1、2018 届福建省泉州市高三 1 月单科质量检查 数学（理）理科数学试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 210Ax， 210Bx，则 AB（A） （ B） （C） 12x （D） 12x【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算 【试题简析】因为 1|2Ax， |1Bx，所以 1|2ABx，故选 D.【错选原因】错选 A：误求成 ；错选 B：集合 解错，解成 1或x；错选 C：集合 解错，解成 |2A.【变式题源】 （2015 全国卷 I理 1）已
2、知集合 x， 3xB，则（A） |0Bx （B） R （C） |1ABx （D）（2）已知 z为复数 的共轭复数， 1i2z，则 z（A） 1i（B） 1i（C ） 1i（D） i【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算【试题简析】因为 2(1)iizi，所以 1zi，故选（A）.【错选原因】错选 B：求出 i，忘了求 ；错选 C：错解 1z；错选 D：错解 i.【变式题源】 （2015 全国卷文 3）已知复数 z 满足( z-1)i=1+i，则 z=A-2-i B-2+i C2-i D2+i（3）设等差数列 na的前 项和为
3、 nS.若 21a， 549S，则 50a（A） 9 （B） 10 （C） 0 （D） 4592【命题意图】本小题主要考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算【试题简析】依题意得， 21da， 549S，所以 5049ad，故选 C.【错选原因】错选 A： nS的公式记忆错误，导致计算错误；错选 B： 的公式记忆错误，导致计算错误；错选 D：误认为 54a.【变式题源】 （2017 全国卷理 4）记 nS为等差数列 na的前 项和若 452a， 648S，则na的公差为A1 B2 C4 D8（4）已知点 (2,)在双曲线2:1(0,)xyEab的渐近线上，则
4、E的离心率等于（A） 3 （B） 52（C） 5 （D） 52或【命题意图】本小题主要考查双曲线的渐近线、离心率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算【试题简析】由题意得，点 (2,1)在直线 byxa上，则 12，所以25abe，故选 B.【错选原因】错选 A：误认为 2c导致错误；错选 C：误认为双曲线的焦点在 y轴上.错选 D：未判断双曲线的焦点位置 .【变式题源】 （2013 全国卷理 4）已知双曲线 C：2=1xab(a0，b0)的离心率为 52，则 C 的渐近线方程为y xO（A）y 14x （B ）y 13x （C ）y 12x （D） y
5、x（5）已知实数 ,满足 ,0,2xy则 z的最大值为（A） -1 （B） 13 （C ） 1 （D）3【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为 54(1,0)2,()3，把三个点分别代入 zxy检验得：当,xy时， z取得最大值 1，故选 D.【错选原因】错选 A：误把 z的最大值当成 zxy的最大值；错选 B：误把 的最小值当成 的最大值；错选 C：误把 的最小值当成 的最大值.【变式题源】 （2017 全国卷理
6、14）设 x，y 满足约束条件21,0,xy则 32zxy的最小值为 （6）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （A） 163（B） 12（C） 173 （D） 356【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个 14圆锥，然后挖掉一个相同的 14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此 326Vr，故选 A.【错选原因】错选 B：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个
7、 14圆锥，且未挖掉一个相同的 14圆锥.错选 C：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个 2圆锥，且未挖掉一个相同的 圆锥.错选 D：圆锥的公式记忆错误 .【变式题源】 （2016 全国卷理 6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是 38，则它的表面积是（A） 17 （B） 18 （C） 20 （D） 2（7） 九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“ 今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d的值为 33，则输出的 i的值为（A）4 （B）
8、5 （C）6 （D）7开始 d输 入0,1,iSxy否Sxy是2i输 出 d结束1i【命题意图】本小题主要考查程序框图，数列求和等基础知识；考查学生的运算求解能力及数据处理能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学抽象和数学运算等.【试题简析】解法一： 0,1,iSxy开始执行，然后 11,2iSxy5,(12486)()3224863iS xy，再执行一行，然后输出6解法二：本题要解决的问题是数列求和的问题， 112,2(2)naa123naa，解得 的最小值为 6.【错选原因】错选 A：可能把 2x误当成 2x来算；错选 B：当执行到 5i时， 13486S，学生估值失误，误以为会
9、达到 33 或按四舍五入得到.错选 D：可能先执行了 i后才输出.【变式题源】 （2015 年全国卷理 8）右边程序框图的算法思路源于我 国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a，b 分别为 14，18，则输出的 a =（A）0 （B）2 （C）4 （D ）14 （8）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A） sinfx（B） ln1lfxx（C） e2xf（D ） exf【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.【试题简析】A 选项：
10、 ()cos10fx，不符合图象上升这个条件；B 选项：定义域不关于原点对称；C 选项函数图象先减后增，在 时函数取得最小值；故选 D【错选原因】错选 A：符合图象关于原点对称这个条件；错选 B：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选 C：有的学生可能根据函数过 (0,)而错选此项.【变式题源】 （2011 年全国卷理 2）下列函数中，既是偶函数又在 +（ 0， ） 单调递增的函数是（ ）（A） 3yx （B ） |1yx （C） 21yx （D） |2xy （9）已知 1.50a， 6logb， 5log6c，则（A） c （B） a （C） bc （
11、D） acb【命题意图】本小题主要考查指对数函数等基础知识；考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学运算和数据分析.【试题简析】 1.51.5655log1llog620【错选原因】错选 B：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选 D：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选 C：指数的运算不过关导致.【变式题源】 （2013 年全国卷理 8）设 3log6a， 5l10b， 7log14c，则（A） cba（B） bc（C） a（D） abc（10）已知 1(,2)P是函数 ()sin()0fxAx图象的一个最高点, ,BC是与 P相邻的两个最
12、低点若 7cos5BC，则 的图象对称中心可以是（A） 0, （B） 1,0 （C） 2, （D） 3,0【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.【试题简析】如图，取 BC的中点 D，连结 P，则 4D，设 Bx，则 216PCx，由余弦定理可得， 2222()16)(16)(16)cosxxx，解得 3，57(,),2B， ,P的中点都是 f图象的对称中心.故选 .DBCP【错选原因】错选 A：平时缺乏训练，只记得正
13、弦函数的对称中心是 (0,)错选 B：误把最高点的 2 当成了周期；错选 D：这类同学可以求出函数的周期是 6，但没注意到函数并未过原点.【变式题源】 （2015 年全国卷 I理 8）函数 ()fx= cos)的部分图象如图所示，则 ()fx的单调递减区间为（A） 13(,),4kkZ （B） 13(2,),4kkZ （C） 13(,),4kkZ （D ） 13(2,),4kkZ（11）已知直线 l： 0mxy，圆 C： 24xay.若对任意 1,)a，存在 l被 C截得弦长为 2，则实数 的取值范围是（A） 3,0)(, （B） 3(,)（C） ,)(, （D ） (,)【命题意图】本小题主
14、要考查直线与圆、点到直线的距离、解三角形等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、必然与或然思想；考查数学抽象、数学建模、数学运算与数据分析等.【试题简析】解法一：由题意可得，圆心 C到 l的距离 2()3d，即 231am，所以 223(1)ma，又因为 1a，所以 203m， 0或 .解法二：由题意可得，圆心 C到 l的距离 2()d，又 l： 0xy恒过定点 1,0A， a，所以 2AC，另设直线 l的倾斜角为 ，所以 3sin(,，所以 l的斜率 ta,0)(,m.【错选原因】错选 A：在计算 223(1)a时，分子误当成 1
15、来计算；错选 B：分离变量时，误把 22()3m写成22()3am；错选 D：把最后的 23m计算成 23【变式题源】 （2016 年全国卷理 4）圆 810xy的圆心到直线 10axy的距离为 1，则a =（A） 43（B） 3（C） 3（D）2（12）已知函数 22,0e,xaf恰有两个零点，则实数 a的取值范围是（A） 0,1 （B） , （C ） 1e, （D） 20,1e,【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查数学抽象、数学
16、运算和数据分析等.【试题简析】解法一：当 0x时， 2()1e0fx，故 x不是函数 ()fx的零点.当 (,)x时， f等价于xa，令2e()(0)xg，则2e()xg，当 时， ，当 2x时， 0，当 x时， ()0gx； 所以 2()e,)gx，当 01a时， (fx在 ,0)有两个零点，故 ()fx在 ,)没有零点，从而 2ea，所以；当 或 时， ()f在 ,)有一个零点，故 ()f在 0,)有一个零点，此时不合题意；当 1a时， ()fx在 ,0)有没有零点，故 ()fx在 ,)有两个零点，从而 2ea.综上可得 0或 2ea.故选 D.解法二：当 ,)x时， 2()exf， ()
17、exfa，当 1时， 在 ,0)有两个零点，又当 0,)x时， 2max()ln1)e0f，故 ()fx在 0,)没有零点，所以 01a；当 a或 1时， ()f在 ,)有一个零点，又当 0,)x时， e0xa， ()fx在 ,)上单调递减，故 2(f ，不合题意；当 1a时， ()fx在 ,)有没有零点，此时 ()fx在 0,)上必有两个零点.当 0,x时，当 lna时， (0fx，当 lna时， (fx，当 lna时，()f，所以 2max()lef，要使 )在 ,)上必有两个零点，只需满足 2axll.令 2()lnegtt，则 ()ngt，当 1t时， ()0gx，故 ()gt单调递增
18、.又 2(e)0g，故 0即 2ea，解得 2ea.综上可得 01a或 2e.故选 D.【错选原因】错选 A：只会做二次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点.错选 B：用特殊值 0或 1代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到；错选 C：可能根本没去做，综合了 A 和 B，于是选 C.【变式题源】 （2013 年全国卷 I理 11）已知函数 f(x)20ln1).x， ，若|f (x)|ax，则 a 的取值范围是( )（A）( ，0 （B ）(，1 （C ） 2,1 （D）2,0二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）在平面直角坐标系 xOy中，角 的顶点在原点，始边
19、与 x轴的非负半轴重合，终边过点 13(,)2，则 cos()3_.答案： 12【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、三角恒等变等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等【试题简析】解法一：由已知可得 13cos,in2，所以 131cos()i3322.解法二：由已知可得 2,Zk，所以 cos()cs()k.【变式题源】 （2015 全国卷理 5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则 cos2=（A） 45 （B） 35 （C） 35
20、（D） 45（14）已知向量 ,ab的夹角为 4， 2a， b，则 _答案：1【命题意图】本小题主要考查向量的表示及运算等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等【试题简析】因为 cos4abb，所以 2 225aab+b，解得 1b.【变式题源】 （2017 全国卷理 13）已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|=2， | b |=1，则| a +2 b |= （15）设 O为坐标原点，点 ,AB在直线 (0)yxm上.若 OAB是斜边长为 2 的等腰直角三角形，则实数 m_.答案：2 或【命题意图】
21、本小题主要考查直线方程等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等【试题简析】若 AB为直角三角形的斜边，则点 O到直线 l距离等于 2，由点线距离公式，得 2m，解得 2m；若 O或 为直角三角形的斜边，则点 到直线 l距离等于 2，由点线距离公式，得，解得 ，故答案为 2 或 .【变式题源】 （2016 全国卷理 4）圆 8130xy的圆心到直线 10axy的距离为 1，则 a =A 43B 34C 3D2（16）如图，一张 A4 纸的长宽之比为 2， ,EF分别为 A, B的中点现分别将 ABE,CD
22、F沿BE, DF折起，且 A, C在平面 BD同侧，下列命题正确的是_ （写出所有正确命题的序号）HGFEDCBA A, , , 四点共面；当平面 E平面 D时， A平面 BFDE；当 , C重合于点 P时，平面 平面 P；当 A, 重合于点 时，设平面 平面 =l，则 A平面 BFDE答案：【命题意图】本小题主要考查空间点、线、面之间的位置关系等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力、创新意识等；考查化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象等【试题简析】在 ABE中， 2tan ，在 ACD中， 2tanA ，所以ABEDC，所以 ，同理 F，则折叠
23、后， BE平面 GH， DF平面HG，又 F , 平面 AGH与平面 有公共点，则平面 与平面 C重合，即四点共面；由可知，平面 BE平面 C，平面 D平面 A，当平面/平面CD时，得到 A/ C，显然 = ，所以四边形 C 是平行四边形，所以 A GH；设 1P ，则 2P，所以 PE，则 BF，又 PE，BF，所以 E平面 BF，则平面 平面 BF；由 ， 平面 ， D平面 ，所以 D平面 ，平面 D平面PBEl，则 DF， l平面 BEDF， l平面 BEDF.【变式题源】 （2017 全国卷理 16）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为 O
24、.D、E、F 为圆 O 上的点， DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA ，AB 为折痕折起 DBC，ECA，FAB ，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3）的最大值为_.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 10 分）已知抛物线 2:(0)Cypx的焦点为 F，点 (,)04pAa在 C上， 3AF.（）求 的方程；（）若直线 AF与 交于另一点 B，求 的值.【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系等基
25、础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查直观想象、数学运算等【试题简析】解法一：（）由抛物线的定义，得 342pAF，.2 分解得 4p， .3 分所以 C的方程为 28yx. 4 分（）由（） ，得 (1,)Aa，因为 (1,)0a在 C上，所以 28a，解得 2a或 2（舍去） ， .5 分故直线 F的方程为 ()yx， .6 分由 2(),8,yx消去 ，得 540， .7 分解得 1x， 24， .8 分由抛物线的定义，得 26BF， 9 分所以 2A. 10 分解法二：（）由题意，可得22,()9,4ap2 分解得4,2pa.
26、3 分所以 C的方程为 8yx. 4 分（）由（） ，得 (1,2)A，故直线 AF的方程为 2()yx， 6 分由 28,yx消去 y，得 2540x， 7 分由韦达定理，得 124，又 1，所以 2， 8 分故 2()9ABx，从而 6BFA， 9 分所以 2F.10 分【变式题源】 （2015 全国卷文 10）已知抛物线 C：y 2=x 的焦点为 F，A( x0,y0)是 C 上一点，| AF|= 054x，则 x0=A1 B2 C4 D8（18） （本小题满分 12 分）数列 na是公差大于 0 的等差数列，数列 nb是公比为 2 的等比数列， 1a， 1b是 与 2a的等差中项， 2
27、b是 1 与 5的等比中项.（）求数列 n与 b的通项公式；（）求数列 a的前 项和.【命题意图】本题主要考察数等差、等比数列的定义及通项公式及求和公式的应用，可以通过方程组解决问题. 强化基本公式的掌握，熟悉数列中的基本量关系; 考查运算求解能力、数据处理能力以及应用意识. 【试题简析】解：（）由已知 1225, 1ba， .2 分即 12,4bd解得 1,2或1,3,d（舍去） ， 4 分所以 1nan1， 5 分bq12n. 6 分（）由（） ，得 2nnb，设数列 a的前 项和为 nS，则1212nnSb ，35482n ， 7 分212n， 11 分（一个公式正确给 2 分）1n.
28、.12 分【变式题源】 （2011 全国卷理 17）等比数列 na的各项均为正数，且 21362,9.aa（)求数列 na的通项公式；（）设 31323logl.log,n nbaa求数列 nb的前 n 项和（19） （本小题满分 12 分）ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc.已知 sinisinbAcCbB（）求 ；（）若 的周长为 6，求 ABC的面积的最大值【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等【试题简析】解：（）由正弦定理结合已知条件可得 2abc， 2
29、 分所以 22abca， 3 分所以21osbC， 5 分又 0，所以 3 6 分（）由（）可得 22abca，所以 2223cabab， .7 分又 6abc，所以 ， 6， 所以 14， .8 分又 2，所以 2ab， 9 分60，所以 04ab或 3（不合，舍去） ， .10 分所以 1sin2ABCSab， .11 分当且仅当 ab时等号成立，所以 的面积的最大值为 3 .12 分【变式题源】 （2016 全国卷理 17） ABC的内角 ,的对边分别为 cba,，已知cbBaC)osc(os2（）求 ；（）若 7， 的面积为 23，求 ABC的周长（20） （本小题满分 12 分） 如
30、图，在四棱锥 PABCD中，平面 PA平面 BD， 12AB， PD，90APD（）求证： AP平面 BD；（）求平面 与平面 C所成角的余弦值DCBAP【命题意图】本小题主要考查直线与平面垂直的判定，面面垂直的性质，二面角余弦值的求解等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等【试题简析】解法一：（）在底面 ABCD中 ， 90BCD， 12CAB，所以 2BD， 2，所以 224， 所以 ， .1 分又平面 PA平面 C，平面 PAD平面 BCAD， 平面 ABCD，所以 B平面 ， 2 分又 平面 D，所以
31、 B， .3 分又 90即 ，又 P， 4 分所以 A平面 . .5 分（）分别延长 D和 BC相交于一点 Q，连结 P，则直线 Q即为所求直线 l， 6 分在平面 P内过 作 EA（如图） ，又平面 A平面 ，平面 平面 ABCD， E平面 PAD，所以 E平面 B，又 ，所以 ,D两两互相垂直.以 为原点，向量 ,的方向分别为 x轴、 y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系 Dxyz（如图） ，另设 2A， .7 分则 0,， ,20B， (1,)C， (,01)P，yz Qx DCBAP所以 1,2BP， (1,0)BC， 8 分设 xyzn是平面 的法向量，则 0,B即 ,0yzx9
32、分令 1x，得 (,13)n. 10 分显然 02D是平面 PAD的一个法向量. .11 分设二面角 AlB的大小为 （ 为锐角）.所以 1cos29，所以二面角 AlB的的余弦值为 1. .12 分解法二：（）同解法一； 5 分（）分别延长 D和 C相交于一点 Q，连结 P，则直线 Q即为所求直线 l， 6 分分别取 ,AB中点 O和 E， 连结 ， OE，所以 /E，又 A，所以 AD，又因为 P， 为 的中点，所以 P， 又平面 AD平面 BC，平面 平面 BC， PO平面 AD，所以 O平面 ，所以 ,PE两两互相垂直.以 O为原点，向量 ,AE的方向分别为 x轴、 y轴、 z轴的正方
33、向建立空间直角坐标系 xyz（如图） ，另设 1， 7 分则 1,0D， 1,20B， (,1)C， (0,)P，QEzyOx DCBAP所以 1,2BP， (1,0)BC， 8 分设 xyzn是平面 的法向量，则 0,B即 ,0yzx， 9 分令 1x，得 (,13)n. 10 分显然 02D是平面 PAD的一个法向量. .11 分设二面角 AlB的大小为 （ 为锐角）.所以 1cos29，所以二面角 AlB的余弦值为 1. .12 分【变式题源】 （2017 全国卷理 19）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD， 12BCD， o90AC， E 是
34、 PD 的中点.（）证明：直线 /E 平面 PAB；（）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 o45 ，求二面角 M-AB-D 的余弦值（21） （本小题满分 12 分）已知椭圆2:1(0)xyEab的离心率为 2，上顶点为 B. 点 P在 E上，点 (0,2)b，PBD的最大面积等于 32.（）求 E的方程；（）若直线 P与 交于另一点 Q，直线 ,BP分别与 x轴交于点 ,MN，试判断 ON是否为定值.已知椭圆2:1(0)xyEab的上顶点为 B，点 (0,2)Db， P是 E上且不在 y轴上的点，直线 DP与 交于另一点 Q.若 的离心率为 2， P的最大面
35、积等于 3.（）求 E的方程；（）若直线 ,B分别与 x轴交于点 ,MN，试判断 ON是否为定值.【命题意图】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等【试题简析】解法一：（）由题意，可得 PBD的最大面积为 1322ba，即 2ab.1 分又 2cea 2 分22b 3 分联立，解得 ， 1b，故 E的方程2xy. 4 分（）设直线 DP的方程为 2kx， 1(,)Py， 2(,)Qx. 5 分联立方程组 2,1ykx消去 y，得 22()k，
36、 .6 分整理，得 2()860kxk， 7 分由韦达定理，得 12126,xk， .8 分又直线 BP的方程为 1y，所以 1,0xMy， .9 分直线 BQ的方程为 21yx，所以 2,01xNy， 10 分所以 12OMNy .11 分12122 226(3)3()949(1)3xxkkkk，即 N为定值 . 12 分（直接写出“ OM为定值 3”给 1 分）解法二：（）同解法一； 4 分（）设直线 DP的方程为 2ykx， 1(,)Py， 2(,)Qx. .5 分联立方程组 2,1ykx消去 ，得 22()k， .6 分整理，得 2()860kxk， 7 分由韦达定理，得 12126,
37、xk， .8 分所以 12BPQykx .9 分221212(3)3()9649(1)3xkxkk， .10 分又 BPQBMNOBk，故 3OMN，即 O为定值 23. 12 分（直接写出“ 为定值 ”给 1 分）【变式题源】 （2015 全国卷理 20）已知椭圆 C： 229xym(m0) ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.（）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（）若 l 过点 (,)3m，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由（22
38、） （本小题满分 12 分）函数 1lnxfk .（）讨论 的单调性；（）当 0,1x时，若 24e1kxx ，求实数 k的取值范围.【命题意图】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等问题；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想.【试题简析】解：（）由 10x得， 1x，故 ()fx的定义域为 (1,). 1 分2fxa， .2 分因为 (1,)，所以 ()2fxa. 3 分当 时， 0， 在 1,上单调递增； .4 分当 2a时，由 fx，得 2(,)a，故 fx在 2(1,)a上单调递减；由 0f，得 2(,1)(,1)a，故 fx在 2(
39、1,)a和 (,)上单调递增； 5 分综上：当 时， fx在 1,上单调递增；当 2a时， f在 2(,)a上单调递减；fx在 (1,)和 2(1,)a上单调递增. 6 分（）由（）当 2k时， f在 ,上单调递增，所以当 0,1x时，0fxffx， 则1ln,xk.7 分从而1e,kx两式相减得 24e1kxx； 8 分当 2k时， fx在 2(1,)k上单调递减；所以当 (0,)时， 0fxffx， .9 分则1ln,xk从而1e,kx.10 分两式相减得 24e1kxx，不符合题意，舍去； 11 分综上可得，实数 的取值范围 k. 12 分【变式题源】 （2011 全国卷理 21）已知函数 ln()1axbf，曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程为 230xy（）求 , 的值；（）如果当 0x，且 时， ln()kfx，求 的取值范围
