1、衡阳八中 2016 年下期高三年级第五次月考试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第五次月考试卷，分两卷。其中共 22 题，满分 150 分，考试时间为 120分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考 15 分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。预祝考生考试顺利第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分）本卷共 12 题，每题 5 分，共 60 分，在每题
2、后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。1.已知集合 A0，1，2，且集合 A 中至少含有一个偶数，则这样的集合 A 的个数为（ ）A6 B5 C4 D32.已知复数 的实部为1，则复数 zb 在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.已知ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c 若 a= b，A=2B，则 cos B=（ ）A B C D4.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（ ）A1 B C D5.当 0,yx，19yx时， yx的最小值为（ ）A10 B12 C14 D166.如图直三
3、棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 V，点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上，AP=C 1Q，则四棱锥BAPQC 的体积为（ ）A B C D7.过点 A（2， 4）作倾斜角为 45的直线交抛物线 y2=2px（p0）于点 P1、P 2，若|P 1P2|2=|AP1|AP2|，则实数 p 的值为（ ）A1 B2 C3 D48.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 16，28，则输出的 a=（ ）A0 B2 C4 D149.已知 an=log（n+1） （n+2）（n N*）我们把使乘积 a1a2a3an 为整
4、数的数 n 叫做“ 优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（ ）A1024 B2003 C2026 D204810.右图所示，点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动，设 M 是 CD 边的中点，则当点 P 沿着 ABCM 运动时，以点 P 经过的路程 x 为自变量，三角形 APM 的面积函数的图象形状大致是（ ）A B C D11.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0，x+y+b=0，已知 a，b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根，且 0c ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）A ， B ， C ， D ，12.如果定义在 R上的函数 fx满足：对于任意 1
5、2x，都有 12121xffxfxf，则称 fx为“ H函数”给出下列函数：31y； 32sincoyxx； 1xye；ln01xf，其中“ H函数”的个数有（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个第 II 卷 非选择题（共 90 分）二.填空题（每题 5 分，共 20 分）13.（x 2+x+2） 5的展开式中，x 7的系数为 14.已知直线 AB：x+y6=0 与抛物线 y=x2及 x 轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从 RtAOB 区域内任取一点 M（x，y），则点 M 取自阴影部分的概率为 15.已知点 P（x，y）的坐标满足条件 ，那么（x+1） 2+y2的取值范围为 16.已
6、知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 为球 O 的直径，且 SCOA，SCOB，OAB 为等边三角形，三棱锥 SABC 的体积为 ，则球 O 的表面积是 三.解答题（共 6 题，共 70 分）17.（本题满分 12 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，a n+1=2Sn+1（nN *），等差数列b n满足 b3=3，b 5=9（1）分别求数列a n，b n的通项公式；（2）设 Cn= （nN *），求证 Cn+1C n 18.（本题满分 12 分）如图所示，异面直线 AB，CD 互相垂直，AB= ，BC= ，CD=1，BD=2，AC=3，截面 EFGH 分别与
7、BD，AD，AC，BC 相交于点 E，F，G，H，且 AB平面 EFGH，CD平面 EFGH（1）求证：BC平面 EFGH；（2）求二面角 BADC 的正弦值19.（本题满分 12 分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于 90 分，满分 150 分），将成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有 4 人.（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数 M；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选 2 人，记他们的成绩分别为 yx,.若 10|，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出
8、的二人为“黄金帮扶组”的概率 1P；（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出 3 名学生，求成绩不低于 120 分的人数 的分布列及期望.20.（本题满分 12 分）设函数 . （1）若关于 的不等式 在 为自然对数的底数） 上有实数解, 求实数 的取值范围； （2）设 ,若关于 的方程 至少有一个解, 求 的 最小值； （3） 证明不等式： . 21.（本题满分 12 分）在空中，取直线 l 为轴，直线 l 与 l相交于 O 点，夹角为 30，l围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l为母线的圆锥面已知直线 l平面 ，l 与 的距离为 2，平面 与圆锥面相交得到双曲线 在平面 内，以
9、双曲线 的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为 y 轴，建立直角坐标系（）求双曲线 的方程；（）在平面 内，以双曲线 的中心为圆心，半径为 2 的圆记为曲线 ，在 上任取一点 P，过点 P 作双曲线 的两条切线交曲线 于两点 M、N，试证明线段 MN 的长为定值，并求出这个定值选做题（从 22、23 题中任选一题作答，共 10 分）22.（选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），若以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为 =4cos，设 M 是圆 C 上任一点，连结 OM 并延长到 Q，使|OM
10、|=|MQ|（）求点 Q 轨迹的直角坐标方程；（）若直线 l 与点 Q 轨迹相交于 A，B 两点，点 P 的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值23.（选修 4-5：不等式选讲）设函数 f（x）=|2x+1|x4|（1）解不等式 f（x）0；（2）若 f（x）+3|x4|m 对一切实数 x 均成立，求 m 的取值范围衡阳八中 2016 年下期高三实验班第五次月考理数参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B B B D B A C C A A A13.5014.15.（ ，816.1617.（1）当 n2 时，由 an+1=2Sn+1，a n=2S
11、n1 +1，得 an+1a n=2an，即 an+1=3an由 a1=1，a 2=2a1+1=3=3a1a 1=10，数列a n是以 1 为首项，3 为公比的等比数列 （3 分）等差数列b n满足 b3=3，b 5=9设公差为 d，则 ，解得 b n=3+（n1）3=3n6（6 分）（2）由（1）可得 = =cn（9 分）3 n=（1+2） n= +2n3n， （12 分）18.（1）AB平面 EFGH，又AB平面 ABD，平面 ABD平面 EFGH=EF，ABEF，同理 CDHE， ，AB 2+BC2=AC2，ABBC，同理 BCDC，BCEF，同理 BCEH，又EF，EH 是平面 EFGH
12、 内的两相交直线，BC平面 EFGH（5 分）（2）由（1）及异面直线 AB，CD 互相垂直知，直线 AB，BC，CD 两两垂直，作 ，以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，Cz 为 z 轴，建立空间直角坐标系 Cxyz，如图所示，则 ，（7 分）x 轴平面 ACD，平面 ACD 的一个法向量可设为 ， ，得： ，即 ，（8 分）又z 轴平面 ABD，平面 ABD 的一个法向量可设为 ， ，得 ，即 ，（9 分）设二面角 BADC 的大小为 ，那么 ， ，（11 分）二面角 BADC 的正弦值为 （12 分）19.（ 1）频率分布直方图见解析， 14.5；（2） ；（3）分布列见
13、解析，910.5.140.451.35.0123.51.02.95 M .（4 分）（6 分）（9 分）故 的分布列如下0 1 2 3P3408917依题意)1,(B，故 093E.（12 分）20.（1）（- ， e2-2;（4 分）（2）0；（8 分）（3）略.（12 分）21.（）如右图，O为双曲线的中心，OO为轴 l 与平面 的距离|OO|=2，A 为双曲线的顶点，AOO=60， （1 分）在轴 l 上取点 C，使得|OC|=4 ，过 C 作与轴 l 垂直的平面，交圆锥面得到圆 C，圆 C 与双曲线相交于 D、E，DE 的中点为 B，由题意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2
14、 ，从而双曲线的实半轴长为 2 ，且过点（2 ，4 ）（4 分）设双曲线的标准方程为 ，将点（2 ，4 ）代入方程得 b2=4，所以双曲线的标准方程为 （5 分）证明：（）在条件（）下，双曲线 的两切线 PM、PN 都不垂直 x 轴，（6 分）设点 P 的坐标为（x 0，y 0），令过点 P 的切线的斜率为 k，则切线方程为 y=k（xx 0）+y 0，： （8 分）由=0，化简得： （9 分）令 PM、PN 的斜率分别为 k1、k 2， ，（10 分）因点 P（x 0，y 0）在圆 上，则有 ，得： ，k 1k2=1，（11 分）知 PMPN，线段 MN 是圆 O 的直径，|MN|=4 （1
15、2 分）22.（）圆 C 的极坐标方程为 =4cos，化为 2=4cos，可得直角坐标方程：x 2+y2=4x，配方为（x2） 2+y2=4，设 Q（x，y），则 ，代入圆的方程可得 ，化为（x4） 2+y2=16即为点 Q 的直角坐标方程（5 分） （）把直线 l 的参数方程 （t 为参数）代入（ x4） 2+y2=16得令 A，B 对应参数分别为 t1，t 2，则 ，t 1t20 （10 分）23.（1）当 x4 时，f（x）=2x+1（x4）=x+50，得 x5，所以 x4 成立；当 x4 时，f（x）=2x+1+x4=3x3 0，得 x1，所以 1x4 成立；当 x 时，f（x）=x5 0，得 x5，所以 x5 成立综上，原不等式的解集为x|x1 或 x5；（5 分）（2）令 F（x）=f（x）+3|x4|=|2x+1|+2|x4|2x+1（2x8）|=9，当 时等号成立即有 F（x）的最小值为 9，所以 m9即 m 的取值范围为（，9（10 分）
