1、百校联盟 2018 届 TOP20 三月联考（全国卷）理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|80AxNx， |28xB，则集合 AB的子集个数为（ ）A 1 B C 3 D 42.已知 i是虚数单位， 4zii，则复数 z（ ）A 05 B 510 C 105i D 510i3.古代数学名著张丘建算经中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，
2、债务过期第一天要纳利息 1尺绢，过期第二天利息是 2尺，这样，每天利息比前一天增多 1尺，若过期 0天，欠债方共纳利息为（ ）A 尺 B 495尺 C 50尺 D 50尺4.某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（ ）A 9种 B 18种 C. 12种 D 36种 5.函数 2cos3incosfxx的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 12，得到函数g的图象，则 0,4时， g的取值范围是（ ）A 30,2
3、 B 1,2 C. 13,2 D 31,26.已知 O为坐标原点，等轴双曲线 :0Cxya的左，右顶点分别为 1A， 2，若双曲线 C的一条渐近线上存在一点 P，使得 2OAP，且 12 的面积为 ，则双曲线 的方程为（ ）A 28xy B 24xy C. 2xy D 21xy7.执行如图所示的程序框图，则输出的 T值为（ ）A 19 B 10 C. 1 D 128.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 8 B 6 C.4 D 839.当 2,x时，下列有关函数 cos2fxx， 32gx的结论正确的个数为（ ） f是偶函数； x与 g有相同的对称中心；函数 yf与 yx的图象
4、交点的横坐标之和为 0；函数 x与 的图象交点的纵坐标之和为 92.A 1 B 2 C.3 D 410.已知 O为坐标原点，平行四边形 ABCD内接于椭圆 2:10xyab，点 E， F分别为 AB，AD的中点，且 E， F的斜率之积为 34，则椭圆 的离心率为（ ）A 12 B 2 C. D 511.如图： 是圆锥底面圆的直径， PA， B是圆锥的两种母线， P为底面圆的中心，过 PB的中点D作平行于 P的平面 ，使得平面 与底面圆的交线长为 4，沿圆锥侧面连接 A点和 D点，当曲线段A长度的最小值为 32时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（ ）A 42 B 32
5、 C. 92 D 92412.已知函数 fxa， lngx，存在 0,te，使得 ftg的最小值为 3，则函数lngx图象上一点 P到函数 fax图象上一点 Q的最短距离为（ ）A 1e B421eC.431eD 1第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知菱形 ABCD的边长为 1， 60BAD， a， BCb，则 2a 14.若 x， y满足约束条件,2360,xy则 12zxy的取值范围为 15.春节临近，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布 210,N，若 9010.6PX，假设三个安检入口均能正常工作，则这
6、三个安检入口每天至少有两个超过1人的概率为 16.已知数列 na的奇数项和偶数项为公比为 q的等比数列， 12q，且 12a.则数列37n的前 项和的最小值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在锐角 ABC 中，角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，点 D在边 BC上，且 2ADB，13cos4D， b.（）求 ；（）求 ABC 周长的最大值.18. 某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出 1个获得利润 5元，未售出的每个亏损 3元.根据以往10天的资料统计，得到如下需求量表.元日这天，此蛋糕店制作了这款蛋糕 X个.以
7、x（单位：个，5x）表示这天的市场需求量. T（单位：元）表示这天出售这款蛋糕获得的利润.需求量/个 10,0,12,301,40,15天数 15 25 30 20 10（）当 135x时，若 3X时获得的利润为 1T， X时获得的利润为 2T，试比较 1和 2T的大小；（）当 0时，根据上表，从利润 不少于 570元的天数中，按需求量分层抽样抽取 6天，（）求这 6天中利润为 5元的天数；（）再从这 天中抽取 3天做进一步分析，设这 3天中利润为 65元的天数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望.19. 如图，在几何体 ABCDEF中，四边形 ABCD为直角梯形， 90ABC，四边形EBCF
8、为矩形，且 220a， 45， H为 E的中点.（）求证： /H平面 ；（）若 ，求平面 EF与平面 B所成的锐二面角的大小.20. 在平面直角坐标系 xOy中，点 1,B关于直线 12y对称的点 N位于抛物线2:0Cyp上.（）求抛物线 的方程；（）设抛物线 的准线与其对称轴的交点为 A，过点 的直线 l交抛物线 C于点 M， P，直线 B交抛物线 于另一点 Q，求直线 P所过的定点.21. 已知函数 lnfx.（）设 1ga，讨论 gx的单调性；（）若不等式 fxeb恒成立，其中 e为自然对数的底数，求 ba的最小值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
9、.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 1:3xtly（ 为参数） ，曲线 13cos:2inxCy（ 为参数） ，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求曲线 1C的极坐标方程，直线 1l的普通方程；（）把直线 l向左平移一个单位得到直线 2，设 l与曲线 1C的交点为 M,N，点 P为曲线 1C上任意一点，求 PMN 面积的最大值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 231fxx的最小值为 M.（）若 ,mn，求证： 24mn；（）若 0ab， ab，求 1ab的最小值.试卷答案一、选择题1-5:DCDBA 6-10:BCCCA 11、12：DC二、填空题13
10、. 72 14. 30,2 15. 1325 16. 1058三、解答题17.【解析】 （）因为 13cos4BAD，所以 3sin4BAD，根据正弦定理， sini， ii2，又 B为锐角，所以 3.（）由余弦定理，得 22cosbaB，所以 2222248 34acacca， 3，当且仅当 a时，等号成立.故 12abc.所以 ABC 周长的最大值为 123.18.【解析】 （）当 0X， ,0x时， 508390Txx，130,5x时， 1365T.所以 89,1,613.当 时， 10（元）.当 4X， ,4x时， 5408420xx，10,5x时， 107T.所以 ,1,75.T当
11、3时， 26（元）.故 21T.（）当 570，即 839057x， 1302x，又 6，所以 2，共有 6天利润大于 57元.（）按分层抽样抽取 6天，其中利润为 元的天数有 6013（天）.（）根据题意，随机变量 的可能取值为 0， 1， 2， 3，36102CP， 2369CP， 123690CP， 36120CP. 的分布列为 0 1 2 3P120920920120所以 19302E.19.【解析】 （）取 C的中点 G，连接 H， D， H为 B中点， /B，且 12BC.四边形 AD为直角梯形， /A，且 A， /G，且 ，四边形 为平行四边形， /HDG. H平面 EC， 平面
12、 EC， /A平面 D.（）因为四边形 ABCD为直角梯形， 12BCADa， 45BC，所以 12a， a.又 245E，因为 E，所以 253aa，因为 BCA， B， AB，所以 C平面 ABE，因为 /D， 平面 ， D，所以 2Ea，因此 E.以点 B为原点，以 为 x轴， BC为 y轴， A为 z轴，建立空间直角坐标系，则 ,0a， ,A， 0,， ,20a， ,20Fa，所以 E， Da，设平面 DE的一个法向量为 1,nxyz，则有 11,00Bnxyzxz令 1，则 0,，设平面 EFD的一个法向量为 2,mxyz， ,EDa， 0,2EFa，则有 22, 00,aazz令
13、21，则 ,1m，所以 1cos,n，所以平面 EFD与平面 B所成的锐二面角为 60.20.【解析】 （）设 1,Nn，则 12， 2n，解之得 1,2N，代入 20ypx，得 p，所以抛物线 C的方程为 4yx.（）根据题意， 1,A，设点21,4yM，2,P，因为 P， M， 三点共线，所以 Ak，即 12244yy， 12， 124y，设点23,yQ，因为 B， ， Q三点共线，所以 BMk，即 3132244y， 3213yy.所以 2313yy，即 31340y，所以 32440，即 3232y，因为 32324PQyky，所以直线 PQ的方程是22324yyx.即 2322yx，
14、即 323yx，由可得 441y.所以直线 P过定点 1,4.21.【解析】 （）函数定义域为 0,，由题意得 lngxa，则 1gxa，当 0a时， gx，则 gx在 上单调递增；当 时，令 ，解得 1a，当 10,xa时， 0gx， x在 0,上单调递增，当 ,时， ， g在 1,a上单调递减.（）设函数 lnFxaexb，其中 e为自然对数的底数， 1e， 0，当 a时， x， fx在 ,上是增函数， 0Fx不可能恒成立，当 e时，由 Fea，得 1xae,不等式 0x恒成立， ma0，当 1,ae时， x， Fx单调递增，当 ,x时， 0， 单调递减，当 1ae时， Fx取最大值， 1ln10Faebae，满足 ln0b即可， lb， 1ebaa，令 lnxGx， e，
