1、2017 届福建厦门双十中学高三（上）期中数学（理）试题一、选择题1已知集合 ，则 （ ）|12,|03AxBxABA B (,3)(,)C D0,22,3【答案】A【解析】试题分析：并集是所有元素，故 .(1,3)AB【考点】集合并集【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍
2、. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2已知 ，其中 是实数， 是虚数单位，则 （ ）1abii,ai|abiA3 B2 C5 D 5【答案】D【解析】试题分析： ，所以 ，所以112aiaibii 2,1ab.2|5abi【考点】复数的概念及运算.3已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）nanS4518a8SA18 B36 C54 D72【答案】D【解析】试题分析： ， .4518a1845722aSa【考点】等差数列的基本概念.4设 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ）,abA存在唯一直线 ，使得 ，且 llalbB存在唯一直线 ，使得 ，且/C存在唯一平面 ，使
3、得 ，且 /D存在唯一平面 ，使得 ，且【答案】C【解析】试题分析：过直线 上任意一点 ，作 的平行线 ，由 相交确定一个aPbc,a平面 .直线 只需垂直于平面 ，就会与 垂直，这样的支线有无数条，故 A 错误.l根据平面两条直线所成角的定义，排除 B.根据线面垂直的概念，排除 D.所以选 C.【考点】空间点线面位置关系.5已知命题 ；命题 ，则下列命题中为真命题的:,23xpR32q:,1xRx是（ ）A B qpC D【答案】B【解析】试题分析：当 时， ，故 为假命题.由于 在第一象限是增函1x233x数， 在第一象限是减函数，故有一个交点，所以命题 为真命题.21x q【考点】含有逻
4、辑连接词命题真假性判断、全称命题与特称命题.6已知函数 的图像与直线 的两个相邻公共点之()3sincos(0)fx2y间的距离等于 ，则 的单调减区间是（ ）fA 2,()63kkZB ,C 42,()3kkD 5,12Z【答案】A【解析】试题分析： ，最大值为 ，故与直线 的交点sin6fxx22y距离为一个周期，所以 ， ，令2,Tsin6fx，解得函数的减区间为 .326kxk2,()3kkZ【考点】三角函数图象与性质.7如图，两块全等的直角边长为 1 的等腰直角三角形拼在一起，若 ，ADBC则 （ ）kA B 122C2 D 【答案】A【解析】试题分析：由于 ，所以2CABDAD，所
5、以 .22BA12k【考点】向量运算.8已知定义在 上的函数 为实数）为偶函数，记R|()(xmf，则 的大小关系为（ ）0.52(log3),(log5,cafbf,abcA B caC D【答案】C【解析】试题分析：由于函数为偶函数，故 ， .0m21xf，由于函数 在 上为增函数，0.52(log3)l,c()affff 0,且 ，所以 .21ab【考点】函数的奇偶性、比较大小.9已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B (4)3(4)32C D6【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成，所以体积为 .211323(64)【考点】三
6、视图.10已知函数 与 的图像上存在关于 轴对2()(0)xfe2(ln()gxxay称的点，则 的取值范围是（ ）aA B 1(,)e(,)C D, 1,e【答案】B【解析】试题分析：原命题等价于 在 是有解，图像有交点.即fxg0x在 上有解，令 ，显然1ln02xea,1()ln2mexa在 上为增函数.当 时，只需 ，解得()m,a0；当 时， ， 有解.0e,xxx()0m综上， 的取值范围是 .a(,)e【考点】函数的奇偶性、对称性.11已知函数 ，以下说法中不正确的是（ ）()sin2icosfxxA 周期为 B 最小值为()f()fx54C 为单调函数 D 关于 对称x 【答案
7、】C【解析】试题分析：2sin(4)sin(2)cos2sinicosfxxxxxxf，所以 A 选项正确.令 ，则原函数化为coiin,24t ，当 时等号成立.故 B 选项正确.同理，由于22154ytt12t类似二次函数，故有增有减，不是单调函数，故选 C.另外由于2t，所以 关于 对称.sinicosfxxfx fx4【考点】三角函数图象与性质.【思路点晴】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数图象与性质.函数表达式中，有二倍角 ，有单倍角 ，注意到这两者之间的联系si2xsincx，由此考虑用换元法来求最值和单调区间.换元后利用二inco1次函数配方法来求最值.对于函数的周期性，只需
8、验证 即可.对于函fxTf数的对称轴，则需验证 .2fxf12如图，在棱长为 1 的正方体 的对角线 上取一点 ，以 为1ABCD1ACPA球心， 为半径作一个球，设 ，记该球面与正方体表面的交线的长度和为APPx，则函数 的图像最有可能的是（ ）()fx()fx【答案】B【解析】试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当 ；（3）当 .（1）当 时，以 为球心， 为半径作x12x2xxA1一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为 ，且为函数 的最3342fx大值；（2）当 时，以 为球心， 为半径作一个球，根据图形的相似，该球面xA2与正方体表面的交线弧长为（
9、1）中的一半；（3）当 时，以 为球心， 为xA2半径作一个球，其弧长为 ，且为函数 的最大值，对照选项可1334f得 B 正确.【考点】函数图象.【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当 ；1x（2）当 ；（3）当 .其中（1） （3）两种情形所得弧长相等且为函数x2x的最大值，根据图形的相似， （2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，f即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.二、填空题13已知向量 夹角为 ，且 ，则,ab60|1,|2|7ab|b_.【答案】 3【解析】试题分析：对 两边平方得 ，即|2|72247a
10、，解得 .20b3b【考点】向量运算.14已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， 则 的值()fxR0x()2,xf4(log9)f为 _.【答案】 13【解析】试题分析：由于函数为奇函数，故.41log9444(log9)log9l23fff【考点】函数的奇偶性、分段函数求值.15已知正项等比数列 的前 项积为 ，已知 ，则nan121,048mmam_.【答案】 6【解析】试题分析：根据等比数列的性质，有 ，解得 ，依21mmaa m题意，所以 .211212212048mmmaa 1,6【考点】等比数列.【思路点晴】本题主要考查等比数列的性质，考查新定义数列的理解，考查指数运算和指数
11、相等的概念. 在等比数列 n中，若 ， n， p， qN且 mnpq，则 mnpqaA,特殊地， 2mpq时，则 2mpqaA， ma是 pq、 的等比中项. 若数列 是等比数列，且公比不为 ， 是其前 项的和， ，那么 ，1nS*NkkS， 成等比数列.kS2k2316如右图所示，在一个坡度一定的山坡 的顶上有一高度为 的建筑物 ，AC25CD为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 处测得 ，沿山坡前1A进 到达 处，又测得 ，根据以上数据计算可得50mB45DB cos_.【答案】 31【解析】试题分析：在 中，由正弦定理得 ，即ABDsinsiABD，所以 ，在 中，由正弦定理得
12、501624B256C，即 .所以 ，所以sinsiCDB2sin2BDsin31B.coisi31C【考点】解三角形.【思路点晴】本题主要考查解三角形应用问题.在 中，有正弦定理求出 ，ABBD在 中，由正弦定理解出 ，则BCDsinD.应熟练掌握正、余弦定理及其变cosin31B形解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理17在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已ABC, ,abc知 3cossinab（1）若 ，求 ；2,7c（2）设函数 ，求 的取值范围.23sin(0)sin(15)yACy【答案】 （1） ；（2） .3c(1,y【解析
13、】试题分析：（1）用正弦定理化简 得 ，再由余弦3cossinabCB3定理求得 ；（2）化简 ，由于三角形为锐角三角形，所以3c3sin(260)1yA，由此求得 .(0,9)A 1,试题解析：(1) ；33cosinsincosinCsabCBABinta3BB222cs0c(2) 3i(0)in(15)sin(230)12cos(30)yACA sin2cos213()in(26)1A 10 分又 为锐角三角形， . ABC(,)(1,6Ay【考点】解三角形，三角恒等变换.18已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，短轴长为 2，2:1(0)xyabFA为原点，直线 与椭圆 的另一个交点为
14、，且 的面积是 的面积的OFCBOBF3 倍（1）求椭圆 的方程；C（2）直线 与椭圆 相交于 两点，若在椭圆 上存在点 ，使:lykxmC,PQCR为平行四边形，求 取值范围.OPRQ【答案】 （1） ；（2） .21xy1(,)2【解析】试题分析：（1）依题意有 ，根据面积比求得 点的坐标，代入椭圆方bB程求得 ， ，所以椭圆方程为 ；（2）设 ，利axy12(,)(,)PxyQ用平行四边形对角线可求得 点的坐标，代入椭圆方程化简得R，联立 ， 消去 写出22211()8()8kxkmx2km韦达定理，代入上式化简得 ，解得 .2141km1(,)2试题解析：(1) 短轴长为 2，可得 ，
15、即 ，设b(0,)A(,0),)FcBxy的面积是 的面积的 3 倍，即为AOFBF13|2可得 ，由直线 经过 可得 ，即 ，代入椭圆方13y :xyc4xc 1(,)3程可得即为 ，即有 ，则椭圆 的方程为 ； 269ca2a2abC2xy(2)设 ，由 为平行四边形可得12(,)(,)PxyQOPRQ1212,RRx在椭圆 上可得 ，即为RC2211()xy()()m1kx化为 2212()88kkmx由 ， 可得 ，由 即为xyx2(1)4kmx021k24x代入可得 ，化为 224()8()811kmk2140km又 ，解得 或 ，则 取值范围是 . 214km(,)【考点】直线与圆
16、锥曲线位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系.第一问探究椭圆的标准方程，由题意容易得到 ，题目另一个条件给的是面积的比，利用面积的比可以得到边长的1b比，进而得到 点的坐标，代入椭圆方程建立等式，由此解出 .第二问需要借助B 2a平行四边形的几何性质，求出 点坐标后代入椭圆方程，再利用韦达定理就可以求得R的范围.m三、解答题19在直角坐标系中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的Ox A极坐标为 ，点 的极坐标为 ，曲线 (3,)2B(6,)2:(1)Cy（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；CA（2）过点 的射线 交曲线 于 点，交直线 于 点，若 ，求射O
17、lMABN|2OMN线 所在直线的直角坐标方程.l【答案】 （1） , ；（2） .2cosin33yx【解析】试题分析：（1）将 代入 化简得cos,inx2(1)y.同理求出点 , 的直角坐标分别为 , ，所以 的直角2cosAB03)A,BAB坐标方程为 ，极坐标方程为 ；（2）设射线 ，代入曲线 得3ysin3:lC,代入直线 得： ，代入 求得 ，即2cosMABiM|2ONtan3方程为 .3yx试题解析：(1) 点 , 的直角坐标分别为 , ，所以直线 的极坐标方程为AB(03)A,)BAB； sin3曲线 化为极坐标为 C2cos(2)设射线 ，代入曲线 得 ,代入直线 得：
18、:lC2cosMAB3sinM依题意得 . 32costan3in所以射线 所在直线的直角坐标方程为 l yx【考点】坐标系与参数方程.20在数列 中，前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和为 ，且nanS(1)2nbnnT2nb（1）求数列 的通项公式；na（2）是否存在 ，使得 ，若存在，求出所有满足题意的 ，若不存*,mNnmTa,mn在，请说明理由.【答案】 （1） ；（2） .na1,2【解析】试题分析：（1）当 时 ，当 时 ，所以n1aS2n1nnaS；（2） 利用错位相减法求得 ，令na23nnT 2T，故 .m1,试题解析：(1)当 时1n1aS当 时2()(1)2nn经验证，
19、 满足上式，故数列 的通项公式 ； 1anana(2)由题意，易得 ，则 ，23nT 234+112nT两式相减得 ，所以 4+1+122nn T由于 ，又 ，解得 . 2nT21nm2n【考点】数列求通项、数列求和.21如图，斜三棱柱 的底面是直角三角形， ,点 在底面内1ABC90ACB1的射影恰好是 的中点，且 2A（1）求证：平面 平面 ；1AC1BC（2）若二面角 的余弦值为 ，求斜三棱柱 的高.B571ABC【答案】 （1）证明见解析；（2） .3【解析】试题分析：（1）取 中点 ，连接 ，则 平面 ，所以CM11M，结合 有 平面 ，从而有平面 平面BMACBAB1AC；（2）以
20、 为 轴， 为 轴，过点 与面 垂直方向为 轴，建1 oxoyBoz立空间直角坐标系，设 ，利用二面角 的余弦值为 和向量法建1t157立方程，求得 ，即斜三棱柱的高为 3t 3试题解析：(1)取 中点 ，连接 ，则 平面 BCM1B1MACB1又 ，且 平面AC1因为 平面 ,所以平面 平面 ； 1A1(2)以 为 轴， 为 轴，过点 与面 垂直方向为 轴，建立空间直角坐CoxBoyABCoz标系,设 ，则 2AB1Mt11(20),(),(0),(,)(0,t)Mt， ， ， ， ， ， ，即 1 1(,)(,t，设面 法向量 1,)(,)nxyznt面 法向量 1ABC21(,02即斜三
21、棱柱的高为 . 125cos,37nt3【考点】空间向量与立体几何.22已知函数 ()(0)axfxe（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；2ayf12（2）讨论方程 根的个数.()10fx【答案】 （1） ；（2）当 时，方程 有一个根，当yea()10fx时，方程 有三个根.2a()10fx【解析】试题分析：（1） 时，函数表达式已知，先求出切点的坐标，利用导数求得斜率，用点斜式写出切线方程；（2）方程 即 ， 的定义()10fx()1fx()f域为 .当 时，易知 ，故方程 无解，故(,)(1)1x或 0只需考虑 的情况.此时构造函数 ，利用导数分类讨论 的()1gxf gx零点个数.
22、试题解析：(1)当 时， 又2a21()xfxe2()1xfe故所求切线方程为；11(),()3fef123(),yyxe(2) 方程 即 ， 的定义域为0x(fx()f(,)当 时，易知 ，故方程 无解，故只需考虑 的1或 )10fx1x情况设 ，令 得 ，又2(),()1)axxgxfge()g20ax20a当 时， 所以 在区间 上是增函数，又 ，()0gx()gx-1,） (0),()0gx只有一个根 0当 时，由 得2a()fx2axa或又 ，所以 在 和 递增，在 递减1()g1,)(,1)2(,)a， 在 递减(1)0g()gx2,)a2()g(0ag又 在 递增， 在 有一个根
23、()x,)a()0gx1,)a在 递减()g2,)22()g(0()g(0a，在 有一个根 0()0x2(,)a，又 在 递增2()g(,1()xga()gx2,1)a在 有一个根()0x(,)综上所述，当 时方程 有一个根，当 时方程 有三2a()10fx2a()10fx个根.【考点】函数导数与零点问题.【方法点晴】本题主要考查导数与切线，考查导数与零点问题.有关切线的题目首先看清楚是切点还是曲线外的点，其实把握住切点坐标和斜率，主要关注的是切点的横坐标，因为斜率也是由切点的横坐标球出来的.第二问研究函数的零点，首先求出定义域，然后分成两个部分，其中一个部分恒小于零，没有根，另一个部分需要构造函数，利用导数来分类讨论根的个数.
