1、百校联盟 2018 届 TOP20 三月联考（全国卷）文科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 01234A， ， ， ， ， 3Bx，则集合 RAB的子集个数为（ ）A 5 B 6 C 7 D 82.已知 i是虚数单位， 2zii，则复数 z的共轭复数为（ ）A 10 B 510 C 105 D 510i3.已知 x与 y的取值如表所示，若 x与 y线性相关，且回归直线方程为 .23yxa，则 6时， y的预测值为（保留到小数点后一位数字） （ ）0 1 3 4y0.9 1.
2、9 3.2 4.4A 7.4 B 7.5 C 7.6 D 8.5 4.已知直线 a， b及平面 ， ， a， b.命题 p：若 ，则 a， b一定不平行；命题:/q是 ， 没有公共点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（ ）A p B pq C.q D pq5.已知 x， y满足不等式组10,3,xy则目标函数 23zxy的最小值为（ ）A 7 B 4 C. 72 D6.执行如图所示的程序框图，则输出的 T值为（ ）A 19 B 10 C. 1 D 127.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 8 B 6 C.4 D 838.我国古代数学名著张丘建算经中有如下问题：“今有粟
3、二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米 250 斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为 54尺，则圆锥形的高约为多少尺？（注： 1斛 .62立方尺， 3）若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为（ ）A 尺 B 9尺 C. 0.尺 D 1.尺9.已知函数 sincosfxx的一个对称中心为 ,03，若将函数 fx图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 12，再将所得图象向右平移 12个单位，得到函数 g的图象，则 gx的单调递增区间是（ ）A ,kkZ B 2,kkZ C. ,2kkZ D ,2kkZ10.已知平行四边形
4、ABCD内接于椭圆 2:10xyab，且 AB， 斜率之积的范围为32,4，则椭圆 离心率的取值范围是（ ）A 1, B 32, C. 13,4 D 1,4311. 已知 2,03,xaf x若 R， 0fxf恒成立，则 a的取值范围为（ ）A 2,1 B ,1 C. 2 D 2,12. 已知数列 na的通项公式为12,nnna为 奇 数 ，为 偶 数 ，则数列 37na的前 2n项和的最小值为（ ）A 514 B 1854 C. 52 D 1058第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.函数 lngx图象上一点 P到直线 yx的最短距离为 14
5、.已知数列 a满足 241nSa，当 nN时， 22loglnna是递增数列，则实数 的取值范围是 15.在平面直角坐标系中， O为坐标原点，直线 :0lxky与圆 2:4Cxy的内接正三角形 ABC交边 AB于点 P，交边 AC于点 Q，且 /PBC，则 QP的值为 16.已知函数 42fxx，存在 321x，使得 123fxffx，则123x的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在锐角 ABC 中， a， b， c分别是角 A， B， C的对边，点 D在边 BC上，且2CDAB， 13cos4AD， b.（）求
6、 B；（）求 AC 周长的最大值.18. 某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出 1个利润为 5元，未售出的每个亏损 3元.根据以往 10天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了 30个这种蛋糕.以 x（单位：个，105x）表示这天的市场需求量. T（单位：元）表示这天售出该蛋糕的利润.需求量/个 10,10,21,1,401,50天数 10 20 30 25 15（）将 T表示为 x的函数，根据上表，求利润 T不少于 570元的概率；（）估计这 10天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（）元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了 名市民进行问卷调查，调
7、查结果如下表所示，已知在购买意愿强的市民中，女性的占比为 57.购买意愿强 购买意愿弱 合计女性 28男性 22合计 28 22 50完善上表，并根据上表，判断是否有 97.5%的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关？附： 22nadbcKd.2PKk0.05 0.025 0.010 0.0053.841 5.024 6.635 7.87919.已知几何体 EFABCD，其中四边形 ABCD为直角梯形，四边形 EBCF为矩形， /ADBC，且22BC， 45.（）试判断线段 BE上是否存在一点 H，使得 /A平面 ECD，请说明理由；（）若 CD，求该几何体的表面积.20. 在平面直角坐标系
8、 xOy中，与点 2,3M关于直线 20xy对称的点 N位于抛物线2:0Cxpy上.（）求抛物线 的方程；（）过点 N作两条倾斜角互补的直线交抛物线 C于 A， B两点（非 点） ，若 AB过焦点 F，求AFB的值.21. 已知函数 12fxx， 1为函数 lngxc的极值点.（）证明：当 时， g；（）对于任意 2m，都存在 0,n，使得 fm，求 nm的最小值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 1:3xtly（ 为参数） ，曲线 13cos:2inxCy（ 为参数） ，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极
9、轴建立直角坐标系.（）求曲线 1C的极坐标方程，直线 1l的普通方程；（）把直线 l向左平移一个单位得到直线 2，设 l与曲线 1C的交点为 M， N， P为曲线 1C上任意一点，求 PMN面积的最大值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 231fxx的最小值为 M.（）若 ,mn，求证： 24mn；（）若 0ab ， ab，求 1ab的最小值.试卷答案一、选择题1-5:DABCD 6-10: CCDCA 11、12：CD二、填空题13. 2 14. 1, 15. 23 16.64,81三、解答题17.【解析】 （）因为 cos4BAD，所以 3sin4BAD.根据正弦定理， siniAD
10、B， 3sinsi2ADB，又 B为锐角，所以 3.（）由余弦定理，得 22cosba，所以 2222248 34acacca， 3，当且仅当 a时，等号成立.故 12abc，所以 ABC 周长的最大值为 123.18.【解析】 （）当 0,13x时， 50890Txx，当 130,5x时， 6T，所以 ,13,6135.当 7T时， 89570x， 1320x，又 70，所以 250x，因此，利润 不少于 570 元的概率为 5.（）这 100 天的平均需求量为 135146.0.（）根据题意，购买意愿强市民中女性的人数为 287，男性为 8 人，填表如下：购买意愿强 购买意愿弱 合计女性
11、20 8 28男性 8 14 22合计 28 22 50根据公式， 22501486.15.024K，故有 97.%的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关.19.【解析】 （）存在线段 BE的中点 H，使得 /A平面 ECD，理由如下：取 EC的中点 G，连接 ， D， H为 B的中点， /C，且 12GB，又四边形 ABCD为直角梯形， /ABC，且 12AD， /HG， ，四边形 为平行四边形， /HG， 平面 E， 平面 ED， /A平面 CD.（）因为四边形 B为直角梯形， /ABC，且 112AD， 45BC，所以 12， 2.又 45EC，因为 CE，所以 53，因为 BA， B
12、， AB，所以 C平面 ABE，又因为 /D， 平面 ， D，所以 2E，进而 E.所以 1ABS ,因为 DCF 为直角三角形，所以 122DCFS ，又四边形 AE也为直角梯形， 132AEFEFY ，又 11322BCDSBY ， 2BCSY，所以该几何体的表面积为 314S.20.【解析】 （）设 ,Nmn，则,2320,n解之得 2,1N，代入 20xpy得 p，所以抛物线 C的方程为 4xy.（）显然直线 NA的斜率是存在的，设直线 NA的方程 12k，设直线 B的方程 12ykx，设 1,x， 2,，联立方程 412ykx消元，得 2480xk，所以 124xk， 12xk， 1
13、41yk，故 ,A，同理， Bk，所以 41412Ak，若 FB，因为 cos5BFA， 232FB，若 1A，同理可求 23.21.【解析】 （） lngxc， 1lngxc，又 1x为极值点， 10， ，经检验 c符合题意，所以 ，当 时， 2gx，可转化为当 1x时， ln10x恒成立，设 ln1tx，所以 t，当 时， 0t，所以 x在 ， 上为减函数，所以 tx，故当 x时， 2gx成立.（）令 1lnfmk，则 12m，解得221k，同理，由 ln，可得 ke，因为 12,1km，又 lnR，所以 ,1k，令 2khek，则 k，易知 0h，当 0时， ，当 1k时， 0hk，即当
14、 k时， k是减函数，当 时， 是增函数，所以 hk的最小值为 01h，即 nm的最小值为 1.22.【解析】 （）把曲线 13cos:2ixCy消去参数可得 2231xy，令 cosx， siny，代入可得曲线 1C的极坐标方程为 2cos4in60.把直线 1:3tl化为普通方程 3yx.（）把直线 1l向左平移一个单位得到直线 2l的方程为 3yx，其极坐标方程为 3.联立2cos4in60,3所以 260，所以 12,6故 2121123，圆心到直线 2l的距离为 d，圆上一点到直线 的最大距离为 13=2，所以 1324S.23.【解析】 （） 2312312fxxxM，要证明 mn，只需证明 4mn， 222222244684nmn ， ,， ,0,， 22mn， 224mn，可得 4.（）由题意， 2ab，故 21141422ababb A，当且仅当 a， 2时，等号成立，所以 的最小值为 .
