1、2016 年双十中学全国统一考试理科数学热身考试卷班级 座号 姓名 日期：2016.5.31 注意事项：1本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。复数 （为虚数单位）的虚部为（ ）21i
2、zA B C D1 i2、若集合 ，则 等于（ ）2|540,|4,xNxByxABA B C D, 31023, 设 ，则“ 为等比数列”是“ ”的 （ ） 3,abcR1,6abcbA充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D 既非充分也非必要条件4过双曲线 的右焦点 作一条直线，当直线倾斜角为 时，直)0,(12bayxF6线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线倾斜角为 时，直线与双曲线右支有两个不3同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A B C 231,23,(1,)D (,)5.现有 5 人参加抽奖活动，每人依次从装有 5 张奖票(其中 3 张为中奖票)的箱子中不放
3、回地随机抽取一张，直到 3 张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第 4 人抽完后结束的概率为( ) A. B. 1015C. D.32否3.10S是06sin2输出 n结束n=2n开始n=66. 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” 利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率” 如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（ ）（参考数据： 1.732，sin150.2588，sin7.50.1305）A12 B24 C36 D487.如
4、图，半径为 2 的圆 与直线 切于点 ，射线 从 出发，绕OMNPKN点逆时针旋转到 ，旋转过程中与圆 交于 ，设PPQ，旋转扫过的弓形 的面积为 ，那么 的图象(0)Qxm()Sfx()fx大致为 ( ) 8.已知 三点都在以 为球心的球面上， 两两垂直，三棱锥,ABCO,OABC的体积为 ，则球 的表面积为（ ）O43（A） （B） （C） （D）1632329.若 的最小正周期为 ， ，则（ ）()sin)cos()fxx(0(0)fA. 在 单调递增 B. 在 单调递减,4()fx,)4C. 在 单调递增 D. 在 单调递减()fx0)2,210.设实数 ， 满足约束条件 ，已知 的最
5、大值是xy3402xyazxy，最小值是 ，则实数 的值为（ ）726D.224 242424A. B. C.正视图 侧视图俯视图1 1122A. B. C. D. 66111某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B (102)1136C D (2)12. 已知函数 = 恰有两个零点，则实数 的取值范围为 )(xfaxlna（ ） A.（-，0 ） B.（0，+） C.（0,1）（1，+） D.（-，0 ）1第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题。考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4 小
6、题。每小题 5 分。13正 中， 在 方向上的投影为 ，且 ,则 _.ABC12ADCBA14.若 ，则 等于_ 423401(12)xaxax03a15. 已 知 是 抛 物 线 上 一 点 ， 是 该 抛 物 线 的 焦 点 ， 则 以 为 直 径 且 过PyFPF（ 0,2） 的 圆 的 标 准 方 程 为 .16.定义 表示实数 中较大的数，已知数列 满足max,b,abna12(0),1a，若 ，记数列 的前项和为 ，则 的值12(2)nn N20154nnS2016为 .三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）为了应对日益严重的气候问题，某气
7、象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测如图所示， 三地位于同一水平面上，这,ABC种仪器在 地进行弹射实验，观测点 两地相距 米，C,10，在 地听到弹射声音的时间比 地晚 秒在 地测得该仪器至最60BA B27A高点 处的仰角为 H3（）求 ， 两地的距离；（）求这种仪器的垂直弹射高度 （已知声音的传播速度为 340 米/ 秒） HC18.（本小题满分 分）12某商场每天以每件 100 元的价格购入 A 商品若干件，并以每件 200 元的价格出售，若所购进的 A 商品前 8 小时没有售完，则商场对没卖出的 A 商品以每件 60 元的低价当天处理完毕
8、（假定 A 商品当天能够处理完）.该商场统计了 100 天 A 商品在每天的前 8 小时的销售量，制成如下表格.前 8 小时的销售量 t（单位：件） 6 7 8频 数 40 352（）某天该商场共购入 8 件 A 商品，在前 8 个小时售出 6 件. 若这些产品被 8 名不同的顾客购买，现从这 8 名顾客中随机选 4 人进行回访，求恰有三人是以每件 200 元的价格购买的概率；（）将频率视为概率，要使商场每天购进 A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件 A 商品，并说明理由.19. （本小题满分 12 分）如图，斜三棱柱 中，侧面1ABC与侧面 都是菱形，1AC1B， 20AC（）求
9、证： ；1（）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值6B1B1AC20（本小题满分 12 分）已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，2:10xyCab直线 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切0（）求椭圆 C 的方程；（）过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T，若椭圆 C 上存在点 P 满足（其中 O 为坐标原点） ，求实数的取值范围OSTtP21.（本小题满分 12 分）设函数 为自然对数的底数.exexfk,)1()(（）当 时，求函数 在点 处的切线方程 ,并证明 k(fy)1(,f ()ygx恒成立()fxg（
10、）当 时，设 是函数 图像上三个不同的点，求证：2kCBA, ),2()xfy是钝角三角形.ABC请考生在第 22、23 、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图所示， 内接于圆 O， 是 的中点， 的平分线分别交 和圆 于ABCDABCBACBCO点 , EF（）求证： 是 外接圆的切线；E（）若 , ，求 的值32223.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 中， .以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，xoy(2,0)MxOF
11、EDCBA(,)(,)13ACBM为 曲 线 上 一 点 ， ， 且（）求曲线 C 的直角坐标方程；（）求 的取值范围2OMA24.（本小题满分 10 分） 【选修 4-5:不等式选讲】 已知 ， ，mnR.()2fxmxn（）求 的最小值；()f（）若 的最小值为 ，求 的最小值.fx224nm2016 年双十中学全国统一考试理科数学热身考试卷答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A A A B C B D B D D C C13 答案： 14 答案： 15 答案：34116 答案：7255425)-()25(yx8.【答案】B；设球 的半径为 ，则 ，所以三棱锥 的体积O
12、RAOBCROABC为 。由 ，解得 。故球 的表面积为 。316R3 1612. 【答案】C【解析】函数 的定义域为（0，+ ） ，由题知方程 =0，即方程)(xf ax2ln恰有两解，设 ，则 = ，当 时，1lnaxxgln)()(xg21e00，当 时， 0 ，所以 在（0, ）上是增函数，在（ ，+）上是)(gex)(e减函数，且 ，当 时， 0， ，作出函数 与函数)( )(xgy的图象如下图所示，由图可知，函数 的图象与函数 的图1ay )(xgy1a象恰有 2 个交点的充要条件为 或 ，故选 C.1a15. 【答案】 22223939()(+)()()44xyxy-=-+-=或
13、【解析】设 ，由题知 ，由抛物线的定义知，圆的直径为 = ，,40P0,1F|PF4120y圆心为 ，由题知 = ，解得 ，)2,81(y202)()8(y)41(20y0所以圆心为 ，半径为 ，所以所求圆的标准方程为 .,33 49)(322x16. 【 答案】：7255由题意 ，当 时， ， ， ， ，因此 是周期数列，34a24a52a671na周期为 5，所以 ，不合题意，当 时，015， ， ， ，同理 是周期数列，周期为 5，所以48a56a71na， ， ， 201423451820164381725S考点：周期数列【总结】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采
14、取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（象本题由 依次求出 ） ，从12,a34567,a中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数 进行分类讨论解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识” 、 “运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题17.（本小题满分 12 分）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测如图所示， 三地位于同一水平面上，这,ABC种仪器在 地进行弹射实验，观测点 两地相距 米，C,10，在 地听到弹射声音的时间比 地晚
15、 秒在 地测得该仪器至最60BA B27A高点 处的仰角为 H3（）求 ， 两地的距离；（）求这种仪器的垂直弹射高度 （已知声音的传播速度为 340 米/ 秒） HC（17 ） 【 解析】 （）设 ，由条件可知 .1 分BCx234017Axx在 中，由余弦定理，可得A，2 分22cosBABC即 ，解得 5 分10(4)10(4)2xxx380x所以 （米）38C故 两地的距离为 420 米6 分,A（）在 中， 米，H420A30,9036HAC由正弦定理，可得 ，即 9 分sinsi42sin6iHC所以 （米） ，故这种仪器的垂直弹射高度为 米12 分14203C 140318.（本小
16、题满分 分）某商场每天以每件 100 元的价格购入 A 商品若干件，并以每件 200 元的价格出售，若所购进的 A 商品前 8 小时没有售完，则商场对没卖出的 A 商品以每件 60 元的低价当天处理完毕（假定 A 商品当天能够处理完）.该商场统计了 100 天 A 商品在每天的前 8 小时的销售量，制成如下表格.前 8 小时的销售量 t（单位：件） 6 7 8频 数 40 352（）某天该商场共购入 8 件 A 商品，在前 8 个小时售出 6 件. 若这些产品被 8 名不同的顾客购买，现从这 8 名顾客中随机选 4 人进行回访，求恰有三人是以每件 200 元的价格购买的概率；（）将频率视为概率
17、，要使商场每天购进 A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件 A 商品，并说明理由.（18 ）本小题满分 12 分解：（1）记“恰有三人是以每件 200 元的价格购买”为事件 ，B则 .5 分316248()7CPB（2 ）设商场销售 A 商品获得的平均利润为 （单位：元）依题意，将频率视为概率，为使每天购进 A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进的件数可能为 6 件或 7 件或 8 件. 6 分当购进 A 商品 6 件时， （元） 7 分()106E当购进 A 商品 7 件时，（元） 9 分46)1074当购进 A 商品 8 件时， 43525()1062)(107)8E即 （
18、元）11 分39所以商场每天购进 件 A 商品时所获得的平均利润最大. 12 分719. （本小题满分 12 分）如图，斜三棱柱 中，侧面1ABC与侧面 都是菱形，1AC1B， 20AC（）求证： ；1（）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值6B1B1AC（19）解：（）连接 ，因为侧面 与侧面 都是菱形，1,CA11B，1120AC所以 都是等边三角形.,B取 的中点 ，连接 ，则 ，1O1,A11,COAB又 平面 ， ，所以 平面 ，4AB1分又因为 平面 ，1AB1O所以 . 6 分C（）在 中， ，若 ，则有 ，所以11316AB2211OAB，1OAB由（）有 平面 ， 8 分1C
19、1O以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间1,BA,xyz直角坐标系 ，xyz则 ， ， ， 10,3A1,01,0C,10，133BBB设平面 的一个法向量为 ，则 整理，得1Cx,yzm=130,.AxzCy3,yxz令 ，得 ， 10 分1,31=设直线 与平面 所成的角为 ，则BCA.11315sinco, 2CBm所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 . 12 分1BC1A520（本小题满分 12 分）已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，2:0xyab直线 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切10（）求椭圆 C 的方程；（）过点
20、M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T，若椭圆 C 上存在点 P 满足（其中 O 为坐标原点） ，求实数的取值范围OSTtP20解：（）由题意，以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为 ， 22)(aycx圆心到直线 的距离 （*）-1 分01x12cda椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， , ， 代入（* ）式得 ， ， bc2abc2ab故所求椭圆方程为 .12yx4 分（）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为 ，设 ，)(xky0,Pxy将直线方程代入椭圆方程得： ， 228()xk ，解得 426(1)80k1设
21、 , ，则 ， -6 分1()SxyT2211,kx 122 24()kk由 ，得 OtP01012,tty当 时，直线为 轴，则椭圆上任意一点 P 满足 ，符合题意； 0txOSTtP当 时，202841kty ， -9 分208kxt0kt将上式代入椭圆方程得： ，42223161ktt整理得： = 是 的递增函数，2216ktk由 知， ，所以 ，2k204t(2,0)(,tU综上可得 -12 分(,)t21.（本小题满分 12 分）设函数 为自然对数的底数.exexfk,)1()(（）当 时，求函数 在点 处的切线方程 y=g(x),并证明 k(fy)1(,f恒成立()fxg（）当 时
22、，设 是函数 图像上三个不同的点，求证：2kCBA, ),2()xfy是钝角三角形.ABC21. 解析：（ ）当 时， ， ，1k()1)(xfe()0f(1)fe所以在 处的切线方程是 2 分(1,)f (1)yex所证问题等价于 3 分()xe即 ()0xe1,(1)xe当 时当 时，,()10xe当 时 所以 5x0xe()fxg分（）当 时， ，2k2()1)(xfe(,)6 分2() 12x xf e因为 ,)(0,()20,()xef即函数在 单(2,)x调递增 8 分设 ，321321),(),(),( xyxCByxA， 且 3ff),(,(),(,( 23232121 xff
23、xxx 10 分)()231xfBCA ,0)(,0(,0, 212321 xffxfx 为钝角. 故 为钝角三角形 12 分B,cos, ABC(注意：利用图象说明，需画图准确，说明充分,可给四分；只画图，不说明，给 2 分)22 解析：（）设 外接圆的圆心为 ，连结 并延长交圆 于 点，连结 ，ABEOOGE则 ， 90BEGG因为 平分 ，所以 ，所以 ，2 分FCA=FFBEA所以 ，18090G所以 ，所以 是 外接圆的切线5 分OBE（）连接 ，则 ，所以 是圆 的直径，DDO因为 ， ，22BF2AFOFEDCBAGOECDFBA所以 7 分22BDAFB因为 平分 ，所以 ,C
24、AEC所以 ，所以 ,E()FAF因为 ，所以 ，从而 ，B2E所以 ，2ABF所以 10 分26DAC（23 ）解： （）设 A(x，y )，则 xcos ，y sin ，所以 xB cos( 错误！未找到引用源。 ) x y；y B sin( 错误！未找到引用源。3 f() 12 32 3) x y，f()32 12故 B( x y， x y 错误！未找到引用源。 )12 32 32 12 f()由|BM| 21 得 ( x y2 )2 ( x y 错误！未找到引用源。 )21 ，12 32 32 12 f()整理得曲线 C 的方程为(x 1 )2( y )21 5 分3（）圆 C： （ 为参数） ，x 1 cos，y 3 sin )则|OA| 2|MA| 24 sin10，3所以|OA| 2|MA| 2104 ，104 10 分3 3（24 ） 【 解析】 （）,()23,xmnf xx在 是减函数，在 是增函数 当 时， 取最小值()fx,)2n(,+)2n2nx()fx. 5 分()2nfm（）由（）知， 的最小值为 ， . 6 分()fx2nm， ，当且仅当,nR2211)()44n2nm即 时，取等号， 的最小值为 . 10 分1,m2(n
