1、百校联盟 2018届高三 TOP20四月联考（全国 II卷）文数试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 25,30AxBx，则 AB（ ）A 0,5 B ,3 C. ,5 D 0,32.已知复数 12iz，则 z的虚部为（ ）A 35 B 5i C. 15 D 15i3.已知 ,1,4axb，若 ab，则 x（ ）A8 B10 C.11 D124.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻面系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之
2、一，指的是：已知动点 M与两定点 ,AB的距离之比为 0,1，那么点 M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知 2,0,AB，点 满足 2，则直线 :4lx被点 的轨迹截得的弦长为（ ）A 7 B 27 C.46 D 26 5.执行如图所示的程序框图，则输出 S的值为（ ）A5 B11 C. 14 D196.已知抛物线 2:0Cxpy的焦点为 F，抛物线 C的准线与 y轴交于点 A，点 01,My在抛物线 C上，054yMF，则 tanFAM（ ）A 2 B 52 C. 45 D 54 7.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A 72 B 236 C
3、. 4 D 256 8.已知 fx是定义在 R上的奇函数，当 0x时， 2xf，则不等式 21fx的解集为（ ）A ,1 B ,2 C. 2, D 1,9.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取 n名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在 75,80中的学生有 1名，若从成绩在 75,80和 9,5两组的所有学生中任取 2名进行问卷调查，则 2名学生的成绩都在 90,5中的概率为（ ）A 23 B 12 C. 35 D 3410.在三棱锥 PAC中， 和 PBC均为边长为 3的等边三角形，且 362PA，则三棱锥外接球的体枳为（ ）A 136 B 103 C.512 D 5
4、611.下列关函数 sincofxx的命题正确的个数为（ ） fx的图象关于 2对称； f的周期为 ；若 12fxf，则 12kxZ； 在区间 34， 上单调递减.A1 B2 C. 3 D412.已知数列 na中， 1,na，定义 11nna，则213220187a（ ）A 078 B C. 2018 D 2018第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.已知 ,xy满足不等式20,4,xy则 5yzx的最大值为 14.已知 2,1logmxfx若 24f，则 m 15.已知双曲线 2:0,yab的左焦点 ,0Fc，直线 yxc与双曲线 的渐近线分别交于
5、,AB两点，其中点 A在第二象限，若 32AB，则双曲线 的离心率为 16.已知 C的内角 ,B的对边分別为 ,abc， 2sinbcA，角 C最大，则 tan4tABa的取值范围为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na的前 项和 12nnSk，且 34a，等差数列 nb满足， 374,ab.（1）求数列 ,b的通项公式；（2） nca，求数列 nc的前 项和 nT.18. 如图，四棱锥 PABCD中，侧面 PAB底面 CD， PAB为等腰直角三角形， PAB，ABCD为 直角梯形， /,90,24.（1）若 O为 的中
6、点， 上一点 E满足 E，求证: /O平面 ；（2）若 2AD，求四棱锥 PABCD的表面积.19.某地区农产品近几年的产量统计如下表：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理， 201,6txzy得到下表:（1）根据表中数据，求 y关于 x的线性回归方程；（2）若近几年该农产品每万吨的价格 v (万元)与年产量 y(万吨）满足 4.203vy，且每年该农产品都能售完，当年产量 y为何值时，销售额 S最大？附：对于一组数据 12,ntztz ，其回归直线 zbta的斜率和截距的最小二乘估计分別为:12,niiitbazbt.20.已知 N为圆 21:4Cxy上一动点，圆心 1C关于
7、y轴的对称点为 2C，点 ,MP分别是线段12,上的点，且 2220,MPNCP.（1）求点 的轨迹方程；（2）直线 l与曲线 交于 ,AB两点， 的中点在直线 12y上，求 OAB（ 为坐标原点）面积的取值范围.21.已知 12lnfxxf.（1）求 f在 ,fe处的切线方程；（2）证明 ： 1fx.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线 C的参数方程为 15cos2inxy ( 为参数），直线 1:0lx，直线2:0lxy，以原点为极点， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出曲线 和直线
8、 12,l的极坐标方程；（2）若直线 1l与曲线 C交于 ,OA两点，直线 2l与曲线 C交于 ,OB两点，求 A.23.选修 4-5：不等式选讲已知 2fxax.（1）当 时，求不等式 4f的解集；（2）若关于 x的不等式 23fxax恒成立，求 a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACDAB 6-10: CBACC 11、12：AC二、填空题13. 34 14. 1或 92 15. 17 16. 1,2 三、解答题17.（1）当 3n时， 23 4aSk，解得 2k，所以 21n，当 1n时， 1S，当 2n时， 11122nnnnaS，所以 21na，设等差数列 b的公差为 d，由
9、 374,a，得 1124,68b， 解得 12,bd，所以 1nn.（2）由（1）得 12nncab，所以 234nT ，2312 2nn，两式相减得 2nT ，即 12nn ，整理得 nnT.18.（1）过点 E作 /FCD，连接 AF，因为 4PC，所以 4P，FD，即 ，因为 2AB，所以 CAO，所以 EO，又因为 /F，所以 A为平行四边形，故 /EAF,因为 E平面 PD, 平面 P.所以 /O平面 .（2）因为平面 PAB平面 CD.平面 平面 ,AD平面 BC，且 ADB,所以 平面 P.又因为 平面 ,所以 ,所以 2PADS,连接 O,同理，由平面 PAB平面 CD,B,
10、可得 平面 .过点 作 /G交 C于点 G,连接 .则由 ,CDPO,得 .因为 1,2POG,所以 5.则 54CDS.过点 作 HB,连接 O,易得 CHO. 由平面几何知识得 45,所以 2,2261P,所以 1623PCBS,又因为 A,1246BCDS,所以四棱锥 P的表面积为 2537.19.（1）由题意知， 1346.t，0.67.2.z，1.50.41.50.3.501.2.5042.8iitz，2622221.17.it ，所以 .80675b，又 1.350.4azt，所以 关于 t的线性回归方程为 1.604zt.由 1.604zt，得 60.1.4yt，即 yt.（2）
11、当年产量为 y时，销售额 s= 24.203.4.Syy，当 7y时，函数 S取得最大值，即年产量为 7万吨时，销售额 S最大.20.（1）因为 22CNP，所以 为 2CN的中点，因为 0MP，所以 ，所以点 在 2的垂直平分线上，所以 2M，因为 12164NC，所以点 在以 12,C为焦点的椭圆上，因为 6,ac，所以 b，所以点 M的轨迹方程为216xy.（2）由题意知直线 l的斜率存在，设 12,AxyB, :ykxm，由 26km得， 22316360，2121,33kxxk，222264610mkm，设 AB的中点为 0,xy，则 022233,111kkx，由题意知 m，所以
12、，由 0，得 4，因为 22 222 21636131kmkmABk，原点 O到直线 的距离 2dk，所以222213611OABmmSk 22343404mm，即 03，故 AB面积的取值范围为 0,.21.（1）由题意得， 2ln1xfxf ，令 x，得 12ff，解得 1f，所以 ln1fxx，因为 2l3,0,f ，所以 11e，又因为 f，所以切线方程为 1yex，即 21eyx.（2）证法一：由（1）得 12ln3,0,fxx，令 ln3,0,hxx，所以 21 ，故 hx在 0,+上单调递增，又 112,ln40e，所以存在 0,x，使得 0hx，即 f，所以 012ln3*x，
13、所以 ,f随 的变化情况如下：所以 000min21ln1fxfxx，由 *式得 03l，代入上式得 000min 01313222fxfxxx，令 132,t ，所以 2210xtx，所以 在 1,上单调递减，tx，又 t，所以 1t，即 01fx，所以 fx.证法 2： 1ln2ln1,0,fxxx令 l,0,hx，则 2ln1，令 0hx得 e， ,hx随 的变化情况如下：所以 min12hxe，即 2lnxe，当且仅当 时取到等号，令 ln1,0,txx，则 t，令 0tx得 1， ,tx随 的变化情况如下：所以 min10txt，即 1ln0x，当且仅当 时渠道等号，所以 22llx
14、xe，即 1f.22.（1）依题意，曲线 22:15Cxy，即 2240xy，将 cos,inxy代入上式得，曲线 C的极坐标方程为 2cos4in，因为直线 1:0lx，直线 2:0lxy，故直线 2,的极坐标方程为 12,:4RlR.（2）设 ,AB两点对应的极径分别为 1,，在 cos4in中，令 2得， 1csi4，令 4得， 2oin32，因为 ，所以 2112cos104AB.23.（1）当 a时，由 fx，得 24x，当 1时，由 24x，得 1x；当 2x时，由 1x，得 2；当 时，由 24x，得 4x；综上所述， 4f的解集为 x.（2）不等式 23fxax，即为 4，即关于 x的不等式 2243xaa恒成立，而 24xaa，所以 43a，解得 2或 243a，解得 13或 .所以 a的取值范围是 1,.
