与圆有关的位置关系 【主题训练 4】(2013青岛中考)直线 l 与半径为 r 的O 相交,且点 O 到直线 l 的距离为 6,则 r 的取值范围是( )A.r6 D.r6 【自主解答】选 C.直线 l 与O 相交,圆心 O 到直线 l 的距离 dd=6,故选 C. 归纳：与圆有关的位置关系及判定方法1.位置关系:(1)点与圆的位置关系;(2)直线与圆的位置关系.2.判定方法:(1)利用到圆心的距离和
15、半径作比较;(2)利用交点的个数判断直线与圆的位置关系.类型五、与圆有关的计算 【主题训练 5】 （绵阳中考)如图,AB 是O 的直径,C 是半圆 O 上的一点,AC 平分DAB,ADCD,垂足为 D,AD 交O 于 E,连接 CE.(1)判断 CD 与O 的位置关系,并证明你的结论.(2)若 E 是 的中点,O 的半径为 1,求图中阴影部分的面积.AC【自主解答】(1)CD 与O 相切.理由为:AC 为DAB 的平分线,DAC=OAC.OA=OC,OAC=OCA,DAC=OCA,OCAD.ADCD,OCCD.CD 与O 相切.(2)连接 EB,由 AB 为直径，得到AEB=90.由(1)中
16、ADCD，OCCD,四边形 CDEF 是矩形，F 为 EB 的中点.EF=DC，DE=FC，OF 为ABE 的中位线.EF=DC=BF.又E 是 的中点， ABE=EAC=CAB=30.在 RtOBF 中，ABE=30.OF= OB= OC=FC,FB= =EF=DC.E 是 的中点，AE=EC.图中两个阴影部分的面积和等于DCE 的面积.S 阴影 =SDEC =1328归纳：与圆有关计算的四公式1.弧长公式 l= (n 为弧所对的圆心角的度数，R 为圆的半径).n1802.扇形的面积公式 S= (n 为扇形的圆心角的度数，R236l为圆的半径， l 为扇形的弧长).3.圆锥的侧面积 S=r
17、l(r 为圆锥的底面圆的半径， l 为圆锥的母线长).4.圆锥的全面积公式: S=r l+r 2(S 为圆锥的全面积,r 为圆锥的底面圆的半径, l 为圆锥的母线长).（三）典例精讲例题 1.(镇江中考)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 在 AB 的延长线上,PC 切半圆 O 于点 C,连接 AC.若CPA=20,则A= .【解析】如图,连接 OC.PC 切半圆 O 于点 C,PCOC 即PCO=90.CPA=20,POC=90-CPA=70.OA=OC,A=ACO.又POC=A+ACO.A= POC=35. 答案:35例题 2.(凉山中考)在同一平面直角坐标系中有 5 个点:A(1,1
18、),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出ABC 的外接圆P,并指出点 D 与P 的位置关系.(2)若直线 l 经过点 D(-2,-2), E(0,-3),判断直线 l 与P 的位置关系.【解析】(1)所画P 如图所示.由图可知,P 的半径为 .连接 PD,PD= 点 D 在P 上.215，(2)直线 l 与P 相切.理由如下:连接 PE.直线 l 过点 D(-2,-2),E(0,-3),PE 2=12+32=10,PD2=5,DE2=5.PE 2=PD2+DE2.PDE 是直角三角形,且PDE=90.PD l.直线 l 与P 相切.（四）归纳小结（五）
19、随堂检测1.(2013毕节中考)如图,在O 中,弦 AB 的长为 8,OCAB,垂足为 C,且 OC=3,则O的半径为( )A.5 B.10 C.8 D.6 2.(上海中考)在O 中,已知半径长为 3,弦 AB 长为 4,那么圆心 O 到 AB 的距离为 .3. 3.(衡阳中考)如图,在O 中,ABC=50,则AOC 等于( )A.50 B.80C.90 D.100 4.(郴州中考)如图,AB 是O 的直径,点 C 是圆上一点, BAC=70,则OCB= . 5.(梅州中考)如图,在ABC 中,AB=2,AC= ,以点 A 为圆心,1 为半径的圆与边 BC 相2切于点 D,则BAC 的度数是
20、.6.(常州中考)已知O 的半径是 6,点 O 到直线 l 的距离为 5,则直线 l 与O 的位置关系是( )A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断 7.(眉山中考)用一个圆心角为 120，半径为 6 cm 的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是( )A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 8.(牡丹江中考)一个圆锥的母线长是 9，底面圆的半径是 6，则这个圆锥的侧面积是( )A.81 B.27 C.54 D.18 【答案】1.【解析】选 A.连接 OA,由垂径定理可得 AC=4,OAC 是直角三角形,由勾股定理可得OA2=OC2+AC2=32+42=25,所以
21、OA=5.2. 【解析】过圆心 O 作 AB 的垂线交 AB 于点 D,由垂径定理,得 AD= AB=2,12在 RtAOD 中,运用勾股定理,得 OD= . 5答案: 53. 【解析】选 D.因为ABC=50,所以AOC=2ABC=100.4.【解析】因为 AB 是直径,所以ACB=90,又 OA=OC,所以A=ACO=70,所以OCB=90-ACO=90-70=20. 答案:205. 【解析】如图,连接 AD,则 ADBC;在 RtABD 中,AB=2,AD=1,B=30,因而BAD=60,同理,在 RtACD 中,CAD=45,所以BAC 的度数是 105.答案:1056.【解析】选 C.圆心到直线的距离 d=5,圆的半径 r=6,dr,则直线 l 与O 的位置关系是相交.7.【解析】选 B.设所围圆锥的底面半径为 r ，则 =2r，r=2 cm.120688.【解析】选 C.方法一：S 圆锥的侧面积 Rl 62954，12方法二：S 圆锥的侧面积 r l6954.五、板书设计六、作业布置单元检测试题七、教学反思
