1、 19.2.1 菱形的判定农安县合隆中学 徐亚惠一选择题（共 6 小题）1平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A（3，0） 、B（0，2） 、C （3，0） 、D（0，2） ，四边形ABCD 是（ ）A矩形 B菱形 C正方形 D梯形2如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 中点，连接 AF，BE，CE ，DF 分别交于点 M，N，四边形EMFN 是（ ）A正方形 B菱形 C矩形 D无法确定3下列说法正确的是（ ）A对角线相等的平行四边形是菱形B有一组邻边相等的平行四边形是菱形C对角线相互垂直的四边形是菱形D有一个角是直角的平行四边形是菱形4如图，在平行四边形
2、ABCD 中，添加下列条件不能判定平行四边形 ABCD 是菱形的是（ ）AAB=BC BAC BD CBD 平分ABC DAC=BD5下列说法中，正确的是（ ）A同位角相等 B对角线相等的四边形是 平行四边形C矩形的对角线一定互相垂直 D四条边相等的四边形是菱形6下列说法中，正确的是（ ）A同位角相等 B对角线相等的四边形是平行四边形C四条边相等的四边形是菱形 D矩形的对角线一定互相垂直二填空题（共 7 小题）7如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形 ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是 _ （写出一个即可） 8已知ABC
3、D，对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件，使ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是 _ 9如图，在ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点 E，F 分别在线段 AD 及其延长线上，且 DE=DF给出下列条件：BEEC； BFCE；AB=AC；从中选择一个条件使四边形 BECF 是菱形，你认为这个条件是 _ （只填写序号） 10如图在 RtABC 中， ACB=90，AC=4，BC=3，D 为斜边 AB 上一点，以 CD、CB 为边作平行四边形CDEB，当 AD= _ ，平行四边形 CDEB 为菱形11如图，在平行四边形 ABCD 中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件
4、可以是 _ 12如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、BC 、CA 上，且 DECA，DFBA下列四种说法：四边形 AEDF 是平行四边形；如果BAC=90 ，那么四边形 AEDF 是矩形；如果 AD 平分BAC，那么四边形 AEDF 是菱形；如果 ADBC 且 AB=AC，那么四边形 AEDF 是菱形其中，正确的有 _ （只填写序号） 13在四边形 ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，那么再加上条件 _ ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可） 三解答题（共 7 小题）14如图：在ABCD 中，AC 为其对角线，过点 D 作 AC 的平行线与 BC 的延长线交于 E
5、（1）求证：ABC DCE；（2）若 AC=BC，求证：四边形 ACED 为菱形15如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，BC=DC，AC、 BD 相交于点 O，点 E 在 AO 上，且 OE=OC（1）求证：1=2；（2）连结 BE、DE，判断四边形 BCDE 的形状，并说明理由16如图，在三角形纸片 ABC 中，AD 平分 BAC，将ABC 折叠，使点 A 与点 D 重合，展开后折痕分别交AB、AC 于点 E、F ，连接 DE、DF求证：四边形 AEDF 是菱形17如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AM BC，垂足为 M，AN DC， 垂足为 N，若BAD=BCD，AM=AN，求
6、证：四边形 ABCD 是菱形18 如图所示，已知：矩形 ABC D 中，O 是 AC 与 BD 的交点，过点 O 的直线 EF 与 AB、CD 的延长线分别交于点E、F（1）求证：BOEDOF；（2）当 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形 AECF 是菱形？并证明你的结论19.如图，在ABCD 中，EF 过 AC 的中点 O，与边 AD、BC 分别相交于点 E、F（1）试说明四边形 AECF 是平行四边形；（2）当 EF 过 AC 的中点，且与 AC 垂直时，试说明四边形 AECF 是菱形13如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，连结 AF，DF，BE，CE ，A
7、F 与 BE 交于 G，DF 与CE 交于 H求证：四边形 EGFH 为菱形19.2.1 菱形的判定参考答案与试题解析一选择题（共 6 小题）1平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A（3，0） 、B（0，2） 、C （3，0） 、D（0，2） ，四边形ABCD 是（ ）A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 梯形考点： 菱形的判定；坐标与图形性质分析： 在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形 ABCD，再根据图形特点进行判断解答： 解：图象如图所示：A（ 3， 0） 、B（0，2） 、C（ 3，0） 、D（0，2） ，OA=0C，OB=OD ，四 边形 ABCD 为平行四边形
8、，BDAC，四边形 ABCD 为菱形，故选：B点评： 本题考查了点的坐标的表示方法，及菱形的判定定理2如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 中点，连接 AF，BE，CE ，DF 分别交于点 M，N，四边形EMFN 是（ ）A 正方形 B菱形 C矩形 D 无法确定考点： 菱形的判定；矩形的性质分析： 求出四边形 ABFE 为平行四边形，四边形 BFDE 为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BEFD，即 GEFH，同理可证 EHGF，得出四边形 EGFH 为平行四边形，求出 GE=GF，根据菱形的判定得出即可解答： 解：四边形 ABCD 为矩形，ADBC，AD=BC，又 E，F
9、 分别为 AD，BC 中点，AEBF，AE=BF，EDCF，DE=CF，四边形 ABFE 为平行四边形，四边形 BFDE 为平行四边形，BEFD，即 GEFH，同理可证 EHGF，四边形 EGFH 为平行四边形，四边形 ABFE 为平行四边形， ABC 为直角，ABFE 为矩形，AF，BE 互相平分于 G 点，GE=GF，四边形 EGFH 为菱形故选 B点评： 本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强3下列说法正确的是（ ）A 对角线相等的平行四边形是菱形B 有一组邻边相等的平行四边形是菱形C 对角线相
10、互垂直的四边形是菱形D 有一个角是直角的平行四边形是菱形考点： 菱形的判定分析： 利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项解答： 解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故 A 选项错误；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故 B 选项正确；C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故 C 选项错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 D 选项错误，故选：B点评： 本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大4如图，在平行四边形 ABCD 中，添加下列条件不能判定平行四边形 ABCD 是菱形的是（ ）A AB=BC B ACBD C BD 平分ABC D
11、 AC=BD考点： 菱形的判定；平行四边形的性质分析： 根据菱形的判定定理，即可求得答案注意排除法的应用解答： 解：四边形 ABCD 是平行四边形，A、当 AB=BC 时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得ABCD 是菱形，故本选项正确；B、当 ACBD 时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得ABCD 是菱形，故本选项正确；C、当 BD 平分 ABC 时，易证得 AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得ABCD 是菱形，故本选项正确；由排除法可得 D 选项错误故选 D点评： 此题考查了菱形的判定熟记判定定理是解此题的关键5下列说法中，正确的是（ ）A 同位角相等
12、B 对 角线相等的四边形是平行四边形C 矩形的对角线一定互相垂直 D 四条边相等的四边形是菱形考点： 菱形的判 定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质分析： A、根据平行线的性质进行判断；B、由平行线的判定定理进行判断；C、由矩形的性质进行判断；D、由菱形的判定定理进行判断解答： 解：A、两直线平行时，同位角才相等故本选项错误；B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形例如：等腰梯形的对角线相等故本选项错误；C、矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线一定垂直故本选项错误；D、根据菱形的定义知，四条边相等的四边形是菱形故本选项正确；故选：D点评： 本题考查了菱形、平行四边形的
13、判定，矩形的性质等熟记四边形的性质和定义是解题的关键6下列说法中，正确的是（ ）A 同位角相等 B 对角线相等的四边形是平行四边形C 四条边相等的四边形是菱形 D 矩形的对角线一定互相垂直考点： 菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质分析： 根据平行线的性质判断 A 即可；根据平行四边形的判定判断 B 即可；根据菱形的判定判断 C 即可；根据矩形的性质判断 D 即可解答： 解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故 A 选项错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故 B 选项错误；C、四边相等的四边形是菱形，故 C 选项正确；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一
14、定垂直，故 D 选项错误；故选 C点评： 本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形的判定、矩形的性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力二填空题（共 7 小题）7如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形 ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是 AB=AD （写出一个即可） 考点： 菱形的判定专题： 开放型分析： 利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形解答： 解：OA=OC，OB=OD，四边形 ABCD 是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，添加的条件是 AB=AD（答案不唯一） ，故答案为：A
15、B=AD 点评： 本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键8已知ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件，使ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是 AD=DC 考点： 菱形的判定；平行四边形的性质专题： 开放型分析： 根据菱形的定义得出答案即可解答： 解：邻边相等的平行四边形是菱形，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，试添加一个条件：可以为： AD=DC；故答案为：AD=DC 点评： 此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键9如图，在ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点 E，F 分别在线段 A
16、D 及其延长线上，且 DE=DF给出下列条件：BEEC； BFCE；AB=AC；从中选择一个条件使四边形 BECF 是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号） 考点： 菱形的判定专题： 推理填空题分析： 首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可解答： 解：由题意得：BD=CD，ED=FD，四边形 EBFC 是平行四边形，BEEC，根据这个条件只能得出四边形 EBFC 是矩形，BFCE，根据 EBFC 是平行四边形已可以得出 BFCE，因此不能根据此条件得出菱形，AB=AC， ，ADBADC，BAD=CADAEBAEC（SAS） ，BE=C
17、E，四边形 BECF 是菱形故答案为：点评： 本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不是很大10如图在 RtABC 中， ACB=90，AC=4，BC=3，D 为斜边 AB 上一点，以 CD、CB 为边作平行四边形CDEB，当 AD= ，平行四边形 CDEB 为菱形考点： 菱形的判定分析： 首先根据勾股定理求得 AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后 RtBOC 中，根据勾股定理得，OB 的值，则 AD=AB2OB解答： 解：如图，连接 CE 交 AB 于点 ORtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=3 ，AB= =5（勾
18、股定理） 若平行四边形 CDEB 为菱形时， CEBD，且 OD=OB，CD=CB ABOC= ACBC，OC= 在 RtBOC 中，根据勾股定理得， OB= = = ，AD=AB2OB= 故答案是： 点评： 本题考查了菱形的判定与性质菱形的对角线互相垂直平分11如图，在平行四边形 ABCD 中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是 ACBD，AB=BC 考点： 菱形的判定；平行四边形的性质专题： 开放型分析： 在平行四边形 ABCD 的基础上，邻边相等或对角线互相垂直均可判定解答： 解：在平行四边形 ABCD 的基础上菱形 ABCD 是一组邻边相等的平行四边形，平行四边形 ABCD
19、 中，只需添一个条件：邻边 AB=AD 或 AD=CD；菱形 ABCD 的对角线互相垂直平分，平行四边形 ABCD 中，只需添一个条件： ACBD故答案是：ACBD ，AB=BC 等点评： 本题主要考查的是平行四边形和菱形的判定定理但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边形、菱形之间的关系12如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、BC 、CA 上，且 DECA，DFBA下列四种说法：四边形 AEDF 是平行四边形；如果BAC=90 ，那么四边形 AEDF 是矩形；如果 AD 平分BAC，那么四边形 AEDF 是菱形；如果 ADBC 且 AB=AC，那么四边形 AEDF 是菱形其中
20、，正确的有 （只填写序号） 考点： 菱形的 判定；平行四边形的判定；矩形的判定专题： 压轴题分析： 根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答解答： 解：DECA，DFBA，四边形 AEDF 是平行四边形；故正确；若 BAC=90，则平行四边形 AEDF 是矩形；故正确；若 AD 平分BAC，则 DE=DF；所以 平行四边形是菱形；故正确；若 ADBC，AB=AC；根据等腰三角形三线合一的性质知：DA 平分BAC ；由知：此时平行四边形 AEDF 是菱形；故 正确；所以正确的结论是点评： 此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平
21、行四边形是矩形；一组邻边相等的平行四边形是菱形13在四边形 ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，那么再加上条件 AB=AD ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可） 考点： 菱形的判定专题： 开放型分析： 根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可知四边形 ABCD 是平行四边形；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可补充条件 AB=AD此题属开放性题目，答案不唯一解答： 解：可添加的条件为 AB=AD，AB=CD，AD=BC，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=AD，四边形 ABCD 为菱形故答案为：AB=AD 点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：菱形定义
22、：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”） 三解答题（共 7 小题）14如图：在ABCD 中，AC 为其对角线，过点 D 作 AC 的平行线与 BC 的延长线交于 E（1）求证：ABC DCE；（2）若 AC=BC，求证：四边形 ACED 为菱形考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题： 证明题分析： （1）利用 AAS 判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形 ACED 为平行四边形，然后证得 AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可解答： 证明：（1）四边形 AB
23、CD 为平行四边形，ABCD，AB=CD ，B=1，又 DEAC2=E，在ABC 与DCE 中，ABCDCE；（2）平行四边形 ABCD 中，ADBC，即 ADCE，由 DEAC，ACED 为平行四边形，AC=BC，B=CAB，由 ABCD，CAB=ACD，又B=ADC，ADC=ACD，AC=AD，四边形 ACED 为菱形点评： 本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大15如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，BC=DC，AC、 BD 相交于点 O，点 E 在 AO 上，且 OE=OC（1）求证：1=2；（2）连结 BE、DE，判断四边形 BCDE 的形状，
24、并说明理由考点： 菱形的判定；线段垂直平分线的性质专题： 证明题分析： （1）证明ADCABC 后利用全等三角形的对应角相等证得结论；（2）首先判定四边形 BCDE 是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可解答： （1）证明：在ADC 和ABC 中，ADCABC（SSS） ，1=2；（2）四边形 BCDE 是菱形；证明：1=2，AC 垂直平分 BD，OE=OC，四边形 DEBC 是平行四边形，ACBD，四边形 DEBC 是菱形点评： 本题考查了菱形的判定及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大16如图，在三角形纸片 ABC 中，AD 平分 BAC
25、，将ABC 折叠，使点 A 与点 D 重合，展开后折痕分别交AB、AC 于点 E、F ，连接 DE、DF求证：四边形 AEDF 是菱形考点： 菱形的判定；翻折变换（折叠问题） 专题： 证明题分析： 由BAD=CAD，AO=AO ，AOE= AOF=90证AEOAFO，推出 EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据 EFAD 得出菱形 AEDF解答： 证明：AD 平分BACBAD=CAD又 EFAD，AOE=AOF=90在AEO 和AFO 中，AEOAFO（ASA ） ，EO=FO又 A 点与 D 点重合，AO=DO，EF、AD 相互平分，四边形 AEDF 是平行四边形又 EFAD，平行四边形
26、AEDF 为菱形点评： 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形17如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AM BC，垂足为 M，AN DC，垂足为 N，若BAD=BCD，AM=AN，求证：四边形 ABCD 是菱形考点： 菱形的判定专题： 证明题分析： 首先证明B=D ，可得四边形 ABCD 是平行四边形，然后再证明ABMADN 可得 AB=AD，再根据菱形的判定定理可得结论解答： 证明：ADBC，B+BAD=180， D+C=180，BAD=BCD，B=D，四边形 AB
27、CD 是平行四边形，AMBC，AN DC，AMB=AND=90，在ABM 和ADN 中，ABMADN（AAS ） ，AB=AD，四边形 ABCD 是菱形点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形18如图所示，已知：矩形 ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，过点 O 的直线 EF 与 AB、CD 的延长线分别交于点 E、F （1）求证：BOEDOF；（2）当 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形 AECF 是菱形？并证明你的结论考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质专题： 证明题分析： （1）由矩形的性质：OB=OD，AECF 证得BO
28、E DOF；（2）当 EFAC 时，四边形 AECF 是菱形根据已知条件可证明四边形 AECF 是平行四边形，当 EFAC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定解答： 证明：（1）四边形 ABCD 是矩形OB=OD（矩形的对角线互相平分）AECF（矩形的对边平行）E=F，OBE=ODFBOEDOF（AAS） ；（2）当 EFAC 时，四边形 AECF 是菱形证明：四边形 ABCD 是矩形OA=OC（矩形的对角线互相平分）又BOE DOFOE=OF四边形 AECF 是平行四边形（对角线互相平分的四 边形是平行四边形）EFAC，四边形 AECF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 点
29、评： 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理19如图，在ABCD 中，EF 过 AC 的中点 O，与边 AD、BC 分别相交于点 E、F（1）试说明四边形 AECF 是平行四边形；（2）当 EF 过 AC 的中点，且与 AC 垂直时，试说明四边形 AECF 是菱形考点： 菱形的判定；平行四边形的判定与性质专题： 证明题分析： （1）要说明四边形 AECF 是平行四边形，我们可以通过说明 AE=CF、AE CF 或AO=CO、EO=FO证AOE COF 可得；（2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来加以说明解答： 解
30、：（1）在平行四边形 ABCD 中，ADBC，EAC=FCA， AEF=CFE又 AO=OC，AOECOF，OE=OF四边形 AECF 是平行四边形；（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）四边形 AECF 是平行四边形， ACEF，四边形 AECF 是菱形 （对角线互相垂直的平行四边形是菱形）点评： 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义；四边相等；对角线互相垂直平分具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定20如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，连结 AF，DF，BE，CE ，AF 与 BE 交于 G，DF 与CE 交于 H求证：四边
31、形 EGFH 为菱形考点： 菱形的判定；矩形的性质专题： 证明题分析： 根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形 AECF、BEDF 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得 GF 与 EH、EG 与 FH 的关系，根据平行四边形的判定，可得 EGFH 的形状，根据三角形全等，可得 EG 与 FG 的关系，根据菱形的定义，可得证明结论解答： 证明：在矩形 ABCD 中 AD=BC，且 E、F 分别是 AD、BC 的中点，AE=DE=BF=CF又 ADBC，四边形 AECF、BEDF 是平 行四边形GFEH、EGFH四边形 EGFH 是平行四边形在AEG 和 FBG 中，AEGFBG（AAS）EG=GB，AG=GF，在ABE 和BAF 中 ，ABEBAF（SAS） ，AF=BE，EG=GB= BE，AG=GF= AF，EG=GF，四边形 EGFH 是菱形点评 ： 考查了菱形的判定，牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大
