1、第 3 课时 勾股定理的逆定理1能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)2灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题(难点)一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的 13 个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】 勾股数判断下列几组数中，一定是勾股数的是( )A1， ， B8，15，172 3C7，14，15 D. ，13545解析：选项 A 不是，因为 和 不是正整数；选项 B 是，因为 8215 217 2，且2 38、15、17 是正整数；选项 C 不是
2、，因为 7214 2152；选项 D 不是，因为 与 不是正整数故35 45选 B.方法总结：勾股数必须满足：三个数必须是正整数，例如：2.5、 6、6.5 满足a2b 2c 2，但是 2.5、6.5 不是正整数，所以它 们不是勾股数； 一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数【类型二】 判断三角形的形状已知 a， b，c 为ABC 的三边，且满足( a7) 2( b24) 2( c25) 20.试判断ABC 的形状解析：可先确定 a，b，c 的值，然后再 结合勾股定理的逆定理 进行判断解：由平方数的非负性，得 a70，b240，c250.a7，b24，c25.又a 27 249，b
3、 224 2576，c 225 2625，a 2b 2c 2.ABC 是直角三角形方法总结：此题主要依据“若几个非负数的和为 0，则这 几个非负数同时为 0”这一性质来确定 a，b，c 的值该知识 点在解题时会经常用到，应注意掌握变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2 题【类型三】 利用勾股定理逆定理解决与角有关的问题在如图的方格中，ABC 的顶点 A、B、C 都是方格线的交点，则三角形 ABC 的外角ACD 的度数等于( )A130 B135C140 D145解析：AB 21 22 25，BC 21 22 25， AC21 23 210，AC 2AB 2BC 2，ABC 是等腰直
4、角三角形，ACD 是ABC 的外角， ACDAB4590135.故选 B.方法总结：在网格图中求三角形的角度时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中 30所对的直角边是斜边的一半，45的直角三角形中两直角边相等变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 2 题【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题如图，在四边形 ABCD 中，B90，AB8，BC6，CD24，AD26，求四边形 ABCD 的面积解析：连接 AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可 证ABC 和ACD 为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面 积求出来，两者面积相加即为四边形AB
5、CD 的面 积解：连接 AC，B90，ABC 为直角三角形，AC 2AB 2 BC28 26 210 2，AC 10，在ACD 中，AC 2CD 2100576676 ，AD 226 2676，AC 2 CD2AD 2，ACD 为直角三角形，且ACD90，S 四边形 ABCDS ABC S ACD 68 1024144.12 12方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 6 题探究点二：勾股定理逆定理的实际应用如图，南北向 MN 为我国领海线，即 MN 以西为我国领海
6、，以东为公海，上午 9时 50 分，我国反走私 A 艇发现正东方有一走私艇以 13 海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在 MN 线上巡逻的我国反走私艇 B 密切注意反走私艇 A 和走私艇 C 的距离是 13 海里，A、B 两艇的距离是 5 海里；反走私艇 B 距离 C 艇 12 海里，若走私艇 C 的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海所以 现在的问题是得出走私艇的距离，根据题意，CE 即为走私艇所走的路程，可知，ABE 和EBC 均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出解：设
7、 MN 与 AC 相交于 E，则BEC 90，AB 2BC 2 5212 213 2 AC2，ABC 为直角三角形，且 ABC90，由于MNCE，所以走私艇 C 进入我国领海的最短距离是 CE，由 SABC ABBC ACBE，得 BE (海里) ，由 CE2BE 2BC 2，即 CE2( )212 2，12 12 6013 6013得 CE (海里)， 13 0.85(h) 51(min) ，9 时 50 分51 分10 时 41 分14413 14413 144169答：走私艇 C 最早在 10 时 41 分进入我国领海方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解 题的关键是从实际问题中整理出几何图形变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 4 题三、板书设计1勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2b 2c 2，那么这个三角形是直角三角形2利用勾股定理逆定理求角和线段的长3利用勾股定理逆定理解决实际问题学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高
