1、2016-2017 学年河南省南阳一中高三（上）第三次月考数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1函数 y= 的定义域为（ ）A （2， 1） B 2，1 C （0，1） D （0，12已知复数 z= （i 为虚数单位） ，则复数 z 的共扼复数为（ ）A B C D3已知 a0，函数 f（x）=ax 2+bx+c，若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）Ax R，f （ x）f（x 0） Bx R，f（x）f （x 0） C xR，f（x）f（x 0） DxR，f（ x
2、）f（x 0）4设 2a=5b=m，且 ，则 m=（ ）A B10 C20 D1005已知点 A（4 ，1） ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB，设 C（1，0） ，COB=，则 tan=（ ）A B C D6平面向量 ， 共线的充要条件是（ ）A ， 方向相同B ， 两向量中至少有一个为零向量C R，D存在不全为零的实数 1， 2，7已知关于 x 的不等式 的解集为 P，若 1P，则实数 a 的取值范围为（ ）A （，1 0，+ ） B 1，0 C （ ，1）（0，+） D （1，08已知数列a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a1a2a3=15，且，则 a2=（ ）
3、A2 B C3 D9设 x，y 满足约束条件 ，当且仅当 x=y=4 时，z=ax y 取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A1， 1 B （ ，1） C （0，1） D （，1）（1，+）10已知函数 f（x）=cosx（sin x+ cosx） （ 0） ，如果存在实数 x0，使得对任意的实数 x，都有 f（x 0）f（x）f（x 0+2016）成立，则 的最小值为（ ）A B C D11若函数 f（x）=log a（x 32x） （a0 且 a1）在区间（ ，1）内恒有 f（x）0，则f（x）的单调递减区间为（ ）A （， ） ， （ ，+ ） B （ ， ） ， （ ，+） C （
4、 ， ） ，（ ，+） D （ ， ）12已知函数 f（x）= ，关于 x 的方程 f2（x）+（m+1）f （x）+m +4=0（mR ）有四个相异的实数根，则 m 的取值范围是（ ）A （4， e ） B （ 4，3） C （ e ， 3） D （e ，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13在ABC 中，A=90 ， AB=3，AC=2， =2 ，则 = 14已知函数 f（x）= x，则方程 f（x 1）=f（x 23x+2）的所有实根构成的集合的非空子集个数为 15数列a n满足 an+1+（1） n an=2n（n N*） ，则a n的前 40 项和为 1
5、6已知 a2+4b2=1，则 2a2+4ab 的最大值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 ）17已知函数 f（x）=（1+ ）sin 2x+msin（x+ ） sin（x ）（1）当 m=0 时，求 f（x）在区间 ， 上的取值范围；（2）当 tana=2 时，f （a）= ，求 m 的值18数列a n满足 a1=1，a n+1= （nN +） ，（1）证明 为等差数列并求 an；（2）设 Sn=a12+a22+an2，b n=S2n+1Sn，是否存在最小的正整数 m，使对任意 nN+，有bn 成立？设若存在，求出 m 的值，若不存在，说明理由19已知 mR，设 P：x 1 和
6、x2 是方程 x2ax2=0 的两个实根，不等式|m 25m3|x 1x2|对任意实数 a1，1恒成立Q：函数 f（x）=x 3+mx2+（ m+ ）x+6 在（，+）上有极值求使 P 正确且 Q 正确的 m 的取值范围20数列a n的前 n 项和记为 Sn，a 1=2，a n+1=Sn+n，等差数列b n的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T3=9，又 a1+b1，a 2+b2，a 3+b3 成等比数列（）求a n，b n的通项公式；（）求证：当 n2 时， + + 21在ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，BAD=90（1）若 cosB= ，求 cosC；（2）求 cosC 的取值
7、范围22已知函数 f（x）=ax 2+（ a1） 2x+a（a1） 2ex（其中 aR） （）若 x=0 为 f（x）的极值点，求 a 的值；（）在（）的条件下，解不等式 f（x）（x1） （ +x+1） ；（）若函数 f（x）在区间（ 1，2）上单调递增，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年河南省南阳一中高三（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1函数 y= 的定义域为（ ）A （2， 1） B 2，1 C （0，1） D （0，1【考点】函数的定义域及其求法【分析】根
8、据二次根式的性质结合对数函数的性质得到关于 x 的不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：0x1，故选：C2已知复数 z= （i 为虚数单位） ，则复数 z 的共扼复数为（ ）A B C D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则复数 z 的共扼复数可求【解答】解：由 z= = = ，得 故选：A3已知 a0，函数 f（x）=ax 2+bx+c，若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）Ax R，f （ x）f（x 0） Bx R，f（x）f （x 0） C xR，f（x）f（x 0） DxR，f（ x
9、）f（x 0）【考点】四种命题的真假关系【分析】由 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0 得出 x=x0 是二次函数的对称轴，由 a0 可知二次函数有最小值【解答】解：x 0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0，a0，函数 f（x）在 x=x0 处取到最小值是等价于xR ， f（x）f（x 0） ，所以命题 C 错误答案：C4设 2a=5b=m，且 ，则 m=（ ）A B10 C20 D100【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质【分析】直接化简，用 m 代替方程中的 a、b，然后求解即可【解答】解： ，m 2=10，又m 0， 故选 A5已知点 A（4 ，1） ，将 OA 绕坐
10、标原点 O 逆时针旋转 至 OB，设 C（1，0） ，COB=，则 tan=（ ）A B C D【考点】任意角的三角函数的定义【分析】设直线 OA 的倾斜角为 ，则 tan= ，再根据 =+ ，求得 tan=tan（+）的值【解答】解：由题意，设直线 OA 的倾斜角为 ，则 tan= = ，=+ ，tan=tan（+ ）= = ，故选：D6平面向量 ， 共线的充要条件是（ ）A ， 方向相同B ， 两向量中至少有一个为零向量C R，D存在不全为零的实数 1， 2，【考点】向量的共线定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据向量共线定理，即非零向量 与向量 共线的充要条件是必存在唯一实
11、数 使得 成立，即可得到答案【解答】解：若 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数 1， 2，使得 ；若 ，则由两向量共线知，存在 0，使得 ，即 ，符合题意，故选 D7已知关于 x 的不等式 的解集为 P，若 1P，则实数 a 的取值范围为（ ）A （，1 0，+ ） B 1，0 C （ ，1）（0，+） D （1，0【考点】一元二次不等式的应用【分析】由题意可得 ，或式子 无意义，即 或 a=1由此解得 a 的取值范围【解答】解：由题意可得 ，或式子 无意义化简可得 ，或 a=1解得1 a0故选 B8已知数列a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a1a2a3=15，且，则
12、 a2=（ ）A2 B C3 D【考点】等差数列的前 n 项和；等差数列的性质【分析】本题考查的知识点是等差数列的前 n 项和，及等差数列的性质，由数列a n是等差数列，a 1a2a3=15，且 ，我们易得到一个关于 a2 的方程，解方程即可求出 a2 的值【解答】解：数列a n是等差数列，S 1=a1，S 3=3a2，S 5=5a3，又又a 1a2a3=15 ，a 2=3故选 C9设 x，y 满足约束条件 ，当且仅当 x=y=4 时，z=ax y 取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A1， 1 B （ ，1） C （0，1） D （，1）（1，+）【考点】简单线性规划【分析】作出约束条件
13、 所对应的可行域，变形目标函数可得 y=axz，其中直线斜率为 a，截距为z，由题意可得 a 的范围【解答】解：作出约束条件 所对应的可行域（如图阴影） ，变形目标函数可得 y=ax+z，其中直线斜率为 a，截距为z，z=axy 取得最小值的最优解仅为点 A（4，4） ，直线的斜率 a1，即实数 a 的取值范围为（，1）故选：B10已知函数 f（x）=cosx（sin x+ cosx） （ 0） ，如果存在实数 x0，使得对任意的实数 x，都有 f（x 0）f（x）f（x 0+2016）成立，则 的最小值为（ ）A B C D【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【分析】由题意可得
14、区间x 0，x 0+2016能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得 f（x） =sin（2x+ ）+ ，再根据 2016 ，求得 的最小值【解答】解：由题意可得，f（x 0）是函数 f（x）的最小值， f（x 0+2016）是函数 f（x）的最大值显然要使结论成立，只需保证区间x 0，x 0+2016能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可又 f（x）=cosx（sin x+ cosx）= sin2x+ =sin（2x+ ）+ ，故 2016 ，求得 ，故则 的最小值为 ，故选：D11若函数 f（x）=log a（x 32x） （a0 且 a1）在区间（ ，1）内恒有
15、f（x）0，则f（x）的单调递减区间为（ ）A （， ） ， （ ，+ ） B （ ， ） ， （ ，+） C （ ， ） ，（ ，+） D （ ， ）【考点】复合函数的单调性【分析】求函数的定义域，利用换元法结合条件判断 a 的取值范围，利用复合函数和导数即可求出函数单调递减区间【解答】解：设 t=g（t）=x 32x，由 t=0 得 x（x 22）=0，则 x=0，或 x= 或 x= ，由 x32x0 得 x0 或 x ，g（t）=3x 22，当 x1 时，g（t ）0，此时函数 g（t）为增函数，则 0g（t）1，若 a1，则 y=logat0 恒成立，则不满足条件 f（x）0，若 0a
16、1，则 y=logat0 恒成立，满足条件，即 0a1，要求函数 f（x）的单调递减区间，即求函数 t=g（t）=x 32x 的递增区间，由 g（t）=3x 220 得 x 或 x ， x0 或 x ， x 或 x ，即函数 f（x）的单调递减区间为（ ， ） ， （ ，+） ，故选：B12已知函数 f（x）= ，关于 x 的方程 f2（x）+（m+1）f （x）+m +4=0（mR ）有四个相异的实数根，则 m 的取值范围是（ ）A （4， e ） B （ 4，3） C （ e ， 3） D （e ，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，利用换元法，设
17、 t=f（x） ，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论【解答】解：f（x）= = ，由 x0 时，f（x）= 的导数为 f（x）= ，可得 x1，f（x）递增，0 x1 时 f（x）递减，x=1 处取得极小值 e；当 x0 时，f（x）= 的导数为 f（x）= ，可得 x0 时 f（x）递增，作出函数 f（x）对应的图象如图：设 t=f（x） ，方程 f2（x）+（m+1）f （x）+m+4=0等价为 t2+（m+1）t+m+4=0，由题意结合图象可得0，且 0t 1e 且 t2e，即有（m+1） 24（m+4）0，解得 m5 或 m 3，由 f（t）=t 2+（m+
18、1）t+m+4，可得 f（0）0，f（e）0 ，即为 m4，m e ，由可得4m e 故选：A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13在ABC 中，A=90 ， AB=3，AC=2， =2 ，则 = 6 【考点】平面向量数量积的运算【分析】由向量垂直的条件：数量积为 0，由向量共线的知识可得 = + ，再由向量的数量积的性质即可得到所求值【解答】解：A=90，AB=3 ，AC=2，可得 =0，=2 ，即为 =2（ ） ，即有 = + ，则 = （ + ）= + 2=0+ 9=6故答案为：614已知函数 f（x）= x，则方程 f（x 1）=f（x 23x+2）的所有实根
19、构成的集合的非空子集个数为 7 【考点】函数的零点与方程根的关系；子集与真子集【分析】由题意可判断函数 f（x）是 R 上的偶函数，且可判断在0，+）上是增函数；从而可得 x1=x22x+1 或 x1=（x 22x+1） ，从而解得，即可求出子集的个数【解答】解：f（x）= xf（ x）=（x） （ ）=x（ ）= x=f（x） ，函数 f（x）是 R 上的偶函数，f（x）= + ，当 x0 时，f（x）0；故函数 f（x）在0，+）上是增函数；f（x 1）=f（x 22x+1） ，x1=x 22x+1 或 x1=（x 22x+1） ，x=1 或 x=2 或 x=0，所有实根构成的集合的非空子
20、集个数为 231=7故答案为：715数列a n满足 an+1+（1） n an=2n（n N*） ，则a n的前 40 项和为 【考点】数列的求和【分析】由已知数列递推式可得 a2k1+a2k+a2k+1+a2k+2= = 取k=1，3，5，19，作和得答案【解答】解：由 an+1+（1） n an=2n（n N*） ，当 n=2k 时，有 a2k+1+a2k=22k，当 n=2k1 时，有 a2ka2k1=22k1，当 n=2k+1 时，有 a2k+2a2k+1=22k+1，得：a 2k+1+a2k1=22k1，+得：a 2k+2+a2k=322k，a 2k1+a2k+a2k+1+a2k+2
21、= = S 40= = = 故答案为： 16已知 a2+4b2=1，则 2a2+4ab 的最大值为 【考点】基本不等式【分析】利用换元法转化为三角函数，利用三角函数的有界性求解【解答】解：a 2+4b2=1，设 a=cos，b= sin，（0，）则 2a2+4ab=2cos2+4cos sin=1+cos2+sin2=1+ sin（2+ ） ，sin（2+ ）的最大值为 1，2a 2+4ab=1+ sin（2+ ）的最大值为：1+ 故答案为：1+三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 ）17已知函数 f（x）=（1+ ）sin 2x+msin（x+ ） sin（x ）（1）当 m=0 时
22、，求 f（x）在区间 ， 上的取值范围；（2）当 tana=2 时，f （a）= ，求 m 的值【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；正弦函数的定义域和值域【分析】 （1）当 m=0 时，利用三角函数的恒等变换化简函数 f（x）的解析式为 + sin（2x ） ，再根据 x 的范围，利用正弦函数的定义域和值域，求得 f（x）在区间 ， 上的取值范围（2）由 tana=2 时，f （a）= ，利用同角三角函数的基本关系求得 sin2a= ，cos 2a= 化简 tan（a ） 等于 ，可得 = ，由此解得 m 的值【解答】解：（1）当 m=0 时，函数 f（x）=（1+ ）si
23、n2x= sin2x=sin2x+sinxcosx= + sin2x= + sin（2x ） x ，02x ， sin（2x ）1，0f（x） ，故 f（x）在区间 ， 上的取值范围为0 ，（2）当 tana=2 时，f （a）= ，sin 2a= ，cos 2a= 再由 f（a）= （ 1+ ）sin 2a+msin（a+ ）sin（a ）= sin2a+m（ sin2a cos2a ）= ，可得 = ，解得 m=218数列a n满足 a1=1，a n+1= （nN +） ，（1）证明 为等差数列并求 an；（2）设 Sn=a12+a22+an2，b n=S2n+1Sn，是否存在最小的正整数
24、 m，使对任意 nN+，有bn 成立？设若存在，求出 m 的值，若不存在，说明理由【考点】数列的求和；等差关系的确定【分析】 （1）由 ，两边平方 ，取倒数化为，利用等差数列的通项公式即可得出（2）b n=S2n+1Sn，可得 bn+1=S2n+3Sn+1，作差，代入化简可得其单调性进而得出【解答】 （1）证明： ， ，即 ， 为等差数列 ， ，又由题知 an0， （2）解：b n=S2n+1Sn，b n+1=S2n+3Sn+1， =，b n+1b n即数列b n为递减数列，则要使 恒成立，只需 ， ， 存在最小的正整数 m=8，使对任意 nN+，有 成立19已知 mR，设 P：x 1 和 x
25、2 是方程 x2ax2=0 的两个实根，不等式|m 25m3|x 1x2|对任意实数 a1，1恒成立Q：函数 f（x）=x 3+mx2+（ m+ ）x+6 在（，+）上有极值求使 P 正确且 Q 正确的 m 的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】由题设知 x1+x2=a 且 x1+x2=2，所以，3，由题意，不等式|m 25m3|x 1x2|对任意实数 a1，1恒成立的 m 的解集等于不等式|m 25m3|3 的解集，由此知当 m1或 0m5 或 m6 时，P 是正确的 ，由题设能够得到当且仅当0 时，函数 f（x）在（ ，+）上有极值由=4m 212m160 得 m1 或 m4 时，
26、Q 是正确得由此可知使 P 正确且 Q 正确时，求出实数 m 的取值范围【解答】解：由题设 x1 和 x2 是方程 x2ax2=0 的两个实根，得 x1+x2=a 且 x1x2=2，所以，当 a1，1时，a 2+8 的最大值为 9，即|x 1x2|3由题意，不等式|m 25m3|x 1x2|对任意实数 a1，1 恒成立的 m 的解集等于不等式|m25m3|3 的解集，由此不等式得 m25m3 3或 m25m33不等式的解为 0m5 不等式的解为 m1 或 m6 因为，对 m1 或 0m5 或m6 时，P 是正确的对函数 求导令 f（x）=0，即 此一元二次不等式的判别式若=0，则 f（x）=0
27、 有两个相等的实根 x0，且 f（x）的符号如下：x （ ， x0）x0 （x 0， +）f（x） + 0 +因此，f（x 0）不是函数 f（x）的极值若0，则 f（x）=0 有两个不相等的实根 x1 和 x2（x 1x 2） ，且 f（x）的符号如下：x （ ， x0）x1 （x 1，x 2） x2 （x 2， +）f（x） + 0 0 +因此，函数 f（x）在 x=x1 处取得极大值，在 x=x2 处取得极小值综上所述，当且仅当0 时，函数 f（x）在（，+）上有极值由=4m 212m160 得 m1 或 m4，因为，当 m1 或 m4 时，Q 是正确的综上，使 P 正确且 Q 正确时，实
28、数 m 的取值范围为（， 1）（4，5 6，+） 20数列a n的前 n 项和记为 Sn，a 1=2，a n+1=Sn+n，等差数列b n的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T3=9，又 a1+b1，a 2+b2，a 3+b3 成等比数列（）求a n，b n的通项公式；（）求证：当 n2 时， + + 【考点】数列的求和【分析】 （）由 an+1=Sn+n，得 an=Sn1+（n1） （n2） ，两式相减，结合等比数列的定义和通项，即可得到a n的通项；再由等比数列的性质，求得等差数列b n的首项和公差，即可得到所求通项；（） = = = （ ） ，再由裂项相消求和，结合不等式的性质，即可
29、得证【解答】解：（）由 an+1=Sn+n，得an=Sn1+（n1） （n2） ，两式相减得an+1an=SnSn1+1=an+1，所以 an+1=2an+1，所以 an+1+1=2（a n+1） （n2） ，又 a2=3 所以 an+1=2n2（a 2+1） ，从而 an=2n1（n2） ，而 a1=2，不符合上式，所以 an= ；因为b n为等差数列，且前三项的和 T3=9，所以 b2=3，可设 b1=3d，b 3=3+d，由于 a1=2，a 2=3，a 3=7，于是 a1+b1=5d，a 2+b2=6，a 3+b3=10+d，因为 a1+b1，a 2+b2，a 3+b3 成等比数列所以（
30、5d） （10 +d）=36，d=2 或 d=7（舍） ，所以 bn=b1+（n 1）d=1+2（n1）=2n1；（）证明：因为 = = = （ ）所以，当 n2 时， + + = + +1+ （1 ）+（ ） +（ ）=1+ （1 ）1+ = 则有当 n2 时， + + 21在ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，BAD=90（1）若 cosB= ，求 cosC；（2）求 cosC 的取值范围【考点】余弦定理；正弦定理【分析】 （1）设 AB=2，可求 BD，BC 的值，利用余弦定理可求 AC，进而由余弦定理可求 cosC 的值（2）设 BD=CD=x，AC=y，由正弦定理得， ， ，两式
31、相除，利用两角和与差的正切函数公式可求 tanC= ，结合 B的范围，进而计算得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）在 RtABD 中，设 AB=2， ，BD=3，BC=2BD=6，在ABC 中，由余弦定理得，AC2=AB2+BC22ABBCcosB=22+62 ， ，在ABC 中，由余弦定理得， （2）设 BD=CD=x，AC=y，由题可得，在ABC 中，由正弦定理得， ， ，在ADC 中，由正弦定理得， ， ，即 ，得， ，tan（B +C）=2tanB，tanC=tan（B+C） B）= =，由题知 ，tanB （0，+） ， ， ，可求 22已知函数 f（x）=ax 2+（
32、a1） 2x+a（a1） 2ex（其中 aR） （）若 x=0 为 f（x）的极值点，求 a 的值；（）在（）的条件下，解不等式 f（x）（x1） （ +x+1） ；（）若函数 f（x）在区间（ 1，2）上单调递增，求实数 a 的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】 （1）利用导数求极值，由 x=0 为 f（x）的极值点得，f （0）=ae 0=0，即得 a 的值；（2）由不等式 得， （x1）e x（ x2+x+1）0，利用导数判断函数 g（x）=）e x（ x2+x+1）的单调性，进而得证；（3）由导数与函数单调性的关系
33、，通过讨论求得 a 的范围【解答】解：（）因为 f（ x）= ax2+（a1） 2x+a（a1） 2ex所以 f（x）=2ax +（a1） 2ex+ax2+（a1） 2x+a（a1） 2ex=ax2+（a 2+1）x+ae x因为 x=0 为 f（x）的极值点，所以由 f（0）=ae 0=0，解得 a=0检验，当 a=0 时，f（x）=xe x，当 x0 时，f （x）0，当 x0 时，f（x）0，所以 x=0 为 f（x）的极值点，故 a=0（） 当 a=0 时，不等式不等式 （x 1）e x（x1）（ x2+x+1） ，整理得（x1） ex（ x2+x+1）0，即 或 令 g（x）=）e
34、x（ x2+x+1） ， h（x）=g（x）=e x（x+1） ，h （x）=e x1，当 x0 时，h（x）=e x10，当 x0 时，h （x）=e x10，所以 h（x）在（，0）单调递减，在（ 0，+）单调递增，所以 h（x）h（0）=0，即 g（x）0，所以 g（x）在 R 上单调递增，而 g（0）=0；故 ex（ x2+x+1）0 x0；e x（ x2+x+1）0 x0，所以原不等式的解集为x|x0 或 x1；（） 当 a0 时，f （x）=ax 2+（a 2+1）x+ae x，因为 x（1，2） ，所以 f（x）0，所以 f（x）在（1，2）上是增函数当 a0 时，f （x）=a（x+a） （x+ ）e x，x（1，2）时，f（x）是增函数，f （x）0若 a1，则 f（x）=a （x+a） （x+ ）e x0 x（ ， a） ，由（1，2）（ ， a）得a2；若 1a0，则 f（x）=a（x+a） （x+ ）e x0 x（a， ） ，由（1，2）（a ， ）得 a0若 a=1，f （x）= （x1） 2ex0，不合题意，舍去综上可得，实数 a 的取值范围是（ ，2 ，+）2017 年 1 月 8 日
