1、2017 届重庆市第八中学高三上学期适应性月考（四）数学（文）试题 数学（文）试题第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则集合 中元素的个数为（ ）10,12xBNnxA BAA5 B4 C. 3 D22.复数 ( 是虚数单位)，则 的虚部为（ ）izzA B C. D2i2i3.正项等比数列 满足： ，则 （ ）na1234,a5SA31 B32 C. 33 D344.已知 ，则“ ”是“ 有极值”的（ ）231cxbxf 20bcfxA充分不必要条件 B必要不充分条件
2、 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件5.设 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）,xy10,2,xy3zxyA11 B9 C. 3 D16.球 为三棱锥 的外接球， 两两垂直， ，则球 的表面积OPAC,PABC2,4PABCO为（ ）A B C. D96482417.某几何体的三视图如图 1 所示，则该几何体的体积为（ ）A B C. D34673538.执行如图 2 所示的程序框图，则输出的 的值为（ ）sA3 B2 C. 0 D39.已知 为单位向量，且与非零向量 满足 ，则 的夹角为（ ）ab3,7ab,abA B C. D432410. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，经过点 的
3、直线 与 交于 两点，若 的OF:CyxFlC,PQO面积为 ，则线段 的中点坐标为（ ）6PQA1 B2 C. 3 D411.若函数 在区间 内单调递增，则 的取值范围是（ ）21ln1fxax， aA B C. D,3,23,2，12. 为坐标原点，直线 与双曲线 的渐近线分别交于 两点，O:31lyx2:10,xyCab,AB,且 均在 轴上方，则该双曲线的离心率为（ ）2AA B C. 2 D3227第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.从 3 男 2 女中任选 2 人参加培训，其中所选两人为一男一女的概率为 14.定义在 上
4、的函数 在区间 上单调递增，且 ，则 Rsinfx04， 14f=15.数列 满足 ，则 na14,2nna201516.已知 是定义在 上的偶函数，且满足： ， ，则 fx 0fx2fxf3f三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）四点共圆，且 .,ABCD:DA1:32BC（）求 的大小；（）若四边形 的面积为 ，求 的长.2B18. （本小题满分 12 分）为了了解某校初三年年级学生的体重情况，现从中抽取 100 名学生，测量他们的体重（单位：斤） ，得频数分布表如下：（）根据频数分布表在图 3 中作出
5、频率分布直方图；（）估计该校初三学生的平均体重（同一区间取中点值） ；（）若该校初三年级共有 500 人，估计该年级体重不低于 105 斤的人数.19. （本小题满分 12 分）如图 4，四棱锥 中，平面 平面 ， ,PABCDPABCD5,2PABCD,点 为 的重点， 为线段 上一点， ./,6,2ADGKK（）求证： 平面 ；/（）求四面体 的体积.K20. （本小题满分 12 分）平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，短轴长为 4. 为椭圆 上一xOy2:10xyCab2MC点， ,且满足 .02AMA（）求椭圆 的标准方程；（）若过点 的直线 交 所得弦长为 ，求直线 的方程.lC
6、823l21. （本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.若 在 处的切线sinxfae,.71xRe fx0,f与直线 垂直.10xy（）求 ，并判断 在 内的单调性；afx2，（）当 时， ，求 的取值范围.0,2xfk请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 的极坐标方程为xOyx C， 点的坐标为 ，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，倾斜角为 .2sin4i0P3,2 lP3（）写出曲线 的直角坐标方程
7、和直线 的参数方程；Cl（）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值.l,AB1PAB23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 .231fxx（）解不等式 ；f（）若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.,1x21afxa试卷答案一、选择题1-5: ADABA 6-10: CBCBB 11、12：DD【解析】1. ，则 中的元素有 5 个，故选 A.1,3579AAB2. ，则 的虚部为-2，故选 D.2iziz3. 或1（舍） ， ,故选 A.2234aq551231S5 约束条件 表示的可行域为图 1 中 的边界及内部，易知当目标函数经过点10,2,xyABC时，
8、 取最大值，最大值为 ，故选 A.3,Cz32z6.采用补形法可知，球 的直径 ，所以 ，O226RPABC6R,故选 C.24SR7.该几何体为正方体和一个三棱锥组合而成，体积为 ，故选 B.76V8.依次执行的程序为： ，之后输出 ，故选 C.3,1;3,;2,;0,3sksksks0s9. ，所以 ，2377abababab21,=5ab又 ， ， . 故选 B.=1， cos2=310.当 斜率不存在时， ,不符合题意；当 斜率存在时，设 的斜率为 ，则 的方程为lPOQSllkl，代入 得 ，所以 ，1ykx24yx22240kxk24PQx,点 到直线 的距离 ，所以21PQl21
9、dk，解得 ，所以线段 的中点横坐2241 =621POkSd2P标 ，故选 B.20Qxk11.因为函数 在区间 内单调递增，所以21ln1fxax,+，在 内恒成立，令 ，则0fx, 21gxx，故 ，故选 D.max2g2a12.如图 2 所示，记直线 与 轴的交点为 ，不妨设 ，由双曲线的对称性可知 ，lyKABxBOKA由角平分线定理可知 ，所以 ，联立 得 ，同理2AKOB2AB31,yxba3Aba，代入式解得 ，所以离心率 ，故选 D.13Bxba3ba217bea二、填空题13. 14. 15. 16. 352121【解析】13.所有选法共有 10 种，其中一男一女的选法有
10、6 种，所以 .6305P14.由题意知： 和 为一对相邻的对称中心和对称轴， ， , .0,4x4T215.由 ，知 ，同理， ，所以数列 是周期为 3 的周期数列，1,2nna31a21,ana .201516. 为偶函数 ，又 ，fx1fxfff112fxfff又 恒成立，知 ，由得: ，故 .0f10,fff3ff三、解答题17.解：（）因为 四点共圆，,ABCD ,A由 ，可令 ,:1:32BC,3,2AaBCDAa化简得： ，又 , .1cos2C0,3C（） ，2121sin3sin32ABDSSaaa四 边 形 ， ，23aa ，3cos7BC即 .718. 解：（）如图 3.
11、（）该校初三学生体重的样本平均数为：，80.690.21.380.210.8x所以该校初三学生体重的平均数的估计值为 100.（）体重不低于 105 的初三学生所占比例的估计值为 ，则 .30.510n即估计该年级体重不低于 105 斤的人数为 150 人.19.（）证明：如图 4，连接 并延长使其与 交于点 ，PGADE因为点 为 的重心，所以 ，GAD2E又 ，所以 ，且 .2PK/K3因为 ，5,6所以 ,32EA又 ，所以 ,/,DBC/BCGK所以四边形 为平行四边形，GK所以 /GBCK又 平面 ，且 平面 ，PDGBPDC所以 平面 ./（）解：由（）知 .2144,3EAE因为
12、 ，2,/,6,2ABCB所以 到 的距离为 2.D由（）知 .11482339GKCBDKBCGDBCDVVSE20. 解：（）由 解得 ，22,4,cab2,abc所以椭圆 的标准方程为 .C2184xy（）设点 ，则 ，0,M20由 得 ，2AQ22200xyxy化简得 ，04+3xy联立得 所以点 .0,20,2M若 的斜率不存在，则弦长为 4，不成立；l若 的斜率存在，设斜率为 ，则直线 的方程为 ，kl2ykx代入 得 ，解得根为 ，2184xy280x12280,k所以弦长为 ，228103k化简得 ，解得 ，42k1所以直线 的方程为 或 .l2yxx21. 解：（） ，sin
13、cofae直线 的斜率为 ，101xyx因为 在 处的切线与直线 垂直，f,f 10xy所以 a故 ，sincoxfex当 时， ，则0,2i0,s0fx故 在 内单调递增 .fx,（） ，sinxfe令 ，则 ，ixgkksincoxgexk已知条件等价于 在 内恒成立，而 ，0,20在 内恒成立，故 在 内单调递增.2cosxge,gx,2 ，即 时， 恒成立， 在 内单调递增，必有01k000,恒成立；gx ，即 时，必存在 ，使得当 时， ，则 在01k10,2x0,x0gxgx内单调递增，而 ，不可能保证 恒成立.0,x0gg综上： .1k22. 解：（）曲线 的极坐标方程化为直角坐
14、标方程为 ，C24xy点的极坐标为： ，化为直角坐标为 .P3,2P0,3P直线 的参数方程为 ，即 ( 为参数).lcos,3in,xty1,23,xtyt（）将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ，lC2134tt整理得： ，28340tt显然有 ，则 ，012128,3t，2121211, 486PABttPABtttt所以 .623. 解：（） ，231fxx 3,4,1,2fxx或 或3,2xf1,43x,23或 .531综上，不等式 的解集为 .fx5,1,3（）存在 使不等式 成立 时，,12afx,12minafx由（）知， 时， ，3xmin5fx或 ，25612aa实数 的取值范围为 .6,2
