1、衡阳市八中 2018 届高三第五次月考试题文科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要求 的 。1已知集合 2|0Ax，则满足条件 *()BAN的集合 B的个数为（ ）A B 3 C 4 D 82已知复数 2aizi的实部与虚部和为 3，则实数 a的值为（ ）A 0 B 1 C 2 D 33已知 cos()3，则 tn值为（ ）A 2 B 2 C 2 D 244 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年纪念日，中国人民银行发 行了以此为主题的金银纪念币如图所示
2、的是一枚 8 克圆形金质纪念币，直 径22 毫米， 面额 100 元为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷 100 粒芝麻，已知恰有30 粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A 276m5 B 236m10 C 236m5 D 23605函数 )(|log)(axfa图象的大致形状是（ ）A B C. D6已知双曲线 221:0Cxya关于直线 2yx对称的曲线为 2C，若直线 270xy与2相切，则实数 的值为（ ）A. 3 B. 3 C. 13 D. 37已知无穷数列 na是各项均为正数的等差数列，则有（ ） A 648 B 648a C 648a D 648a 8
3、秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若第 4 题图输入 n, x的值分别为 3, 4则输出 v的值为（ ）A 39 B 10 C 25 D 69如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为 （ ）A. 2 B. C. 3 D. 210若 1c， 01ba，则 （ ）A. a B. cba C. loglbac D. loglb11对函数 f:0,10,1, 定义 f1(x)= f(x),. fn(
4、x)= f(fn-1(x),n=1,2,3,满足 fn(x)=x 的点 x0,1称为 f 的一个n周期点，现设2,0(),fx.问 f 的一个 n周期点的个数是（ ）个.A2n B2n 2 C 2n D2(2n-1)12已知函数 ()l|fxx与 ()si)gx有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数 g（ ）A sin2x B sin2x C sin2x D sin2x二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 )3,(),1(ba，若 ba/，则 | 14满足不等式组 0,0xy的点 ,xy组成的图形的面积是 5,则实数 a的值为 .15下列命题
5、是假命题的是 . (1)命题“若 1x,则 0232x”的逆否命题是“若 0232,则 1x”(2)若命题 p: 1R,则 1,:xRp(3)若 q为真命题,则 qp,均为真命题(4)“ 2x”是“ 0232x”的充分不必要条件16我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂输入n,x开始 v=1 i0？ 输出 v 结束v=vx+ii=i-1i=n-1 否是第 8 题图PECBA势既同，则积不容异” “势”即是高， “幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线 C的渐近线方程为 2yx，一个焦点为(5,0)直线
6、 0y与 3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形 OABN，则它绕 y轴旋转一圈所得几何体的体积为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）在 ABC中，角 A，B ，C 的对边分别为 ,32abc， 且 tanttanAB(1)求角 B 的大小；(2)若 224,acb，求 B在 方向上的投影18 （12 分）在三棱锥 PAC中, P是等边三角形, APC 60.(1)求证: B ;(2)若 4， E，求三棱锥 EB
7、的体积.19 （12 分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取 50 件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值若该项质量指标值落在 195,20内，则为合格品，否则为不合格品表1 是甲流水线样本的频数分布表，图 1 是乙流水线样本的频率分布直方图（）根据图，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了 5000 件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（）根据已知条件完成下面 2列联表，并回答是否有 85%的把握认
8、为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线 乙生产线 合计质量指标值 频数(190,195 9(195,200 10(200,205 17(205,210 8(210,215 6表 1：甲流水线样本的频数分布表 图 1：乙流水线样本频率分布直方图附： 22nadbcKd（其中 nabcd为样本容量）2PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820 （12 分）已知抛物线 2: (0)Cypx在第一象限内的点 (2, )Pt到焦点 F的距离
9、为 52（1）若 1,0M，过点 , P的直线 1l与抛物线相交于另一点 Q，求 |P的值；（2）若直线 2l与抛物线 相交于 , AB两点，与圆 2:()1Mxay相交于 , DE两点， O为坐标原点， OAB，试问：是否存在实数 a，使得 |DE的长为定值？若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由21 （12 分）已知函数 恰有两个极值点 122,x.2()()xfeaR（1）求实数 的取值范围；（2）求证： 21.f（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程选讲 （10 分）在直线坐标系 xo
10、y中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的参数方程为3sin2cty（ t为参数） ，曲线 C的极坐标方程为 )4cos(2.（1 ）直线 l的普通方程和曲线 的参数方程；（2 ）设点 D在 C上， 在 处的切线与直线 l垂直，求 D的直角坐标.23选修 45：不等式选讲 （10 分） 设函数 23fxx ，记 1fx的解集为 M.（）求 M；（）当 时,证明： 20ff.衡阳市八中 2018 届高三第五次月考文科数学参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）合格品不合格品合计PECBADPECBA题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11、10 11 12答案 C C D B C A B B D D C A二 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号 13 14 15 16答案 2 3 （3） 3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）在 ABC中，角 A，B ，C 的对边分别为 ,32abc， 且 tanttanAB(1)求角 B 的大小；(2)若 224,acb，求 B在方向上的投影解：(1) tnttansinisincocoAABsi
12、osiiABC,322acC, 3s2B， 或 236 分(2) b, 4ac，BAC在方向上的投影为 312 分18 （12 分）在三棱锥 PB中, PA是等边三角形, AC 60B.(1)求证: ;(2)若 4， EC，求三棱锥 EB的体积.解:（）因为 PAB是等边三角形 , APC 60B,所以 C , 可得 . 1 分如图, 取 中点 D, 连结 , ,则 PDAB,C, 3 分因为 所以 平面 , 4 分因为 平面 ,所以 ABPC. 5 分（）因为 ,所以 E, BE. 6 分由已知 4，在 Rt 中, 4sin6023, 4cos602.PE8 分 因为 BEPC, A, AE
13、B, 所以 平 面 . 9 分因为 4, 32，所以 AEB的面积22114SABE. 10 分因为三棱锥 P的体积等于三棱锥 ABP的体积,所以三棱锥 的体积 182433VS. 12 分19 （12 分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取 50 件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值若该项质量指标值落在 195,20内，则为合格品，否则为不合格品表1 是甲流水线样本的频数分布表，图 1 是乙流水线样本的频率分布直方图质量指标值 频数(190,195 9(195,200 1
14、0(200,205 17(205,210 8(210,215 6（）根据图，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了 5000 件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（）根据已知条件完成下面 2列联表，并回答是否有 85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附： 22nadbcKd（其中 nb为样本容量） 2PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828解：（）设乙
15、流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为 x，因为0.48.120.3.520.120.3.520.76.8，1 分则 76.5,x 3 分解得 3901x 4 分（）由甲，乙两条流水线各抽取的 50 件产品可得，甲流水线生产的不合格品有 15 件， 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 153,0P甲5 分乙流水线生产的产品为不合格品的概率为 1.2.85乙 ， 6 分于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了 5000 件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：3150=0,5=01 8 分（） 2列联表:甲生产线 乙生产线 合计合格品 35 40 75不合格品 15 10 25
16、合计 50 50 10010 分 甲生产线 乙生产线 合计合格品不合格品合计表 1：甲流水线样本的频数分布表 图 1：乙流水线样本频率分布直方图则 2210356041.37K， 11 分因为 .,所以没有 85%的把握认为 “该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关” 12 分20 （12 分）已知抛物线 2: (0)Cypx在第一象限内的点 (2, )Pt到焦点 F的距离为 52（1）若 1,0M，过点 , P的直线 1l与抛物线相交于另一点 Q，求 |P的值；（2）若直线 2l与抛物线 相交于 , AB两点，与圆 2:()1Mxay相交于 , DE两点， O为坐标
17、原点， OAB，试问：是否存在实数 a，使得 |DE的长为定值？若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由解析：（1）点 (2, )Pt， 52p，解得 1p，故抛物线 C的方程为： yx，当 时， 2t， 1l的方程为 45，联立 2可得， 8Qx，又 12QFx， 12PFx，124F .5 分（2）设直线 AB的方程为 tym，代入抛物线方程可得 20ytm，设 1(, )xy 2(, )xy，则 12， 12，由 O得： 1()0tty，整理得 2 22()tytm，将代入解得 ，直线 : lxty，圆心到直线 l的距离 2|1adt，22()|1aDEt，显然当 2a时， |DE，
18、|的长为定值 .12 分21 （12 分）已知函数 恰有两个极值点 122,x.2()()xfeaR（1）求实数 的取值范围；（2）求证： 21.fx（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程选讲 （10 分）在直线坐标系 xoy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的参数方程为3sin2cty（ t为参数） ，曲线 C的极坐标方程为 )4cos(2.（1 ）直线 l的普通方程和曲线 的参数方程；（2 ）设点 D在 C上， 在 处的切线与直线 l垂直，求 D的直角坐标.解：（1
19、）由 3sin2cotyx，得 tyx231，消去 t得直线 l的普通方程为 x.由 sin2co)4sincos(2)4cos(2 ，得 in.将 yxyxi,2 代入上式，曲线 C的直角坐标方程为 2，即 )1()(22.得曲线 的直角坐标方程为 sin1coyx（ 为参数， 0）（2 ）设曲线 上的点为 )2,(D，由（1）知 C是以 ),G为圆心，半径为 的圆.因为 在 处的切线与直线 l垂直，所以直线 GD与 l的斜率相等，60,3tan或者 240，故 D得直角坐标为 )261,(或者 )261,(D.23选修 45：不等式选讲 （10 分） 设函数 23fxx ，记 fx的解集为 M.（）求 M；（）当 时,证明： 20ff.解：（）由已知，得 135xf ，当 2x时，由 fx，解得， 0，此时 x.当 时，由 1，解得 43x，显然不成立，故 1fx的解集为 Mx.（）当 时， f ，于是 2222114xfxfxxx ，函数24g在 ,0上是增函数，0x，故 2ffx.
