1、分解因式之十字相乘法我们知道 2356xx，反过来，就得到二次三项式256x的因式分解形式，即 23x，其中常数项 6分解成 2,3 两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即 6=23，且 2+3=5。一般地，由多项式乘法， 2xabxab，反过来，就得到 2xabxx这就是说，对于二次三项式 2pq，如果能够把常数项分解成两个因数 a、b 的积，并且 a+b 等于一次项的系数 p，那么它就可以分解因式，即 22xpqxaxb。运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式。例 1 把 23x分解因式。分析：这里，常数项 2 是正数，所以分解成的两个因数必是同号，
2、而 2=12=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于 3，只需取 1,2 即可。解：因为 2=12，并且 1+2=3，所以 212xx例 2 把 276x分解因式。分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而 6=16=(-1)(-6)=23=(-2)(-3)，要使它们的代数和等于-7，只需取-1，-6 即可。解：因为 6=(-1)(-6)，并且(-1)+(-6)=-7，所以27616 xx例 3 把 24分解因式。分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21 可以分解成-21=(-1)21=1(-21)=(-3)7=3(-7)，其中只需取 3 与-7，其和 3
3、+(-7)等于一次项的系数-4。2 417 3x解例 4 把 215x分解因式。解：因为-15=(-3)5，并且(-3)+5=2，所以2=35x通过例 14 可以看出，把 2xpq分解因式时：如果常数项 q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数 p 的符号相同。如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同。对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数 p。例 5 把下列各式分解因式：(1) 4268x (2) 243ab4222(1)68 =4 xx解 2()3 =1abab例 6 把 223xy分解因式
4、。分析：把 看成 x 的二次三项式，这时，常数项是 2y，一次项系数是-3y，把 2y分解成-y 与-2y 的积，(-y)+(-2y)=-3y,正好等于一次项的系数。 223 =xy解我们知道， 223510xx。反过来就得到2310x的因式分解的形式，即 3235xx。我们发现，二次项的系数 3 分解成 1,3 两个因数的积；常数项 10 分解成 2,5 两个因数的积；当我们把 1,3，2,5 写成1 23 5后发现 15+23 正好等于一次项的系数 11。由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式 2axbc进行因式分解。我们知道，12211212 axcaxc反过来，就得到 211212
5、axcaxc我们发现，二次项的系数分解成 12，常数项分解成 12c，并且把， 2a， ，排列如下：2a这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到+ 2a，如果它们正好等于2axbc的一次项系数，那么 2xbc就可以分解成12，其中，位于上图的上一行， 2，位于下一行。像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。例如在上面例子的二次三项式 2310x中，二次项的系数 3 可以分解成 1 与 3，或者-1 与-3 的积，常数项 10 可以分解成
6、1 与 10，或者-1 与-10，或者 2 与 5，或者-2 与-5 的积，其中只要选取十字1 23 5相乘就可以了。例 7 把下列各式分解因式：(1) 273x (2) 2675x (3) 2268xy:(1) 1x解2()675 3x22(3)58 54yxxy另外，我们也可以用十字相乘法把二次三项式 2xpq分解因式。例 14 的十字分别是：可以看出，这四个十字左边两个数都是 1。因此在把 2xpq分解因式时，不画十字也可以。练习把下列各式分解因式：(1) 2157x (2) 2384a (3) 2576x (4) 210y(5) 0ab (6) 210bay (7) 27x(8) 42
7、8x (9) 3mn (10) 53y1 -32 -12 13 -52 2y5 -4y1 11 21 -11 -61 31 -71 -31 5用配方法分解二次三项式对于某些二次三项式 2axbc，除了可以用十字相乘法分解因式以外，还可以用“配方法”来分解，其中要用到完全平方公式、平方差公式以及添项、拆项的技巧(这里运用完全平方公式“配”出一个完全平方，是配方法的关健；“添项、拆项”是指先添一个0，再把 0 拆成绝对值相同、符号相反两项，也就是先加上一个适当的项，再减去这个项，其目的也是为了配方)。例如，把261x分解因式，我们可以这样进行：222 631653382xxxx可以看出，这与十字相乘法分解的结果是一致的。又例如，把 23x分解因式，我们可以这样进行：(加上 23，再减去 23)(运用完全平方公式)(运用平方差公式)(化简)22222 31134415244312xxxxx 可以看出，这与十字相乘法分解的结果是一致。(先提取二次项系数)(加上214，再减去214)(运用完全平方公式)(运用平方差公式)(化简)
