1、19.1.4 矩形性质和判定的应用教学目标知识与技能：使学生进一步熟练掌握矩形的性质定理和判定方法过程与方法：能够灵活运用性质和判定解决实际问题情感态度与价值观：养成良好的逻辑思维习惯教学重难点重点：矩形性质的应用难点：探究性问题的证明教学方法：合作探究 讲练结合教学过程激活思维1请你画一个矩形，并画出它们的对角线观察图形，你能说出它有哪些性质吗?试一试2_叫做矩形3矩形的对边_；四个角都是_；对角线_。4_的平行四边形是矩形对角线_的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是_形一、矩形的性质回顾1矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的一切性质；（2）矩形对角线相等；（3）矩形的四个角都是直角；
2、 （4）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形对称轴有两条，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两对角线的交点2矩形性质的图形说明如图 2021，在矩形 ABCD 中，从边上看： ABCD，AB=CD；ADBC，AD=BC 从对角线上看： AC=BD 且OA=OB=OC=OD。 从角上看：ABCBCDCDADAB90推论：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半如：在 RtABC 中，O 是斜边 AC 的中点，则 AC=2OB二、矩形的判定如图 20221利用定义判别平行四边形 矩形 有 一 个 内 角 为 直 角2利用对角线判别对角线相等的平行四边形是矩形；对角线平分且相等的四边形是
3、矩形即：在平行四边形 ABCD 中，若 AC=BD，则平行四边形 ABCD 是矩形；在四边形 ABCD 中，若 AC=BD，且 OAOC 、OB=OD， 则四边形 ABCD 是矩形3利用角判别四个角是直角的四边形是矩形即：在四边形 ABCD 中，若A BC D90 ，则四边形 ABCD 是矩形实际证明中，只要证明出三个角为直角即可三、矩形的应用（1）用以证明线段相等或平分或倍数（2）直角三角形两锐角互余（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（4）直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半；（5）证明两条直线垂直四、探究活动如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合
4、，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”如图 20 一 23，矩形 ABEF 即为ABC 的“友好矩形” ，显然，当ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个问题：仿着上述叙述，画出直角三角形的“友好矩形” ，并比较这些矩形面积的大小分析：考察直角三角形的每一条边与矩形重合的情形，当以两条直角边为边作矩形时，这两个矩形重合，即为一个，所以直角三角形的“友好矩形”有两个探究：如图 20 一 23，若ABC 为直角三角形，且 C=90，在图 2023中画出ABC 的所有 “友好矩形 ”，此时共有 2 个矩形，如图 2024 中的BCAD、ABEF；易知
5、，矩形 BCAD、ABEF 的面积等于ABC 面积的 2 倍，ABC 的“友好矩形”的面积相等来源:gkstk.Com结论：直角三角形有两个“友好矩形” ，且这两个矩形的面积相等来源:gkstk.Com点石成金例 1如图 2025 所示，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE BD于 E，则：（1）若 AB=3 , AD=4 ,求 AE 的长。（2）图中与BAE 相等的角有_ ；（3）若AOB=60，则 AB：BD_。图中 DOC 是_三角形（按边分） （4）若 BD=15 , AE 垂直平分 OB , 求 AC、AB 的长。解析：这是一道直接考查矩形特征的例题，在解答时
6、，我们应充分考虑矩形的特征及与之相关的知识，第一问应用直角三角形的勾股定理和直角三角形面积的两种求法。例如在寻找与BAE 相等的角时，看清BAE 的形成，即为过 A 作 AEBD 所形成，则BAE+EAD=90 ，而ADB+EAD=90，故BAE=ADB又因为ADB=DBC= DAC，由此找与BAE 相等的角就不难了；至于在第（2）问求 AB：BD 的方法，可根据题目的特殊条件及图形的特殊性找到结论答案（1）2.4 ， （2）ADB，DBC，ACB，DAC （3）1：2 等边名师点金：找角时一定要找全，不能漏掉例 2如图 2026 所示，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，
7、已知 AC=6 om， BOC=120求：（1） ACB 的度数； （2）求 AB、BC 的长度分析：本题是对矩形性质的考查（1）要求ACB 的度数，而已知BOC120 ，BOC 中，由矩形的性质，知 OBOC ，从 而OBC=ACB 由此可求出 ACB （2）在 RtACB 中，对角线 AC=6cm，第（1）问已求出ACB=30，因此 AB 即可求出然后利用勾股定理求出 BC 的长解：（1）在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相平分且相等，于是 OB=OC，所以OBC ACB， 故 ACB （180一 120）3021（2）矩形 ABCD 中，ABC=90，又ACB=30 ，因此
8、 30角所对直角边 AB 等于斜边 AC 的一半，即 AB AC3cm，BC 3622ABC（cm）名师点金：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决例 3已知 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，ABO 是等边三角形，AB4 cm，求这个平行四边形的面积（图 20 一 27)分析：（1）先判定 ABCD 为矩形。 （2）求出 RtABC 的直角边 BC 的长。 （3）计算SAB BC解：四边形 ABCD 是平行四边形。ABODCO来源:学优高考网 gkstk又ABO 是等边三角形 DCO 也是等边三角形，即 AOBO CODO ACBD ABCD 为矩形。在 Rt
9、ABC 中，BAC 60，ABC90 来源:gkstk.ComBC AB，即 BC4 cm33S ABCDABAC16 cm2名师点金：本题首先判定平行四边形是矩形，再利用矩形的面积公式来计算例 4 (1)利用左栏的探究结论说明什么是三角形的“友好平行四边形” (2)若ABC为锐角三角形，且 BC ACAB，在图 20 一 28 中画出ABC 的所有“友好矩形” ，指出其中周长最小的矩形并加以证明. 分析：用类比联想的方法先构造出每一种情况下三角形的“友好矩形” ，根据矩形的边和面积与其三角形的边和面积之间的关系，寻找其周长与面积解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与
10、平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形” (2)此时共有 3 个“友好矩形 ”， 如图 2029 中矩形 BCDE，CAFG 及 ABHK，其中矩形 ABHK 的周长最小证明如下：来源:gkstk.Com易知，这三个矩形的面积相等，令其为 s设矩形 BCDE、CAFG 及 ABHK 的周长分别为 L1、L 2、 L3，ABC 的边长 BCa，CAb ，ABc，则 L1 2aaS2L2 2b，L 3 2c 。bScS )(2)(221 baSba2（ab） 2（ab）(1 )()Sa b ab S a-b0 1 1- 0SL 1L 20，即 L1L 2。同理可得 L2L 3L 3 的周长最小，即矩形 ABHK 的周长最小。名师点金：在阅读理解的基础上，先画出图形，确定好每一种情形，利于进一步求解。五、 课堂小结：学生谈收获六、作业 P124 第 1-4 题教学反思：
