1、2018 届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）上学期第三次月考数学（文）试题注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次月考试卷，分两卷。其中共 22 题，满分 150 分，考试时间为 120分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考 15 分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。预祝考生考试顺利第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分）本卷共 12 题，每题 5 分，共 6
2、0 分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。1.函数 f（x）=x 2+2x，集合 A=（x，y）|f（x）+f（y）2，B=（x，y）|f（x）f（y），则由AB 的元素构成的图形的面积是（ ）A B2 C3 D42.若复数 z 满足 =i，其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）A1i B1+i C1i D1+i3.等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S5=15，a 2+a5=2，则公差 d 等于（ ）A5 B4 C3 D24.已知实数 x，y 满足 ，若 z=2x2y1，则 z 的取值范围为（ ）A （ ，5） B （ ，0） C0，5D ，55.随机掷两枚质地均匀的骰子，它
3、们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1，点数之和大于 5 的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为 p3，则（ ）Ap 1p 2p 3 Bp 2p 1p 3 Cp 1p 3p 2 Dp 3p 1p 26.已知 a，b，cR，且满足 2a2 b2 c1，则（ ）Alog （ab ）log （ bc）log （ac）Blog （ab ）log （ ac）log （bc）Clog （bc ）log （ ac）log （ab）Dlog （ac ）log （ ab）log （bc）7.函数 y=1+x+ 的部分图象大致为（ ）A BC D8.将函数 f（x）= cos（x）图象上所有点的横坐标伸长
4、到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把图象上所有的点向右平移 1 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的单调区间是（ ）A4k+1，4k+3（kZ） B2k+1，2k+3（kZ）C2k+1，2k+2（kZ） D2k1，2k+2（kZ）9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数学九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，f（x） =anxn+an1xn1+a1x+a0 改写成如下形式 f（x）=（a nx+an1）x+a n2）x+a1）x+a 0至今仍是比较先进的算法，特别是在计算机程序应用上，比英国数学家取得的成就早 800多年如图所示的程序框图给出
5、了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为5，2，则输出 v 的值为（ ）A130 B120 C 110 D10010.已知矩形 tanA=3tanC，E、F 分别是 BC、AD 的中点，且 BC=2AB=2，现沿 EF 将平面 ABEF 折起，使平面ABEF平面 EFDC，则三棱锥 AFEC 的外接球的体积为（ ）A B C D11.已知 F1，F 2是两个定点，点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF1PF 2，e 1和 e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（ ）A + =4 B + =2Ce 12+e22=4 De 12+e22
6、=212.已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1，x 2，若 f（x 1）=x 1x 2，则关于 x 的方程 3（f（x） ）2+2af（x）+b=0 的不同实根个数为（ ）A3 B4 C5 D6第 II 卷 非选择题（共 90 分）二.填空题（每题 5 分，共 20 分）13.已知 ， 为单位向量，且夹角为 60，若 = +3 ， =2 ，则 在 方向上的投影为 14.抛物线 M：y 2=2px（p0）与椭圆 有相同的焦点 F，抛物线 M 与 椭圆 N 交于A，B，若 F，A，B 共线，则椭圆 N 的离心率等于 15.已知数列a n满足 a1=2，且 ，则a n的通
7、项公式为 16.若奇函数 f（x）在其定义域 R 上是减函数，且对任意的 xR，不等式 f（cos2x+sinx）+f（sinxa）0 恒成立，则 a 的最大值是 三.解答题（共 6 题，共 70 分）17.（本题满分 12 分）已知函数 f（x）=sin 2wxsin 2（wx ） （xR，w 为常数且 w1） ，函数 f（x）的图象关于直线x= 对称（I）求函数 f（x）的最小正周期；（）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=1，f（ A）= 求ABC 面积的最大值18.（本题满分 12 分）如图（1）在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD= ，AB=BC=
8、AD=a，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将ABE 沿 BE 折起到图（2）中A 1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE（）求证：CD平面 A1OC；（）当平面 A1BE平面 BCDE 时，若 a=2，求四棱锥 A1BCDE 的体积19.（本题满分 12 分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户为“A 组”，否则为“B 组”，调查结果如下：A 组 B 组 合计男性
9、 26 24 50女性 30 20 50合计 56 44 100（）根据以上数据，能否有 60%的把握认为“A 组”用户与“性别”有关？（）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 5 人中“A 组”和“B 组”的人数；（）从（）中抽取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装，求“这 3 人中既有 A 组又有 B组”的概率参考公式：K 2= ，其中 n=a+b+c+d 为样本容量参考数据：P（K 2k0）0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010K0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63
10、520.（本题满分 12 分）已知椭圆 W： （ab0）的左右两个焦点为 F1，F 2，且|F 1F2|=2，椭圆上一动点 P 满足1yax2|PF1|+|PF2|=2 3（）求椭圆 W 的标准方程及离心率；（）如图，过点 F1 作直线 l1 与椭圆 W 交于点 A，C，过点 F2 作直线 l2l 1，且 l2 与椭圆 W 交于点B，D，l 1 与 l2 交于点 E，试求四边形 ABCD 面积的最大值21.（本题满分 12 分）已知函数 f（x）=ax 2+bx+clnx（a，b，cR）（1）当 a=1，b=2，c=0 时，求曲线 y=f（x）在点（2，0）处的切线方程；（2）当 a=1，b=
11、0 时，求函数 f（x）的极值；（3）当 b=2a，c=1 时，是否存在实数 a，使得 0x2 时，函数 y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内（含边界）？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由选做题 请考生从 22、23 两题中任选一题作答，并将选择的题号填涂在答题卡上，共 10 分。22.（选修 4-4.坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 2= （1）求曲线 C 的普通方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于不同两点 A，B，求 tan 的取值
12、范围23.（选修 4-5.不等式选讲）设函数 f（x）=|x1|2|x+a|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（2）若不等式 f（x）0，在 x2，3上恒成立，求 a 的取值范围衡阳八中 2017 年下期高三实验班第三次月考文数参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A B A C B D A A B B A13.14. 115.an=n+116.-317.（I）f（x）= cos2x cos（2x ）= cos（2x ） cos2x= cos2x+ sin2x= sin（2x ） 令 2x = +k，解得 x= f（x）的对称轴为 x=
13、 ，令 = 解得 = w1，当 k=1 时，= f（x）= sin（ x ） f（x）的最小正周期 T= （6 分）（2）f（ ）= sin（A ）= ，sin（A ）= A= 由余弦定理得 cosA= = = b 2+c2=bc+12bc，bc1 （9 分）S ABC = = ABC 面积的最大值是 （12 分）18.（）在图（1）中，因为 ADBC，AB=BC= AD=a，E 是 AD 中点，BAD= ，所以 BEAC，且 CDBE，所以在图（2）中，BEA 1O，BEOC，（4 分）又 BE平面 A1OC，CDBE，所以 CD平面 A1OC （6 分）（）由题意，可知平面 A1BE平面
14、BCDE，且平面 A1BE平面 BCDE=BE，又由（1）可得 A1OBE，所以 A1O平面 BCDE，即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高，（8 分）由图（1）知，A 1O= AB= a， ，又 a=2，所以四棱锥 A1BCDE 的体积 V= = （12 分）19.（）由列联表可得 K2= 0.649350.708所以没有 60%的把握认为“A 组”用户与“性别”有关；（4 分）（）依题意可知，所抽取的 5 位女性中，A 组 3 人，B 组 2 人；（8 分）（）从（）中抽取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装，有 =10 种方法，这 3 人中既有 A 组又有 B
15、组的方法有 =9 种，“这 3 人中既有 A 组又有 B 组”的概率为 P=0.9（12 分）20.（）由题意可知：|F 1F2|=2c=2，c=1，2a=|PF 1|+|PF2|=2 ，a= ，b2=a2c 2=2，离心率 e= = ，椭圆的标准方程为： ；（4 分）（）当直线 l2l 1，当斜率不存在时，EF 1EF 2，此时求得丨 EO 丨= 丨 F1F2 丨=1，E 点轨迹为以原点为圆心，半径为 1 的圆，显然点 E 在椭圆 W 上内部，四边形 ABCD 面积 S=SABC +SADC = 丨 AC 丨 丨 BE 丨+ 丨 AC 丨丨 DE 丨= 丨 AC 丨 丨 BD 丨，将 x=1
16、 代入椭圆方程，求得 y= ，此时丨 BD 丨= ，丨 AC 丨=2 ，则四边形 ABCD 面积 S= 丨 AC 丨丨 BD 丨=4， （6 分）当直线 l2，l 1 都存在时，设直线 l1，x=my 1， （m0 ） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，整理得：（2m 2+3）y 24my4=0，则 y1+y2= ，y 1y2= ，则丨 AC 丨= = ， （8 分）同理直线 l1，x= x+1，同理求得丨 BD 丨= ， （9 分）四边形 ABCD 面积 S= 丨 AC 丨丨 BD 丨= ， = ，= =4 ， （10 分）=4（1 ）4，综上可知四边形 ABCD 面积的
17、最大值 4，此时直线 l2，l 1 一条为椭圆的长轴，一条与 x 轴垂直 （12 分）21.（1）当 a=1，b=2，c=0 时，f（x）=x 2+2，则 f（x）=2x+2，f（2）=2，所求的切线方程为 y=2（x2），即 2x+y4=0；（3 分）（2）f（x）=x 2+clnx，x0，f（x）=2x+ = ，c0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，无极值，c0 时，令 f（x）=0，得 x2= ，解得：x= ，0x 时，f（x）0，x 时，f（x）0，x= 时，f（x）取得极小值 f（ ）= ln（ ） ，f（x）无极大值；（6 分）（3）f（x）=ax 22ax+lnx，由题
18、意得 0x2 时，f（x）x1，即 ax2（2a+1）x+1+lnx0，设 g（x）=ax 2（2a+1）x+1+lnx，则问题等价于 x（0，2时，g（x） max0，g（x）=2ax（2a+1）+ = ，a0 时，g（1）=0，0xx1 时，g（x）0，x1 时，g（x）0，g（x）max=g（1）=a0，a0，故 a=0 满足题意；a0 时，g（x）= ，=1 即 a= 时，g（x）0，g（x）在（0，+）递增，x（0，2时，g（x） max=g（2）=1+ln20，满足题意；1 即 0a 时，g（x）在（0，1）和（ ，+）递增，在（1， ）递减，g（1）=a0，g（2）=1+ln20
19、，x（0，2时，g（x） max0；0 1 即 a 时，g（x）在（0， ）和（1，+）递增，在（ ，1）递减，来源:Z.X.X.Kg（ ）= +ln 0，g（2）=1+ln20，x（0，2时，g（x）max0，满足题意；综上，存在实数 a 满足题意，a 的范围是0，+）（12 分）22.（1）曲线 C 的极坐标方程为 2= 24= 2（7cos 2+sin 2） ， 2=x2+y2，cos=x，sin=y，曲线 C 的普通方程为 24=7（x 2+y2）x 2+y2，即 =1（2）直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，将直线 l 的参数方程消去参数 t，化为普通方程得 y=kx+2（其中 k=tan） ，代入 C 的普通方程并整理得（4k 2+3）x 2+16kx+4=0，故=16 2k216（4k 2+3）0，解得 k 或 k ，tan 的取值范围是（， ）（ ，+） 23.（1）a=1，f（x）1|x1|2|x+1|1，解集为（2）f（x）0 在 x2，3上恒成立|x1|2|x+a| 0 在 x2，3上恒成立13x2ax1 在 x2，3上恒成立，a 的范围为
