1、第二章 数列极限P.27 习题2按 N定义证明：（1）1limn证明 因为 n1，所以 0，取 1N， n，必有n1. 故lin（2） 231lim2证明 因为 nnnn325)1(23)1(322 )1(n，于是 0，取,axN， N，有 . 所以 23lim2（3）!lin证明 因为 nnn121)(!0 ，于是 0，取1N， n，必有1. 所以0!lim（4）0silm证明 因为 nnsi，于是 0，取 N， n，必有n0si. 所以0il（5）)1(liman证明 因为 ，设 )(h，于是 22)1()1( hnnhann ，从而22)1()(0hnn ，所以 0，取12N，N，有2)
2、(an. 故limna3根据例 2，例 4 和例 5 的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1） nlim；（2）n3li；（3） 31limn（4） 3li；（ 5） n1；（6） 0li；（7） n21li解 （1）0li21n（用例 2 的结果，a） ，无穷小数列. （2） lim， （用例 5 的结果， 3a）（3）03n， （用例 2 的结果， ） ，无穷小数列. （4）1lilin， （用例 4 的结果， 31q） ，无穷小数列. （5）02limlinnn， （用例 4 的结果， 2） ，无穷小数列. （6） 10， （用例 5 的结果， 1a）. （7）li2linn,
3、（用例 5 的结果，） . 4证明：若 a，则对任一正整数 k ，有 aknlim证明 因为 nlim，所以 |,0,Nn，于是，当Nk时，必有 N，从而有 |akn，因此 kli. 5试用定义 1 证明：（1）数列 n不以 1 为极限；（2）数列 )1(n发散. 证明（用定义 1 证明） 数列 na不以 a 为极限（即 anlim）的定义是：0， N， 0， 0|0（1）取 2， ，取 N2，有 00 1)(1n，故数列 n1不以 1 为极限. 另证（用定义 1证明） 取 20，则数列 中满足 2的项（有无穷多个）显然都落在 1 的邻域 )3,1();0U之外，故数列 n1不以 1 为极限.
4、 （2）数列 (n=654,，对任何 Ra，取 0，则数列)(n中所有满足“ n 为偶数，且 an”的项（有无穷多个） ，都落在 a 的邻域)1,();(0aaU之外，故数列 )1(n不以任何数 a 为极限，即数列1n发散. 6证明定理 2.1，并应用它证明数列 n)(的极限是 1. 定理 2.1 数列 na收敛于 a 充要条件是： an为无穷小数列. （即anlim的充要条件是 0)(lim）证明 （必要性）设 n，由数列极限的定义， ,0,Nn，有 |0)(|nn ，所以 0)(lin. （充分性）设 lia，由数列极限的定义， ,，有 |)(|ann，所以 anli. 下面证明：数列 n
5、)1(的极限是 1. 因为 nn)1()1(是无穷小数列，所以数列n的极限是 1. 7证明：若 anlim，则 |lian. 当且仅当 a 为何值时反之也成立？证明 设 ，由数列极限的定义， ,0,Nn，|ann，所以也有 |lin. 但此结论反之不一定成立，例如数列 )1(. 当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设 0|limna，于是 ,0,n，|n，所以 anli. 8按 N定义证明：（1） )1(limn； （2）0321linn（3） 1lina，其中 为 奇 数为 偶 数nn2,证明 （1）因为 n1| . 于是 0，取 21N，Nn，必有n1|，从而 )(limn. （2）因为
6、 n122)323，于是 0，取1， n，必有nn1013，所以3lin（3）因为当 n 为偶数时， nan1|1| 当 n 为奇数时， nn 1| 222 ，故不管 n 为偶数还是奇数，都有 na1|. 于是 0，取 N， ，必有a1|，所以 limn. P.33 习题1求下列极限： 根据 P.24 例 2 01lian， ，可得 4134lim34li 23 nnn 0)1(li21li2nn根据 P.25 例 4 q， 1|，可得 3)2(3lim)2(li 11nnnn 21limli)li 2 nnnn这是因为由 P.29 例 1 若 anli，则 anli. 于是由1)(limn，
7、得1limnn. 0)2(linn，因为 1limn（ 0a） 2311li31322limnnnn2设 anli， bnli，且 a. 证明：存在正数 N，使得当 n时，有nba. 证明 由 ba，有ba2. 因为 2limban，由 P.24 保号性定理2.4，存在 01N，使得当 1Nn时有 2an. 又因为lin，所以，又存在 2，使得当 2时有b. 于是取 ,ax21N，当n时，有 nna. 3设 为无穷小数列， 为有界数列，证明： nba为无穷小数列. 证明 因为 nb为有界数列，所以存在 0M，使得 ,21,|. 由na为无穷小数列，知 ,0,Nn， n|. 从而当 Nn时，有M
8、bn|，所以 limba，即 nba为无穷小数列. 4求下列极限（1）1li 132li)1(321lim nnnn （2）因为 nn 2121841284，而)(11nn，于是 lim21n，从而2li2lim184 nn（3） 323lim2129725li132 nnnnn（4）当 时，1n，n，而1lilin，所以1limn. （5）因为)(,01)2()(0 2222 nnn，所以01)(1li22 n（6）因为112122222 nnnn，且limli n，所以 121li 22 nnn 5设 a与 b中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明 nba是发散数列. 又问 n和)0(n
9、是否必为发散数列. 证明 （用反证法证明）不妨设 na是收敛数列， n是发散数列. 假设数列nba收敛，则 nnba)(收敛，这与 nb是发散数列矛盾，所以，数列发散. 同理可得数列 发散. n和)0(n不一定是发散数列. 例如，若 na是无穷小数列， nb是有界的发散数列. 则 nba和)(n是无穷小数列，当然收敛. 但是，有下列结果：如果 0lima， nb是发散数列，则 n和)0(nab一定是发散数列 . 6证明以下数列发散：（1） 1)(n证明 设 1)(nan，则)(,12nan，而212nan，由 P.33，定理 2.8 知 发散. （2） )1(证明 的偶数项组成的数列 na2，
10、发散，所以 n)1(发散. （3） 4cosn证明 设an，则子列 )(,18nan，子列)(,148n ，故 4cos发散. 7判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：（1）若 2ka和 2k都收敛，则 na收敛. 解 结论不一定成立. 例如，设nna)1(，则 12ka， 2k都收敛，但nna)1(发散. 注 若 12k和 2ka都收敛，且极限相等（即 kk212limli） ，则 na收敛. （2）若 3， 13和 3k都收敛，且有相同的极限，则 n收敛. 证明 设 akk 312limlilim，则由数列极限的定义，知 0，01K， 1， |3；同样也有 02K，
11、 2k， |13k；3， ， ak. 取 ,x31N，当 N时，对任意的自然数 n ，若 ，则必有 1k，从而 |n；同样若 n，则必有 2k，从而也有 |n；若 n3，则必有 3，从而 |a. 所以 anlim，即 收敛.8求下列极限：（1） nk2143li解 因为 650 12)(12)(32731 nnn而02limnk，所以 041limk另解 因为 2534n，设 nSn243，1253nTn，则 nTS. 于是 1T，所以 12nS.（2） 答案见教材 P.312 提示.（3） 10,)(limk解 )1()(0 nn,01n所以， )(lik另解 因为 ，所以 1)(n，于是1
12、1)()( n，从而 ),00n. （4） 答案见教材 P.312 提示.9设 ma,21为 m 个正数，证明： ,axli 21mnnn 证明 因为 ,ax,x 2121 mnnn 而 1limn，所以 ,maxli 2121 mnnna 10设 a，证明：（1） nli； （2）若 0,n，则 lin.证明 （ 1）因为 1naa，所以 naa1. 由于nnalimli，且 lim，从而 nli.（2）因为 0，由 P.29 定理 2.4，存在 0N，使得当 Nn时，有an3. 于是 nnaa23，并且123limlina，所以1li.P.38 习题1利用ennlim求下列极限：（1）en
13、nn 11lim1li1li （2）enn 1lili1（3） nnnn 1lim1li 1（4）ennnn 22lili2li注：此题的求解用到事实（P.29 例 1）：若 a，且 ,21,0n，则anlim.（5）nn21li解 因为数列 n单调增加，且有上界 3，于是 )(,11122 nnnn，所以1lim2nn2试问下面的解题方法是否正确：求n2lim解 不正确. 因为极限n2li是否存在还不知道（事实上极限n2lim不存在） ，所以设anli是错误的 .3证明下列数列极限存在并求其值：（1）设 ,1,11nan证明 先证数列 的有界性，用数学归纳法证明：2 是 na的一个上界. 2
14、1a，假设 n，则 21nn，所以 有上界 2.其次证明 na单调增加. 0)(nnaaa，所以 n1，即 n单调增加. 从而 n极限存在，设 nlim，在21的两端取极限，得a2，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以 .注： n的单调增加也可以如下证明： 21nnnaa，所以1.还可以如下得到： 12142142 nnann（2）设 ,),0(11 acc证明 先证数列 n的有界性，用数学归纳法证明： na的一个上界是 1 + c . ca1，假设 a，则 cnn 221 ，所以 n有上界 1 + c.其次证明 n单调增加（用数学归纳法证明）. 21aa，假设n1，于是 n1，从而 n
15、ncc1，即 1n. 故 n单调增加. 所以 a极限存在，设 lim，在 21的两端取极限，得ac2，解之得 24. 由于 an 0 ，所以 a 0 . 故 2limna. （3）,1),0(!ncn证明 先证 n从某一项以后单调减少. 取自然数 N 使得 N c ，于是当 N时，nnnn acaa !)!1(1，即从第 N 项开始 na单调减少.由于 n的各项都大于零，所以 有下界 0. 从而 n极限存在. 设 lim，在 nnac1的两端取极限，得 a0，故 ，即 0limna.4利用 为递增数列的结论，证明 1为递增数列.证明 设nnna121，要证： ,32,1nan，即因为 为递增数
16、列，所以有1，即121nn，于是 nnnnn aa 1212111.其中用到事实： )(22.5应用柯西收敛准则，证明以下数列 na收敛：（1） nasi2si1证明 不妨设 m，则有 nmn 2si)i()i(| 21 nmnm 211isn2)si( 221 nmn2111m21所以， 0，取 N， Nn,，有 |mna，由柯西收敛准则， na收敛.（2） 22131an证明 不妨设 m，则有 222)()1(| nn )1( mnnmm1211 所以， 0，取 1N， Nmn,，有 |mna，由柯西收敛准则，na收敛.6证明：若单调数列 na含有一个收敛子列，则 n收敛.证明 不妨设 是
17、单调增加数列， kn是其收敛子列. 于是 kna有界，即存在0M，使得 ,21,kkn. 对单调增加数列 中的任一项 m必有akm，即 单调增加有上界，从而收敛 .7证明：若 0n，且1limlan，则 0lina证明 因为li1l，所以存在 r 使得1m1rln. 于是由数列极限的保号性定理（P.29） ，存在 0N，当 n时， a， 1na. 从而有Narara1321 ， 因此，)(,001rNn， 故0limn.8证明：若 n为递增有界数列，则 suplimnna；若 n为递减有界数列，则 iflina. 又问逆命题成立否？证明 证明过程参考教材 P.35，定理 2.9（单调有界定理）
18、.逆命题不一定成立. 例如数列 为 偶 数为 奇 数nan1， 1suplinna，但na不单调.9利用不等式 0),()(1 abbnn ，证明：1n为递减数列，并由此推出 n1为有界数列.证明 设1nna，由不等式 )()(1ababnn，有1nbb，于是 n1，n1.在上式中令 1,a， ，得nnn 11nnnn a1即 na1，故 1n为递减数列.而41n，所以 n1为有界数列.10证明：en3)1(证 由上题知 1为递减数列，于是对任何 nm有，11mn，令 ，取极限得， en1又因为nnn 131由、得 nne131，从而enn3)()(11给定两正数 a1 与 b1 ( a1 b
19、1 )，作出其等差中项 21ba与等比中项12ba，一般地令 2nn， ,1,n证明： nlim与 li皆存在且相等.证明 因为 1，所以有 nnnaba21，即 单调减少. 同样可得 nb单调增加. 于是有 1bnn ，即 n单调减少有下界， 单调增加有上界，故 ali与 blim皆存在. 在 nnba12的两端取极限，可得 nnli12设 为有界数列，记 ,sup1n， ,if1na证明： 对任何正整数 ， a； n为递减有界数列， n为递增有界数列，且对任何正整数 ， m有mna； 设 和 分别是 n和 n的极限，则 a； n收敛的充要条件是 a证 对任何正整数 ， nnnnn a ,i
20、f,sup11 因为 1211 ,sup,sup nnnn aaaa ， ,2，所以na为递减有界数列. 由 1211,if,if nnn ，知 n为递增有界数列. 对任何正整数 ， m，因为 n为递减有界数列， 为递增有界数列，所以有nmna. 因为对任何正整数 ， 有 mna，令 得， mnali，即a，令 得 mli，故 . 设 n收敛， an. 则 0， N， ， |n，. 于是有 an，从而 anli. 同理可得anlim，所以反之，设 . 由 nli， nlim，得 0，0N， ， 有 a及 a，从而nnP.40 总练习题1求下列数列的极限：（1）n3lim解 当 时，有 n，于是
21、 )(,3233 nnn，所以lin（2） ne5解 设 h1，则当 6时，62!)5()1!)1()( hnhnnnn ，于是(,0)5(4)3(210 655 en，所以0limne解法 2 用 P.39 习题 7 的结论. 设 nea，1)(li 5151an，从而0limli5nnae. 解法 3 用 P.27 习题 2的结果0)(limli515nnne解法 4 用单调有界定理. 令a，则51)(nean. 因为en1)(lim5，所以存在 0N，当 n时，en5)1(，从而当 Nn时，1a. 于是从 起数列 a递减，且有下界 0，因此 a收敛. 设 nli，在等式 nnea51)(
22、的两端取极限，得 e1，所以 .（3） 2(li解 )()2(lim)mnnnn 0121li 2证明：（1） )|(0liqn证明 当 时，结论成立.当 |0q时，有1|，令0,|h，于是有 nnhq)1(，而由牛顿二项式定理，当 3n时有3!)2()(nhn，从而 )0!1)1(3222 ，所以0lim2nq另解 用 P.27 习题 2的结果0)(sgn)|1(limli 22 nn qq（2）)1(,0lgin证明 因为 x，于是 )(,02ll01nn，所以0lgimn. （3）0!1limn证明 先证明不等式：n3!.用数学归纳法证明，当 1时，显然不等式成立；假设n3!成立，当 n
23、 + 1 时 nnnnn 1)1(3)(!)()!1(1133nnn故不等式n!成立. 由此可得)(,0!0nn，所以0!1limn另解 用数学归纳法证明不等式： 3设 anlim，证明：（1）an21（又问由此等式能否反过来推出 anli）证明 因为 nli，于是有 11,0,Nn， 2|. 从而当1Nn时，有 naaaan 2122 |1 2121 11 nANnA naanNNN 其中 | 11 aaaN 是一个定数. 再由0limAn，知存在02，使得当 2时，. 因此取 ,x21N，当 时，有221nAn.反过来不一定成立. 例如na)1(不收敛，但0lim21naan.练习：设 n
24、lim，证明：n2li(2) 若 ),21(0a，则 an1证明 先证算术平均值几何平均值调和平均值不等式： aaa nnn 212121算术平均值几何平均值不等式：nnn 2121对任何非负实数 1a， 2有)(21a，其中等号当且仅当 21a时成立. 由此推出，对 4 个非负实数 ， ， 3， 4有21432121432141321 )()()( aaaa 43211按此方法继续下去，可推出不等式 naaann21对一切 kn2（,210k）都成立，为证其对一切正整数 都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：若不等式对某个 )2(n成立，则它对 也成立. 设非负实数 11,a ，令)(1
25、12nnaa，则有 )()( 12221 aa nn 整理后得)(1) 12121 nn a，即不等式对 成立，从而对一切正整数 都成立.几何平均值调和平均值不等式nnaa 2121的证明，可令iixy1，再对 iy（ n,21）应用平均值不等式.由 ),(0na，知 0lima. 若 ，则 an1lim. 由上一小题的结论，有 )(,112122 naaann而anannn 1lilim2121 ，所以annli.若 0a，即 0li，则 11,0,N， n. 从而当 1Nn时，有 NnnNn aaa 11122121 nNAa112其中 12A ，是定数，故 limn，于是存在 02，使得
26、当2Nn时， n. 因此取 ,ax21，当 时，有1a，故 0linn4应用上题的结论证明下列各题：（1）0132limnn证明 令an，则limlinan，所以01321linn.（2） )0(1li证明 令 ， ,32,n，则 1lina，从而1lililim21nnn aa（3） 证明 令 1，,32,n，则 1limna，于是 lili1432lili 21 nnnn .（4）0!m证明 令,2,1na，则 0limna，所以 01li213li!li nn （5）e证明 令,32,11nna，则 eanlim，所以 ennnnn 1142 li53lim!li!lim另证 令,1,a
27、，则eann 11lili. 于是n nnnn 11231limlili!li .（6）321lim证明 因为 lin，所以1li3li nnn（7）若)0(1nba，则 abnlim证明 nnnnnn bbbbb 112311231 limlimlimli anli1（8）若 d)(li1，则dnli证明 设 0 aaana nn )()()(limli 11201 dannnnn )(lim010 5证明：若 na为递增数列， b为递减数列，且 b，则 nli与nbli都存在且相等.证明 因为 0)(limnn，所以 na有界，于是存在 0M，使得Man. 从而有 1bMa， an1，因此
28、n为递增有上界数列， nb为递减有下界数列，故 nlim与 bli都存在. 又因为0)(lililimnb，所以 nli.6设数列 a满足：存在正数 M，对一切 n 有aAnn | 12312证明：数列 n与 A都收敛.证明 数列 单调增加有界，故收敛. 由柯西收敛准则， 0,N，当Nm时， |nm. 于是 nmnmn Aaaaa | 1211所以由柯西收敛准则，知数列 n收敛.7设,0,1， n1, ,21，证明：数列 na收敛，且其极限为证明 因为 nnaa21，故数列 na有下界 . 12nna，于是 n1，即数列 n单调减少，从而数列n收敛. 设 Anlim，由nnaa21，得 21nna，两端取极限得，2A，解得 ，所以 lim.8设 01ba，记 21nnba， 12nba， ,32. 证明：数列 n与 的极限都存在且等于 .证 因为 112111 )(2 nnnnnnbannba11，所以 nab， ,32数列 是递减的：nn a21， ,1数列 na有下界：01ba， ,，所以 n收敛，设nlim.数列 nb是递增的：1112nnn baba， ,32数列 有上界： ， ,，所以 收敛，设 bnlim.令 在 21nna的两端取极限，得 b. 1nb与 1nb两端分别相乘，得 1nnba， ,32所以有 ， ,3，令 取极限得 1，从而
